Треугольная матрица

Особый вид квадратной матрицы

В математике треугольная матрица — это особый вид квадратной матрицы . Квадратная матрица называетсянижний треугольник , если все элементынадглавнойдиагональюравны нулю. Аналогично квадратная матрица называетсяверхний треугольный , если все элементынижеглавной диагонали равны нулю.

Поскольку матричные уравнения с треугольными матрицами легче решать, они очень важны в численном анализе . С помощью алгоритма LU-разложения обратимая матрица может быть записана как произведение нижней треугольной матрицы L и верхней треугольной матрицы U тогда и только тогда, когда все ее ведущие главные миноры отличны от нуля.

Описание

Матрица вида

${\displaystyle L={\begin{bmatrix}\ell _{1,1}&&&&0\\\ell _{2,1}&\ell _{2,2}&&&\\\ell _{3,1}&\ell _{3,2}&\ddots &&\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\\ell _{n,1}&\ell _{n,2}&\ldots &\ell _{n,n-1}&\ell _{n,n}\end{bmatrix}}}$

называется нижней треугольной матрицей или левой треугольной матрицей и аналогично матрицей вида

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &u_{n-1,n}\\0&&&&u_{n,n}\end{bmatrix}}}$

называется верхнетреугольной матрицей или правотреугольной матрицей . Нижняя или левая треугольная матрица обычно обозначается переменной L , а верхняя или правая треугольная матрица обычно обозначается переменной U или R.

Матрица, имеющая одновременно верхнюю и нижнюю треугольную форму, является диагональной . Матрицы, подобные треугольным , называются триангуляризуемыми .

Неквадратная (а иногда и любая) матрица с нулями выше (ниже) диагонали называется нижней (верхней) трапециевидной матрицей. Ненулевые записи образуют форму трапеции .

Примеры

Матрица

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\2&96&0\\4&9&69\\\end{bmatrix}}}$

имеет нижнюю треугольную форму, а

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&1\\0&6&9\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

имеет верхнюю треугольную форму.

Замена вперед и назад.

Матричное уравнение в форме или очень легко решить с помощью итерационного процесса, называемого прямой заменой для нижних треугольных матриц и аналогично обратной заменой для верхних треугольных матриц. Этот процесс называется так потому, что для нижних треугольных матриц сначала вычисляется , затем подставляется в следующее уравнение для решения для , и повторяется до . В верхней треугольной матрице все работает в обратном порядке: сначала вычисляется , затем подставляется обратно в предыдущее уравнение для решения и повторяется до . ${\displaystyle L\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ ${\displaystyle U\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n-1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$

Обратите внимание, что для этого не требуется инвертировать матрицу.

Замена вперед

Матричное уравнение L x = b можно записать в виде системы линейных уравнений

${\displaystyle {\begin{matrix}\ell _{1,1}x_{1}&&&&&&&=&b_{1}\\\ell _{2,1}x_{1}&+&\ell _{2,2}x_{2}&&&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\\ell _{m,1}x_{1}&+&\ell _{m,2}x_{2}&+&\dotsb &+&\ell _{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}}$

Обратите внимание, что первое уравнение ( ) включает только , и поэтому его можно решить напрямую. Второе уравнение включает только и , и поэтому его можно решить, если заменить уже решенное значение на . Продолжая таким же образом, -е уравнение включает только , и можно решить, используя ранее решенные значения для . Полученные формулы: ${\displaystyle \ell _{1,1}x_{1}=b_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {b_{1}}{\ell _{1,1}}},\\x_{2}&={\frac {b_{2}-\ell _{2,1}x_{1}}{\ell _{2,2}}},\\&\ \ \vdots \\x_{m}&={\frac {b_{m}-\sum _{i=1}^{m-1}\ell _{m,i}x_{i}}{\ell _{m,m}}}.\end{aligned}}}$

Матричное уравнение с верхнетреугольной матрицей U можно решить аналогичным образом, только действуя в обратном направлении.

Приложения

Форвардное замещение используется при финансовой начальной загрузке для построения кривой доходности .

Характеристики

Транспонирование верхней треугольной матрицы является нижней треугольной матрицей и наоборот .

