В геометрии точка — это абстрактная идеализация точного положения , без размера, в физическом пространстве , [1] или его обобщение на другие виды математических пространств . Как нульмерные объекты , точки обычно считаются фундаментальными неделимыми элементами, составляющими пространство, из которых состоят одномерные кривые , двумерные поверхности и многомерные объекты; наоборот, точка может быть определена пересечением двух кривых или трех поверхностей, называемым вершиной или углом .
В классической евклидовой геометрии точка является примитивным понятием , определяемым как «то, что не имеет части». Точки и другие примитивные понятия определяются не в терминах других понятий, а только посредством определенных формальных свойств, называемых аксиомами , которым они должны удовлетворять; например, «существует ровно одна прямая линия , проходящая через две различные точки» . Как физические диаграммы, геометрические фигуры создаются с помощью таких инструментов, как циркуль , чертилка или ручка, чей заостренный кончик может отметить маленькую точку или проколоть небольшое отверстие, представляющее точку, или может быть нарисован на поверхности, представляющей кривую.
С появлением аналитической геометрии точки часто определяются или представляются в терминах числовых координат . В современной математике пространство точек обычно рассматривается как множество , множество точек .
Изолированная точка — это элемент некоторого подмножества точек, имеющий некоторую окрестность , не содержащую других точек подмножества.
Точки, рассматриваемые в рамках евклидовой геометрии , являются одними из самых фундаментальных объектов. Евклид изначально определил точку как «то, что не имеет части». [2] В двумерной евклидовой плоскости точка представлена упорядоченной парой ( x , y ) чисел, где первое число условно представляет горизонталь и часто обозначается как x , а второе число условно представляет вертикаль и часто обозначается как y . Эта идея легко обобщается на трехмерное евклидово пространство , где точка представлена упорядоченной тройкой ( x , y , z ) с дополнительным третьим числом, представляющим глубину и часто обозначаемым как z . Дальнейшие обобщения представлены упорядоченным набором из n членов, ( a1 , a2 , … , an ), где n — размерность пространства , в котором расположена точка. [3]
Многие конструкции в евклидовой геометрии состоят из бесконечного набора точек, которые соответствуют определенным аксиомам. Обычно это представлено набором точек ; Например, линия — это бесконечный набор точек вида , где c 1 через c n и d — константы, а n — размерность пространства. Существуют похожие конструкции, которые определяют плоскость , отрезок прямой и другие связанные понятия. [4] Отрезок прямой, состоящий только из одной точки, называется вырожденным отрезком прямой. [ требуется цитата ]
В дополнение к определению точек и конструкций, связанных с точками, Евклид также постулировал ключевую идею о точках, что любые две точки могут быть соединены прямой линией. [5] Это легко подтверждается в современных расширениях евклидовой геометрии и имело долгосрочные последствия при ее введении, позволяя строить почти все геометрические концепции, известные в то время. Однако постулирование Евклидом точек не было ни полным, ни окончательным, и он иногда предполагал факты о точках, которые не следовали напрямую из его аксиом, такие как порядок точек на прямой или существование определенных точек. Несмотря на это, современные расширения системы служат для устранения этих предположений. [6]
В математике существует несколько неэквивалентных определений размерности . Во всех общих определениях точка имеет 0 измерений.
Размерность векторного пространства — это максимальный размер линейно независимого подмножества. В векторном пространстве, состоящем из одной точки (которая должна быть нулевым вектором 0 ), нет линейно независимого подмножества. Нулевой вектор сам по себе не является линейно независимым, поскольку существует нетривиальная линейная комбинация, делающая его нулевым: .
Топологическая размерность топологического пространства определяется как минимальное значение n , такое, что каждое конечное открытое покрытие допускает конечное открытое покрытие , в котором ни одна точка не включена в более чем n +1 элемент. Если такого минимального n не существует, то говорят, что пространство имеет бесконечную размерность покрытия.
Точка является нульмерной относительно измерения покрытия, поскольку каждое открытое покрытие пространства имеет детализацию, состоящую из одного открытого множества.
Пусть X — метрическое пространство . Если S ⊂ X и d ∈ [0, ∞) , d -мерное содержание Хаусдорфа пространства S является инфимумом множества чисел δ ≥ 0, таких, что существует некоторый (индексированный) набор шаров, покрывающих S с r i > 0 для каждого i ∈ I , который удовлетворяет условию
Хаусдорфова размерность X определяется как
Точка имеет размерность Хаусдорфа равную 0, поскольку ее можно покрыть одним шаром сколь угодно малого радиуса.
Хотя понятие точки обычно считается фундаментальным в основной геометрии и топологии, есть некоторые системы, которые отказываются от него, например, некоммутативная геометрия и бесточечная топология . «Бесточечное» или «точечно-свободное» пространство определяется не как множество , а через некоторую структуру ( алгебраическую или логическую соответственно), которая выглядит как хорошо известное функциональное пространство на множестве: алгебра непрерывных функций или алгебра множеств соответственно. Точнее, такие структуры обобщают хорошо известные пространства функций таким образом, что операция «принять значение в этой точке» может быть не определена. [7] Дальнейшая традиция берет начало в некоторых книгах А. Н. Уайтхеда , в которых понятие области предполагается как примитивное вместе с понятием включения или соединения . [8]
Часто в физике и математике полезно думать о точке как о имеющей ненулевую массу или заряд (это особенно распространено в классическом электромагнетизме , где электроны идеализируются как точки с ненулевым зарядом). Дельта-функция Дирака , или δ- функция , является (неформально) обобщенной функцией на действительной числовой прямой, которая равна нулю везде, кроме нуля, с интегралом единица по всей действительной прямой. [9] Дельта-функция иногда рассматривается как бесконечно высокий, бесконечно тонкий шип в начале координат, с общей площадью единица под шипом, и физически представляет собой идеализированную точечную массу или точечный заряд . [10] Она была введена физиком-теоретиком Полем Дираком . В контексте обработки сигналов ее часто называют символом (или функцией) единичного импульса . [11] Ее дискретным аналогом является дельта-функция Кронекера , которая обычно определяется в конечной области и принимает значения 0 и 1.
