Сферическая система координат

Координаты, состоящие из расстояния и двух углов

Физическое соглашение . Сферические координаты ( r , θ , φ ) обычно используются: ( ISO 80000-2:2019 ): радиальное расстояние r ( наклонное расстояние до начала координат), полярный угол θ ( тета ) (угол относительно положительной полярной оси) и азимутальный угол φ ( фи ) (угол поворота от начальной меридиональной плоскости). Это соглашение соблюдается в этой статье.

В математике сферическая система координат — это система координат для трехмерного пространства , в которой положение заданной точки в пространстве задается тремя действительными числами : радиальным расстоянием r вдоль радиальной линии, соединяющей точку с фиксированной точкой начала координат ; полярным углом θ между радиальной линией и заданной полярной осью ; ^[a] и азимутальным углом φ как углом поворота радиальной линии вокруг полярной оси. ^[b] (См. рисунок относительно «физической конвенции».) После того, как радиус зафиксирован, три координаты ( r , θ , φ ), известные как тройка , обеспечивают систему координат на сфере , обычно называемую сферическими полярными координатами . Плоскость, проходящая через начало координат и перпендикулярная полярной оси (где полярный угол является прямым углом ), называется плоскостью отсчета (иногда фундаментальной плоскостью ).

Терминология

Радиальное расстояние от фиксированной точки начала координат также называется радиусом , или радиальной линией , или радиальной координатой . Полярный угол может называться углом наклона , зенитным углом , нормальным углом или коширотой . Пользователь может проигнорировать угол наклона и вместо этого использовать угол возвышения , который измеряется вверх между плоскостью отсчета и радиальной линией, т. е. от плоскости отсчета вверх (по направлению к положительной оси z) к радиальной линии. Угол наклона — это отрицательное значение угла возвышения. (См. график относительно «физического соглашения», а не «математического соглашения».)

Как использование символов, так и порядок именования координат кортежа различаются в разных источниках и дисциплинах. В этой статье будет использоваться соглашение ISO ^[1], часто встречающееся в физике , где кортеж именования задает порядок как: радиальное расстояние, полярный угол, азимутальный угол или . (См. рисунок относительно «соглашения по физике».) Напротив, соглашения во многих математических книгах и текстах дают порядок именования по-разному: радиальное расстояние, «азимутальный угол», «полярный угол» и или — что меняет использование и значение символов θ и φ . Также могут использоваться другие соглашения, например r для радиуса от оси z , который не от точки начала координат. Необходимо проявлять особую осторожность при проверке значения символов . ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle (\rho ,\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$

Математическое соглашение . Сферические координаты ( r , θ , φ ) , как обычно используются: радиальное расстояние r , азимутальный угол θ и полярный угол φ . + Значения θ и φ поменялись местами — по сравнению с физическим соглашением . Ось x, направленная на юг, изображена, а ось x, направленная на север, — нет. (Как и в физике, ρ ( rho ) часто используется вместо r , чтобы избежать путаницы со значением r в цилиндрических и двумерных полярных координатах.)

Согласно соглашениям географических систем координат , позиции измеряются широтой, долготой и высотой (высотой). Существует ряд небесных систем координат, основанных на различных фундаментальных плоскостях и с различными терминами для различных координат. Сферические системы координат, используемые в математике, обычно используют радианы , а не градусы ; (обратите внимание, что 90 градусов равны π _/2 радианам). И эти системы математического соглашения могут измерять азимутальный угол против часовой стрелки (т. е. от южного направления оси x , или 180°, к восточному направлению оси y , или +90°) — а не по часовой стрелке (т. е. от северного направления оси x, или 0°, к восточному направлению оси y, или +90°), как это делается в горизонтальной системе координат . ^[2] (См. рисунок относительно «математического соглашения».)

Сферическую систему координат физической конвенции можно рассматривать как обобщение полярной системы координат в трехмерном пространстве . Ее можно далее распространить на пространства более высоких размерностей, и тогда ее называют гиперсферической системой координат .

Определение

Чтобы определить сферическую систему координат, необходимо указать исходную точку в пространстве, O , и два ортогональных направления: зенитное опорное направление и азимутальное опорное направление. Эти варианты определяют опорную плоскость, которая обычно определяется как содержащая исходную точку и оси x и y , любая из которых может быть обозначена как азимутальное опорное направление. Опорная плоскость перпендикулярна (ортогональна) зенитному направлению и обычно обозначается как «горизонтальная» по отношению к «вертикали» зенитного направления. Сферические координаты точки P тогда определяются следующим образом:

• Радиус или радиальное расстояние — это евклидово расстояние от начала координат O до P.
• Наклонение ( или полярный угол ) — это угол со знаком от направления отсчета зенита до отрезка прямой OP . ( В качестве полярного угла вместо наклонения можно использовать возвышение ; см. ниже.)
• Азимут (или азимутальный угол ) — это знаковый угол, измеренный от опорного направления азимута до ортогональной проекции радиального отрезка OP на опорную плоскость.