Матрица, которая одновременно симметрична и треугольна, является диагональной. Аналогично, матрица, которая является одновременно нормальной (что означает A ^* A = AA ^* , где A ^* — сопряженное транспонирование ) и треугольной, также является диагональной. В этом можно убедиться, посмотрев на диагональные записи A ^* A и AA ^* .

Определитель и перманент треугольной матрицы равны произведению диагональных элементов, что можно проверить прямым вычислением.

На самом деле верно нечто большее: собственные значения треугольной матрицы — это в точности ее диагональные элементы. Более того, каждое собственное значение встречается на диагонали ровно k раз, где k — его алгебраическая кратность , то есть его кратность как корня характеристического многочлена A. Другими словами, характеристический полином треугольной матрицы A размера n × n в точности равен ${\displaystyle p_{A}(x)=\det(xI-A)}$

${\displaystyle p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})}$,

то есть уникальный полином степени n , корни которого являются диагональными элементами A (с кратностями). Чтобы убедиться в этом, заметим, что оно также является треугольным, и, следовательно, его определитель является произведением его диагональных элементов . ^[1] ${\displaystyle xI-A}$ ${\displaystyle \det(xI-A)}$ ${\displaystyle (x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})}$

Специальные формы

Унитреугольная матрица

Если все элементы на главной диагонали (верхней или нижней) треугольной матрицы равны 1, матрица называется (верхней или нижней) унитреугольной .

Другие названия, используемые для этих матриц, — единичная (верхняя или нижняя) треугольная или очень редко нормированная (верхняя или нижняя) треугольная . Однако единичная треугольная матрица — это не то же самое, что единичная матрица , и нормированная треугольная матрица не имеет ничего общего с понятием матричной нормы .

Все конечные унитреугольные матрицы унипотентны .

Строго треугольная матрица

Если все элементы на главной диагонали (верхней или нижней) треугольной матрицы также равны 0, матрица называется строго (верхней или нижней) треугольной .

Все конечные строго треугольные матрицы нильпотентны индекса не выше n как следствие теоремы Кэли-Гамильтона .

Атомная треугольная матрица

Атомная (верхняя или нижняя) треугольная матрица — это особая форма унитреугольной матрицы, в которой все недиагональные элементы равны нулю, за исключением записей в одном столбце . Такая матрица также называется матрицей Фробениуса , матрицей Гаусса или матрицей преобразования Гаусса .

Триангулярность

Матрица, подобная треугольной, называется триангуляризуемой . Абстрактно это эквивалентно стабилизации флага : верхние треугольные матрицы — это именно те, которые сохраняют стандартный флаг , который задается стандартным упорядоченным базисом и результирующим флагом. Все флаги сопряжены (поскольку общая линейная группа действует транзитивно на базисах), поэтому любая матрица, стабилизирующая флаг, аналогична той, которая стабилизирует стандартный флаг. ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ ${\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.}$

Любая комплексная квадратная матрица триангуляризуема. ^[1] Фактически, матрица A над полем , содержащим все собственные значения A (например, любая матрица над алгебраически замкнутым полем ), аналогична треугольной матрице. Это можно доказать, используя индукцию на основе того факта, что A имеет собственный вектор, взяв факторпространство по собственному вектору и проведя индукцию, чтобы показать, что A стабилизирует флаг и, таким образом, является триангуляризуемым относительно базиса для этого флага.

Более точное утверждение даёт теорема Жордана о нормальной форме , которая утверждает, что в этой ситуации A подобен верхней треугольной матрице очень специфической формы. Однако более простого результата триангуляризации часто бывает достаточно, и в любом случае он используется при доказательстве теоремы Жордана о нормальной форме. ^{[1] [2]}

В случае комплексных матриц о триангуляризации можно сказать больше, а именно, что любая квадратная матрица А имеет разложение Шура . Это означает, что A унитарно эквивалентна (т. е. подобна, используя унитарную матрицу в качестве замены базиса) верхней треугольной матрице; это следует из принятия эрмитовой основы для флага.

