В математике тернарное отношение или триадическое отношение — это финитное отношение , в котором число мест в отношении равно трем. Тернарные отношения также могут называться 3-адическими , 3-арными , 3-мерными или 3-местными .
Так же, как бинарное отношение формально определяется как множество пар , т.е. подмножество декартова произведения A × B некоторых множеств A и B , так и тернарное отношение представляет собой множество троек, образующих подмножество декартова произведения A × B × C трех множеств A , B и C.
Пример тернарного отношения в элементарной геометрии можно привести для троек точек, где тройка находится в отношении, если три точки коллинеарны . Другой геометрический пример можно получить, рассматривая тройки, состоящие из двух точек и прямой, где тройка находится в тернарном отношении, если две точки определяют (инцидентны ) прямой.
Функция f : A × B → C от двух переменных, отображающая два значения из множеств A и B соответственно в значение из C, сопоставляет каждой паре ( a , b ) из A × B элемент f ( a , b ) из C. Поэтому ее граф состоит из пар вида (( a , b ), f ( a , b )) . Такие пары, в которых первый элемент сам является парой, часто отождествляются с тройками. Это делает граф f тернарным отношением между A , B и C , состоящим из всех троек ( a , b , f ( a , b ) ) , удовлетворяющих a в A , b в B и f ( a , b ) в C.
Для любого множества A, элементы которого расположены по окружности, можно определить тернарное отношение R на A , т. е. подмножество A 3 = A × A × A , установив, что R ( a , b , c ) выполняется тогда и только тогда, когда элементы a , b и c попарно различны и при движении от a к c по часовой стрелке мы проходим через b . Например, если A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } представляет часы на циферблате , то R (8, 12, 4) выполняется, а R (12, 8, 4) — нет.
Обычная конгруэнтность арифметики
которое выполняется для трех целых чисел a , b , и m тогда и только тогда, когда m делит a − b , формально может рассматриваться как тернарное отношение. Однако, обычно, это вместо этого рассматривается как семейство бинарных отношений между a и b , индексированных модулем m . Для каждого фиксированного m , действительно, это бинарное отношение имеет некоторые естественные свойства, такие как быть отношением эквивалентности ; в то время как объединенное тернарное отношение в целом не изучается как одно отношение.
Отношение типизации Γ ⊢ e : σ указывает, что e является термином типа σ в контексте Γ и, таким образом, является тернарным отношением между контекстами, терминами и типами.
При наличии однородных отношений A , B и C на множестве можно определить тернарное отношение ( A , B , C ) с помощью композиции отношений AB и включения AB ⊆ C. В исчислении отношений каждое отношение A имеет обратное отношение A T и дополнительное отношение A . Используя эти инволюции , Август Де Морган и Эрнст Шрёдер показали, что ( A , B , C ) эквивалентно ( C , B T , A ) , а также эквивалентно ( AT , C , B ) . Взаимные эквивалентности этих форм, построенные из тернарного отношения ( A , B , C ) , называются правилами Шрёдера . [1]
