В дифференциальной геометрии поверхностей в трех измерениях омбилики или омбилические точки — это точки на поверхности, которые локально сферичны. В таких точках нормальные кривизны во всех направлениях равны, следовательно, обе главные кривизны равны, и каждый касательный вектор является главным направлением . Название «омбилический» происходит от латинского umbilicus ( пупок ).
Точки омбилического изгиба обычно возникают как изолированные точки в эллиптической области поверхности, то есть там, где гауссова кривизна положительна.
Сфера — единственная поверхность с ненулевой кривизной, где каждая точка является омбилической. Плоская омбилическая — это омбилическая с нулевой гауссовой кривизной. Обезьянье седло — пример поверхности с плоской омбилической, а на плоскости каждая точка является плоской омбилической. Замкнутая поверхность, топологически эквивалентная тору, может иметь или не иметь нулевые омбилические точки, но каждая замкнутая поверхность с ненулевой эйлеровой характеристикой , гладко вложенная в евклидово пространство , имеет по крайней мере одну омбилическую точку. Недоказанная гипотеза Константина Каратеодори утверждает, что каждая гладкая поверхность, топологически эквивалентная сфере, имеет по крайней мере две омбилические точки. [1]
Три основных типа точек омбилики — это эллиптические омбилики, параболические омбилики и гиперболические омбилики. Эллиптические омбилики имеют три линии хребта , проходящие через омбилику, а гиперболические омбилики — только одну. Параболические омбилики являются переходным случаем с двумя хребтами, один из которых является особым. Для переходных случаев возможны другие конфигурации. Эти случаи соответствуют элементарным катастрофам D 4 − , D 5 и D 4 + теории катастроф Рене Тома .
Омбилики также можно охарактеризовать по рисунку главного векторного поля направления вокруг омбилики, которые обычно образуют одну из трех конфигураций: звезда, лимон и лимонная звезда (или монстар). Индекс векторного поля равен либо −½ (звезда), либо ½ (лимон, монстар). Эллиптические и параболические омбилики всегда имеют звездный рисунок, в то время как гиперболические омбилики могут быть звездными, лимонными или монстарными. Эта классификация впервые была создана Дарбу , а названия происходят от Ханнея. [2]
Для поверхностей рода 0 с изолированными омбиликами, например, эллипсоида, индекс главного векторного поля направления должен быть равен 2 по теореме Пуанкаре–Хопфа . Общие поверхности рода 0 имеют по крайней мере четыре омбилики индекса ½. Эллипсоид вращения имеет две необщие омбилики, каждая из которых имеет индекс 1. [3]
Классификация омбилик тесно связана с классификацией действительных кубических форм . Кубическая форма будет иметь ряд корневых линий, таких, что кубическая форма равна нулю для всех действительных . Существует ряд возможностей, включая:
Классы эквивалентности таких кубик при равномерном масштабировании образуют трехмерное действительное проективное пространство, а подмножество параболических форм определяет поверхность, названную Кристофером Зееманом омбиликальным браслетом . [4] Взятие классов эквивалентности при вращении системы координат удаляет еще один параметр, и кубическая форма может быть представлена комплексной кубической формой с одним комплексным параметром . Параболические формы возникают, когда , внутренняя дельтоида, эллиптические формы находятся внутри дельтоида, а гиперболическая — снаружи. Если и не является кубическим корнем из единицы, то кубическая форма является прямоугольной кубической формой , которая играет особую роль для омбилик. Если то две корневые линии ортогональны. [5]
Вторая кубическая форма, якобиан, формируется путем взятия определителя якобиана векторной функции , . С точностью до постоянного множителя это кубическая форма . При использовании комплексных чисел якобиан является параболической кубической формой, когда , внешний дельтоид в диаграмме классификации. [5]
Любая поверхность с изолированной точкой омбилической кривой в начале координат может быть выражена как параметризация формы Монжа , где - уникальная главная кривизна. Тип омбилической кривой классифицируется по кубической форме из кубической части и соответствующей якобианской кубической формы. В то время как главные направления не определены однозначно в омбилической кривой, пределы главных направлений при следовании хребту на поверхности могут быть найдены, и они соответствуют корневым линиям кубической формы. Рисунок линий кривизны определяется якобианом. [5]
Классификация пупочных точек выглядит следующим образом: [5]
В общем семействе поверхностей омбилики могут создаваться или уничтожаться парами: рождение омбилик переход. Обе омбилики будут гиперболическими, одна с рисунком звезды, а другая с рисунком монстар. Внешний круг на диаграмме, прямоугольная кубическая форма, дает эти переходные случаи. Символические омбилики являются частным случаем этого. [5]
Эллиптические и гиперболические омбилики имеют отчетливо различные фокальные поверхности . Гребень на поверхности соответствует ребрам-куспидалам, поэтому каждый лист эллиптической фокальной поверхности будет иметь три ребра-куспидала, которые сходятся в фокусе омбилика, а затем переключаются на другой лист. Для гиперболического омбилика есть одно ребро-куспидала, которое переключается с одного листа на другой. [5]
Точка p в римановом подмногообразии является омбилической, если в точке p (векторнозначная) вторая фундаментальная форма является некоторым нормальным векторным тензором, индуцированным метрикой ( первая фундаментальная форма ). Эквивалентно, для всех векторов U , V в точке p , II( U , V ) = g p ( U , V ) , где — вектор средней кривизны в точке p .
Подмногообразие называется омбилическим (или всеомбилическим), если это условие выполняется в каждой точке "p". Это эквивалентно утверждению, что подмногообразие можно сделать полностью геодезическим с помощью соответствующего конформного изменения метрики окружающего ("объемлющего") многообразия. Например, поверхность в евклидовом пространстве является омбилической тогда и только тогда, когда она является частью сферы.