Одновременная триангуляризуемость

Говорят, что набор матриц ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$одновременно треугольные, если существует основа, при которой все они верхнетреугольные; эквивалентно, если они триангуляризуемы сверху с помощью одной матрицы подобияP.Такой набор матриц легче понять, рассматривая алгебру матриц, которую он порождает, а именно все полиномы в обозначенном.Одновременнаятриангуляризуемость означает, что эта алгебра сопряжена в подалгебру Ли верхнетреугольных матриц и эквивалентно тому, что эта алгебра является подалгеброй Ли борелевскойподалгебры. ${\displaystyle A_{i},}$ ${\displaystyle K[A_{1},\ldots ,A_{k}].}$

Основной результат состоит в том, что (над алгебраически замкнутым полем) коммутирующие матрицы или, в более общем смысле, одновременно триангуляризуемы. Это можно доказать, сначала показав, что коммутирующие матрицы имеют общий собственный вектор, а затем проведя индукцию по размерности, как и раньше. Это было доказано Фробениусом, начиная с 1878 года для коммутирующей пары, как обсуждалось в коммутирующих матрицах . Что касается одной матрицы, то по комплексным числам их можно триангуляризировать с помощью унитарных матриц. ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$

Тот факт, что коммутирующие матрицы имеют общий собственный вектор, можно интерпретировать как результат Nullstellensatz Гильберта : коммутирующие матрицы образуют коммутативную алгебру , над которой можно интерпретировать как многообразие в k -мерном аффинном пространстве, и существование (общего) собственного значения ( и, следовательно, общий собственный вектор) соответствует этому многообразию, имеющему точку (непустую), которая является содержимым (слабого) Nullstellensatz. ^{[ нужна цитата ]} В алгебраических терминах эти операторы соответствуют алгебраическому представлению алгебры полиномов от k переменных. ${\displaystyle K[A_{1},\ldots ,A_{k}]}$ ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{k}]}$

Это обобщено теоремой Ли , которая показывает, что любое представление разрешимой алгебры Ли одновременно триангуляризуемо сверху, причем случай коммутации матриц является случаем абелевой алгебры Ли , а абелева тем более разрешима.

В более общем смысле и точнее, набор матриц одновременно триангуляризуем тогда и только тогда, когда матрица нильпотентна для всех многочленов p от k некоммутирующих переменных, где коммутатор ; при коммутации коммутатор обращается в нуль, так что это справедливо. Это было доказано Дразиным, Данжи и Грюнбергом в 1951 г.; ^[3] краткое доказательство дано Прасоловым в 1994 году. ^[4] Одно направление ясно: если матрицы одновременно триангуляризуемы, то она строго триангуляризуема сверху (следовательно, нильпотентна), что сохраняется при умножении на любую из них или их комбинацию – по-прежнему будет иметь 0 на диагонали в триангуляризирующем базисе. ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$ ${\displaystyle p(A_{1},\ldots ,A_{k})[A_{i},A_{j}]}$ ${\displaystyle [A_{i},A_{j}]}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle [A_{i},A_{j}]}$ ${\displaystyle A_{k}}$

Алгебры треугольных матриц

Двоичные нижние унитреугольные матрицы Теплица , умноженные с помощью операций F 2 . Они образуют таблицу Кэли Z 4 и соответствуют степеням 4-битной перестановки кода Грея .

Верхняя треугольность сохраняется многими операциями:

• Сумма двух верхнетреугольных матриц является верхнетреугольной.
• Произведение двух верхних треугольных матриц является верхнетреугольным.
• Обратная верхнетреугольная матрица, если она существует, является верхнетреугольной.
• Произведение верхнетреугольной матрицы и скаляра является верхнетреугольным.

В совокупности эти факты означают, что верхние треугольные матрицы образуют подалгебру ассоциативной алгебры квадратных матриц заданного размера. Кроме того, это также показывает, что верхние треугольные матрицы можно рассматривать как подалгебру Ли алгебры Ли квадратных матриц фиксированного размера, где скобка Ли [ a , b ] задана коммутатором ab − ba . Алгебра Ли всех верхнетреугольных матриц является разрешимой алгеброй Ли . Ее часто называют борелевской подалгеброй алгебры Ли всех квадратных матриц.

