В геометрии икосаэдр ( / ˌ aɪ k ɒ s ə ˈ h iː d r ən , - k ə - , - k oʊ -/ or / aɪ ˌ k ɒ s ə ˈ h iː d r ən / [1] ) - это многогранник с 20 гранями . Название происходит от древнегреческого εἴκοσι (eikosi) «двадцать» и ἕδρα (hédra) «сидение». Множественное число может быть либо «икосаэдры» ( /- d r ə / ), либо «икосаэдры».
Существует бесконечно много неподобных форм икосаэдров, некоторые из которых более симметричны, чем другие. Наиболее известным является ( выпуклый , незвездчатый ) правильный икосаэдр — одно из Платоновых тел — грани которого представляют собой 20 равносторонних треугольников .
Есть два объекта, один выпуклый и один невыпуклый, которые оба можно назвать правильными икосаэдрами. Каждый имеет 30 ребер и 20 равносторонних треугольных граней, по пять из которых сходятся в каждой из его двенадцати вершин. Оба имеют икосаэдрическую симметрию . Термин «правильный икосаэдр» обычно относится к выпуклому виду, в то время как невыпуклая форма называется большим икосаэдром .
Выпуклый правильный икосаэдр обычно называют просто правильным икосаэдром , одним из пяти правильных Платоновых тел , и он представлен символом Шлефли {3, 5}, содержащим 20 треугольных граней, при этом 5 граней сходятся вокруг каждой вершины.
Его двойственный многогранник — правильный додекаэдр {5, 3}, имеющий три правильные пятиугольные грани вокруг каждой вершины.
Большой икосаэдр — один из четырех правильных звездчатых многогранников Кеплера-Пуансо . Его символ Шлефли — {3, 5/2 }. Как и выпуклая форма, она также имеет 20 равносторонних треугольных граней, но ее вершинная фигура — пентаграмма, а не пятиугольник, что приводит к геометрически пересекающимся граням. Пересечения треугольников не представляют собой новые ребра.
Его двойственный многогранник — большой звездчатый додекаэдр { 5/2 , 3}, имеющий три правильные звездчатые пятиугольные грани вокруг каждой вершины.
Формирование звёздчатой формы — это процесс расширения граней или рёбер многогранника до тех пор, пока они не встретятся, образуя новый многогранник. Это делается симметрично, так что полученная фигура сохраняет общую симметрию исходной фигуры.
В своей книге «Пятьдесят девять икосаэдров » Коксетер и др. перечислили 58 таких звёздчатых форм правильного икосаэдра.
Из них многие имеют одну грань в каждой из 20 плоскостей граней, поэтому они также являются икосаэдрами. Большой икосаэдр входит в их число.
Другие звёздчатые формы имеют более одной грани в каждой плоскости или образуют соединения более простых многогранников. Они не являются строго икосаэдрами, хотя их часто так называют.
Правильный икосаэдр может быть искажен или обозначен как более низкая пиритоэдрическая симметрия, [2] [3] и называется плосконосым октаэдром , плосконосым тетратетраэдром , плосконосым тетраэдром и псевдоикосаэдром . [4] Это можно рассматривать как чередующийся усеченный октаэдр . Если все треугольники равносторонние , симметрию также можно различить, раскрасив по-разному наборы из 8 и 12 треугольников.
Пиритоэдрическая симметрия имеет символ (3*2), [3 + ,4], с порядком 24. Тетраэдрическая симметрия имеет символ (332), [3,3] + , с порядком 12. Эти низшие симметрии допускают геометрические искажения из 20 равносторонних треугольных граней, вместо этого имея 8 равносторонних треугольников и 12 конгруэнтных равнобедренных треугольников .
Эти симметрии предлагают диаграммы Кокстера :
исоответственно, каждый из которых представляет собой более низкую симметрию правильного икосаэдра 
, (*532), [5,3] икосаэдрическая симметрия порядка 120.
Декартовы координаты 12 вершин могут быть определены векторами, определяемыми всеми возможными циклическими перестановками и перестановками знаков координат вида (2, 1, 0). Эти координаты представляют собой усеченный октаэдр с удаленными чередующимися вершинами.
Эта конструкция называется плосконосым тетраэдром в его правильной форме икосаэдра, полученным с помощью тех же операций, выполняемых начиная с вектора ( ϕ , 1, 0), где ϕ — золотое сечение . [3]
В икосаэдре Йессена, иногда называемом ортогональным икосаэдром Йессена , 12 равнобедренных граней расположены по-разному, так что фигура является невыпуклой и имеет прямые двугранные углы .
Он конгруэнтен кубу, то есть его можно разрезать на более мелкие многогранные части, которые можно переставлять, чтобы сформировать цельный куб.
Правильный икосаэдр топологически идентичен кубооктаэдру с его 6 квадратными гранями, разделенными пополам по диагоналям с пиритоэдрической симметрией. Икосаэдры с пиритоэдрической симметрией составляют бесконечное семейство многогранников, которое включает кубооктаэдр, правильный икосаэдр, икосаэдр Йессена и октаэдр с двойным покрытием . Циклические кинематические преобразования между членами этого семейства существуют.
Ромбический икосаэдр — это зоноэдр, состоящий из 20 конгруэнтных ромбов. Его можно получить из ромбического триаконтаэдра , удалив 10 средних граней. Несмотря на то, что все грани конгруэнтны, ромбический икосаэдр не является гране-транзитивным .
К распространенным икосаэдрам с симметрией пирамиды и призмы относятся:
Несколько тел Джонсона являются икосаэдрами: [5]
