Линии тока, линии потока и линии пути

Линии поля в потоке жидкости

Красная частица движется в текущей жидкости; ее траектория обозначена красным цветом; кончик следа синих чернил, выпущенных из источника, следует за частицей, но в отличие от статической траектории (которая регистрирует более раннее движение точки), чернила, выпущенные после того, как красная точка уходит, продолжают двигаться вверх вместе с потоком. (Это линия потока .) Пунктирные линии представляют собой контуры поля скорости ( линии тока ), показывающие движение всего поля одновременно. ( См. версию с высоким разрешением . )

Сплошные синие линии и прерывистые серые линии представляют линии тока. Красные стрелки показывают направление и величину скорости потока. Эти стрелки касательны к линии тока. Группа линий тока охватывает зеленые кривые ( и ), образуя поверхность потока. ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$

Линии тока , линии штриха и линии пути являются линиями поля в потоке жидкости . Они различаются только тогда, когда поток изменяется со временем, то есть когда поток не является стационарным . ^{[1] [2]} Рассматривая векторное поле скорости в трехмерном пространстве в рамках механики сплошной среды , имеем:

• Линии тока — это семейство кривых , касательные векторы которых составляют векторное поле скорости потока. Они показывают направление, в котором будет перемещаться безмассовый элемент жидкости в любой момент времени. ^[3]
• Линии штриховки — это геометрические места точек всех частиц жидкости, которые непрерывно проходили через определенную пространственную точку в прошлом. Краситель, постоянно вводимый в жидкость в фиксированной точке (как при трассировке красителя ), распространяется вдоль линии штриховки.
• Линии пути — это траектории , по которым следуют отдельные частицы жидкости. Их можно рассматривать как «запись» пути элемента жидкости в потоке за определенный период. Направление пути будет определяться линиями тока жидкости в каждый момент времени.
• Линии времени — это линии, образованные набором жидких частиц, которые были отмечены в предыдущий момент времени, создавая линию или кривую, которая смещается во времени по мере движения частиц.

По определению, различные линии тока в один и тот же момент в потоке не пересекаются, поскольку частица жидкости не может иметь две разные скорости в одной и той же точке. Однако линии траектории могут пересекать сами себя или другие линии траектории (за исключением начальной и конечной точек различных линий траектории, которые должны быть различимы). Линии потока также могут пересекать сами себя и другие линии потока.

Линии потока и временные линии предоставляют моментальный снимок некоторых характеристик поля потока, тогда как линии потока и пути зависят от полной истории течения. Однако часто последовательности линий времени (и линий потока) в разные моменты времени, представленные либо на одном изображении, либо с помощью видеопотока, могут использоваться для получения представления о течении и его истории.

Если линия, кривая или замкнутая кривая используются в качестве начальной точки для непрерывного набора линий тока, результатом является поверхность потока . В случае замкнутой кривой в установившемся потоке жидкость, которая находится внутри поверхности потока, должна навсегда оставаться внутри той же поверхности потока, поскольку линии тока касательны к скорости потока. Скалярная функция, контурные линии которой определяют линии тока, известна как функция потока .

Линия красителя может относиться либо к полосе: краситель постепенно выделяется из фиксированного места в течение времени; либо к временной шкале: линия красителя, нанесенная мгновенно в определенный момент времени и наблюдаемая в более поздний момент.

Математическое описание

Обтекаемость

Направление линий магнитного поля — это линии тока, представленные выравниванием железных опилок, насыпанных на бумагу, помещенную над стержневым магнитом.

Потенциальные линии тока, достигающие условия Кутта вокруг аэродинамического профиля NACA с идентифицированными верхними и нижними трубками тока.

Линии тока определяются формулой ^[4] , где « » обозначает векторное векторное произведение и является параметрическим представлением только одной линии тока в один момент времени. $${\displaystyle {d{\vec {x}}_{S} \over ds}\times {\vec {u}}({\vec {x}}_{S})={\vec {0}},}$$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{S}(s)}$

Если компоненты скорости записаны , а компоненты линии тока, как мы выводим ^[4] , что показывает, что кривые параллельны вектору скорости. Вот переменная , которая параметризует кривую . Линии тока вычисляются мгновенно, что означает, что в один момент времени они вычисляются по всей жидкости из мгновенного поля скорости потока . ${\displaystyle {\vec {u}}=(u,v,w),}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{S}=(x_{S},y_{S},z_{S}),}$ $${\displaystyle {dx_{S} \over u}={dy_{S} \over v}={dz_{S} \over w},}$$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\mapsto {\vec {x}}_{S}(s).}$

Потоковая трубка состоит из пучка линий тока, подобно кабелю связи.

Уравнение движения жидкости по линии тока для потока в вертикальной плоскости имеет вид: ^[5] $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+c{\frac {\partial c}{\partial s}}=\nu {\frac {\partial ^{2}c}{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial s}}-g{\frac {\partial z}{\partial s}}}$$

Скорость потока в направлении линии тока обозначается как . — радиус кривизны линии тока. Плотность жидкости обозначается как , а кинематическая вязкость — как . — градиент давления и градиент скорости вдоль линии тока. Для стационарного потока производная скорости по времени равна нулю: . обозначает ускорение свободного падения. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial s}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial s}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=0}$ ${\displaystyle g}$

Пути

Фотография искры от костра , сделанная с большой выдержкой, показывает пути движения потока горячего воздуха.