Все эти результаты справедливы, если верхний треугольник полностью заменить нижним треугольником ; в частности, нижние треугольные матрицы также образуют алгебру Ли. Однако операции смешивания верхних и нижних треугольных матриц обычно не приводят к созданию треугольных матриц. Например, сумма верхней и нижней треугольной матрицы может быть любой матрицей; произведение нижней треугольной матрицы на верхнюю треугольную матрицу также не обязательно является треугольным.

Множество унитреугольных матриц образует группу Ли .

Набор строго верхних (или нижних) треугольных матриц образует нильпотентную алгебру Ли , обозначаемую Эта алгебра является производной алгеброй Ли , алгебры Ли всех верхних треугольных матриц; в символах, Кроме того, — алгебра Ли группы Ли унитреугольных матриц. ${\displaystyle {\mathfrak {n}}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}=[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}].}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$

В самом деле, по теореме Энгеля любая конечномерная нильпотентная алгебра Ли сопряжена с подалгеброй строго верхнетреугольных матриц, т. е. конечномерная нильпотентная алгебра Ли одновременно строго триангуляризуема сверху.

Алгебры верхнетреугольных матриц имеют естественное обобщение в функциональном анализе , которое дает гнездовые алгебры на гильбертовых пространствах .

Борелевские подгруппы и борелевские подалгебры

Множество обратимых треугольных матриц данного вида (верхнего или нижнего) образует группу , точнее группу Ли , которая является подгруппой общей линейной группы всех обратимых матриц. Треугольная матрица обратима именно тогда, когда ее диагональные элементы обратимы (отличны от нуля).

В отношении действительных чисел эта группа несвязна и имеет компоненты соответственно, поскольку каждая диагональная запись является положительной или отрицательной. Единичная компонента — это обратимые треугольные матрицы с положительными элементами на диагонали, а группа всех обратимых треугольных матриц — это полупрямое произведение этой группы и группы диагональных матриц с на диагонали, соответствующих компонентам. ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle \pm 1}$

Алгебра Ли группы Ли обратимых верхнетреугольных матриц представляет собой множество всех верхнетреугольных матриц, не обязательно обратимых, и является разрешимой алгеброй Ли . Это соответственно стандартная борелевская подгруппа B группы Ли GL _n и стандартная борелевская подалгебра алгебры Ли gl _n . ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

Верхние треугольные матрицы — это именно те, которые стабилизируют стандартный флаг . Обратимые из них образуют подгруппу общей линейной группы, сопряженными подгруппами которой являются те, которые определены как стабилизатор некоторого (другого) полного флага. Эти подгруппы являются борелевскими подгруппами . Группа обратимых нижне-треугольных матриц является такой подгруппой, поскольку она является стабилизатором стандартного флага, сопоставленного стандартному базису в обратном порядке.

Стабилизатор частичного флага, полученный забыванием некоторых частей стандартного флага, можно описать как набор блочных верхнетреугольных матриц (но не все его элементы являются треугольными матрицами). Сопряженными к такой группе являются подгруппы, определенные как стабилизатор некоторого частичного флага. Эти подгруппы называются параболическими подгруппами.

Примеры

Группа верхних унитреугольных матриц размера 2 × 2 изоморфна аддитивной группе поля скаляров; в случае комплексных чисел ему соответствует группа, образованная параболическими преобразованиями Мёбиуса ; верхние унитреугольные матрицы 3×3 образуют группу Гейзенберга .

Смотрите также

• Исключение по Гауссу
• QR-разложение
• Разложение Холецкого
• Матрица Хессенберга
• Трехдиагональная матрица
• Инвариантное подпространство

Рекомендации

1. Экслер, Шелдон Джей (1997). Линейная алгебра сделана правильно (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 86–87, 169. ISBN. 0-387-22595-1. ОСЛК  54850562.
2. Херштейн, Индиана (1975). Темы алгебры (2-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. стр. 285–290. ISBN 0-471-01090-1. ОСЛК  3307396.
3. Дразин, депутат; Данжи, JW; Грюнберг, К.В. (1951). «Некоторые теоремы о коммутативных матрицах». Журнал Лондонского математического общества . 26 (3): 221–228. дои : 10.1112/jlms/s1-26.3.221.
4. Прасолов, В.В. (1994). Проблемы и теоремы линейной алгебры. Семен Иванов. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 178–179. ISBN 9780821802366. ОСЛК  30076024.