Трохоид

В геометрии трохоида (от греч. trochos «колесо») — это кривая рулетки , образованная кругом, катящимся по прямой . Это кривая , очерчиваемая точкой, прикрепленной к окружности (при этом точка может находиться внутри, внутри или снаружи окружности), когда она катится по прямой линии. ^[1] Если точка находится на окружности, трохоида называется общей (также известной как циклоида ); если точка находится внутри круга, трохоида изогнута ; а если точка находится вне круга, трохоид вытянутая . Слово «трохоида» было придумано Жилем де Робервалем для обозначения особого случая циклоиды. ^[2]

Основное описание

Поскольку круг радиуса $катится$ без скольжения по линии $L$ , центр $C$ движется параллельно $L$ , а каждая другая точка $P$ во вращающейся плоскости, жестко прикрепленная к кругу, следует по кривой, называемой трохоидой. Пусть $CP = b$ . Параметрические уравнения трохоиды, для которой $L$ является осью $x$ , имеют вид

{\begin{aligned}&x=a\theta -b\sin \theta \\&y=ab\cos \theta \end{aligned}}

где $θ$ — переменный угол, на который катится круг.

Курчатая, обыкновенная, вытянутая

Если $P$ лежит внутри круга ( $b < a$ ), на его окружности ( $b = a$ ) или снаружи ( $b > a$ ), трохоида описывается как изогнутая («сжатая»), общая или вытянутая («расширенная»). ), соответственно. ^[3] Курчатая трохоида отслеживается педалью (относительно земли), когда велосипед с нормальной передачей крутится по прямой. ^[4] Вытянутая трохоида очерчивается кончиком весла (относительно поверхности воды), когда лодка движется с постоянной скоростью гребными колесами ; эта кривая содержит петли. Обычная трохоида, также называемая циклоидой , имеет заострения в точках, где P $касается$ линии $L.$

Общее описание

Более общий подход определил бы трохоиду как геометрическое место точки , вращающейся с постоянной скоростью вокруг оси, расположенной в точке , $(x,y)$ $(x',y')$

x=x'+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1}),\ y=y'+r_{1}\sin(\omega _{1}t+ \phi _{1}),\ r_{1}>0,

какая ось перемещается в плоскости xy с постоянной скоростью либо по прямой,

{\begin{array}{lcl}x'=x_{0}+v_{2x}t,\ y'=y_{0}+v_{2y}t\\\therefore x=x_{0} +r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+v_{2x}t,\ y=y_{0}+r_{1}\sin(\omega _{1} t+\phi _{1})+v_{2y}t,\\\end{массив}}

или круговой путь (другая орбита) вокруг ( случай гипотрохоиды / эпитрохоиды ), $(x_{0},y_{0})$

{\begin{array}{lcl}x'=x_{0}+r_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ y'=y_{0} +r_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ r_{2}\geq 0\\\therefore x=x_{0}+r_{1}\cos(\ omega _{1}t+\phi _{1})+r_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ y=y_{0}+r_{1}\sin (\omega _{1}t+\phi _{1})+r_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2}),\\\end{array}}

Соотношение скоростей движения и то, движется ли движущаяся ось по прямой или круговой траектории, определяет форму трохоиды. В случае прямой траектории один полный оборот совпадает с одним периодом периодического ( повторяющегося) локуса. В случае круговой траектории движущейся оси траектория является периодической только в том случае, если отношение этих угловых движений, , является рациональным числом, скажем , где & взаимно простые , и в этом случае один период состоит из орбит вокруг движущейся оси. ось и орбиты движущейся оси вокруг точки . Особые случаи эпициклоиды и гипоциклоиды , возникающие путем отслеживания геометрического положения точки на периметре круга радиуса, когда она катится по периметру стационарного круга радиуса , имеют следующие свойства: $\omega _{1}/\omega _{2}$ ${\ displaystyle p/q}$ ${\ displaystyle p}$ $q$ ${\ displaystyle p}$ $q$ $(x_{0},y_{0})$ $r_{1}$ $R$

{\begin{array}{lcl}{\text{эпициклоида: }}&\omega _{1}/\omega _{2}&=p/q=r_{2}/r_{1}= R/r_{1}+1,\ |pq|{\text{ выступы}}\\{\text{гипоциклоида: }}&\omega _{1}/\omega _{2}&=p/q= -r_{2}/r_{1}=-(R/r_{1}-1),\ |pq|=|p|+|q|{\text{ точки возврата}}\end{array}}

где – радиус орбиты движущейся оси. Приведенное выше количество точек возврата также справедливо для любой эпитрохоиды и гипотрохоиды, при этом «каспы» заменяются либо «радиальными максимумами», либо «радиальными минимумами». $r_{2}$

Смотрите также

Внешние ссылки