Пути определяются $${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {d{\vec {x}}_{P}}{dt}}(t)={\vec {u}}_{P}({\vec {x}}_{P}(t),t)\\[1.2ex]{\vec {x}}_{P}(t_{0})={\vec {x}}_{P0}\end{cases}}}$$

Нижний индекс указывает на то, что мы следим за движением частицы жидкости. Обратите внимание, что в точке кривая параллельна вектору скорости потока , где вектор скорости оценивается в положении частицы в этот момент времени . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{P}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{P}}$ ${\displaystyle t}$

Линии потока

Пример линии потока, используемой для визуализации потока вокруг автомобиля в аэродинамической трубе.

Линии потока можно выразить как, где, — скорость частицы в точке и времени . Параметр , параметризует линию потока и , где — интересующее нас время. $${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {\frac {d{\vec {x}}_{str}}{dt}}={\vec {u}}_{P}({\vec {x}}_{str},t)\\[1.2ex]{\vec {x}}_{str}(t=\tau _{P})={\vec {x}}_{P0}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle {\vec {u}}_{P}({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \tau _{P}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{str}(t,\tau _{P})}$ ${\displaystyle t_{0}\leq \tau _{P}\leq t}$ ${\displaystyle t}$

Стабильные потоки

В стационарном потоке (когда векторное поле скорости не меняется со временем) линии тока, траектории и линии штриховки совпадают. Это происходит потому, что когда частица на линии тока достигает точки, далее по этой линии тока уравнения, управляющие потоком, направят ее в определенном направлении . Поскольку уравнения, управляющие потоком, остаются теми же, когда достигает другая частица, она также будет двигаться в направлении . Если поток не является стационарным, то когда следующая частица достигнет положения, поток изменится, и частица пойдет в другом направлении. ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle a_{0}}$

Это полезно, поскольку обычно очень трудно рассмотреть линии тока в эксперименте. Однако, если поток устойчив, можно использовать линии тока для описания картины линий тока.

Зависимость от фрейма

Линии тока зависят от системы отсчета. То есть линии тока, наблюдаемые в одной инерциальной системе отсчета, отличаются от линий тока, наблюдаемых в другой инерциальной системе отсчета. Например, линии тока в воздухе вокруг крыла самолета определяются по-разному для пассажиров в самолете, чем для наблюдателя на земле. В примере с самолетом наблюдатель на земле будет наблюдать нестационарный поток, а наблюдатели в самолете будут наблюдать стационарный поток с постоянными линиями тока. Когда это возможно, специалисты по динамике жидкостей пытаются найти систему отсчета, в которой поток является стационарным, чтобы они могли использовать экспериментальные методы создания линий тока для идентификации линий тока.

Приложение

Знание линий тока может быть полезным в гидродинамике. Кривизна линии тока связана с градиентом давления , действующим перпендикулярно линии тока. Центр кривизны линии тока лежит в направлении уменьшения радиального давления. Величина радиального градиента давления может быть рассчитана непосредственно из плотности жидкости, кривизны линии тока и локальной скорости.

Краситель можно использовать в воде или дым в воздухе, чтобы увидеть линии штриховки, из которых можно вычислить линии траектории. Линии штриховки идентичны линиям тока для устойчивого потока. Кроме того, краситель можно использовать для создания временных линий. ^[6] Шаблоны направляют изменения дизайна, направленные на уменьшение сопротивления. Эта задача известна как обтекаемость , а полученный дизайн называется обтекаемым . Обтекаемые объекты и организмы, такие как аэродинамические профили , обтекаемые самолеты , автомобили и дельфины , часто эстетически приятны для глаз. Стиль Streamline Moderne , ответвление ар-деко 1930-х и 1940-х годов , привнес плавные линии в архитектуру и дизайн той эпохи. Каноническим примером обтекаемой формы является куриное яйцо с тупым концом, обращенным вперед. Это ясно показывает, что кривизна передней поверхности может быть намного круче, чем задней части объекта. Большая часть сопротивления вызвана завихрениями в жидкости позади движущегося объекта, и цель должна заключаться в том, чтобы позволить жидкости замедлиться после прохождения вокруг объекта и восстановить давление, не образуя завихрений.

Те же термины с тех пор стали общепринятыми для описания любого процесса, который сглаживает операцию. Например, часто можно услышать ссылки на рационализацию деловой практики или операции. ^{[ необходима цитата ]}

Смотрите также

• Физический портал

• Коэффициент лобового сопротивления
• Элементарный поток
• Эквипотенциальная поверхность
• Визуализация потока
• Скорость потока
• Научная визуализация
• Засев (гидродинамика)
• Функция потока
• поверхность потока
• Ручеёк (научная визуализация)

Примечания и ссылки

Примечания

1. Бэтчелор, Г. (2000). Введение в механику жидкости .
2. Кунду П. и Коэн И. Механика жидкости .
3. "Определение линий потока". www.grc.nasa.gov . Архивировано из оригинала 18 января 2017 года . Получено 4 октября 2023 года .
4. Granger, RA (1995). Механика жидкости . Dover Publications. ISBN 0-486-68356-7., стр. 422–425.
5. tec-science (2020-04-22). "Уравнение движения жидкости по линии тока". tec-science . Получено 2020-05-07 .
6. "Визуализация потока". Национальный комитет по фильмам механики жидкости (NCFMF). Архивировано из оригинала ( RealMedia ) 2006-01-03 . Получено 2009-04-20 .

Ссылки

• Фабер, TE (1995). Гидродинамика для физиков . Cambridge University Press. ISBN 0-521-42969-2.

Внешние ссылки

• Оптимизация иллюстрации
• Учебное пособие - Иллюстрация линий тока, линий струй и траекторий поля скорости (с апплетом)
• Интерактивное веб-приложение Joukowsky Transform