Знак азимута определяется обозначением вращения, которое является положительным направлением поворота вокруг зенита. Этот выбор произволен и является частью определения системы координат. (Если наклон равен нулю или 180 градусам (= π радиан), азимут произволен. Если радиус равен нулю, то и азимут, и наклон произвольны.)

Высота — это угол со знаком от опорной плоскости xy до радиального отрезка OP , где положительные углы обозначаются как направленные вверх, в сторону опорной точки зенита. Высота составляет 90 градусов (= ⁠π/2⁠ радианы) минус наклон . Таким образом, если наклон равен 60 градусам (= ⁠π/3⁠ радиан), то угол возвышения составляет 30 градусов (= ⁠π/6⁠ радианы).

В линейной алгебре вектор из начала координат O в точку P часто называют радиус - вектором точки P.

Конвенции

Существует несколько различных соглашений для представления сферических координат и указания порядка именования их символов. Набор из 3-х чисел обозначает радиальное расстояние, полярный угол — «наклон» или, как альтернатива, «возвышение» — и азимутальный угол. Это общепринятая практика в рамках соглашения по физике, как указано в стандарте ISO 80000-2:2019 и ранее в ISO 31-11 (1992). ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$

Как указано выше, в данной статье описывается «физическая конвенция» ИСО, если не указано иное.

Однако некоторые авторы (включая математиков) используют символ ρ (rho) для радиуса или радиального расстояния, φ для наклона (или возвышения) и θ для азимута — в то время как другие сохраняют использование r для радиуса; все это «обеспечивает логическое расширение обычной записи полярных координат». ^[3] Что касается порядка, некоторые авторы перечисляют азимут перед углом наклона (или возвышения). Некоторые комбинации этих выборов приводят к левой системе координат. Стандартный «физический конвенционный» набор из 3-кортежей конфликтует с обычной записью для двумерных полярных координат и трехмерных цилиндрических координат , где θ часто используется для азимута. ^[3] ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$

Углы обычно измеряются в градусах (°) или в радианах (рад), где 360° = 2π рад . Использование градусов наиболее распространено в географии, астрономии и инженерии, где радианы обычно используются в математике и теоретической физике. Единица радиального расстояния обычно определяется контекстом, как это происходит в приложениях «единичной сферы», см. приложения.

Когда система используется для обозначения физического трехмерного пространства, принято присваивать положительные углы азимута, измеренные против часовой стрелки от опорного направления на опорной плоскости — как видно со стороны «зенита» плоскости. Это соглашение используется, в частности, для географических координат, где направление «зенита» — север , а положительные углы азимута (долготы) измеряются на восток от некоторого нулевого меридиана .

Примечание: Восточное направление ( E ), Северное направление ( N ) , Вертикальное направление ( U ). В случае ( U , S , E ) локальный азимутальный угол будет измеряться против часовой стрелки от S до E.

Уникальные координаты

Любой сферический координатный триплет (или кортеж) определяет одну точку трехмерного пространства. На обратном виде любая отдельная точка имеет бесконечно много эквивалентных сферических координат. То есть пользователь может добавлять или вычитать любое количество полных оборотов к угловым мерам, не изменяя сами углы, и, следовательно, не изменяя точку. Во многих контекстах удобно использовать отрицательные радиальные расстояния, соглашение о том , что , что эквивалентно или для любых r , θ , и φ . Более того, эквивалентно . ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle (-r,\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle (r,\theta {+}180^{\circ },\varphi )}$ ${\displaystyle (r,90^{\circ }{-}\theta ,\varphi {+}180^{\circ })}$ ${\displaystyle (r,-\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi {+}180^{\circ })}$

При необходимости определить уникальный набор сферических координат для каждой точки пользователь должен ограничить диапазон, или интервал , каждой координаты. Обычный выбор:

• радиальное расстояние: r ≥ 0,
• полярный угол: 0° ≤ θ ≤ 180° или 0 рад ≤ θ ≤ π рад ,
• азимут: 0° ≤ φ < 360° или 0 рад ≤ φ < 2 π рад .

Но вместо интервала [0°, 360°) азимут φ обычно ограничивается полуоткрытым интервалом (−180°, +180°] или (− π , + π ] радиан, что является стандартным соглашением для географической долготы.

Для полярного угла θ диапазон (интервал) наклона равен [0°, 180°] , что эквивалентно диапазону (интервалу) высоты [−90°, +90°] . В географии широта — это высота.

Даже с этими ограничениями, если полярный угол (наклонение) равен 0° или 180° — возвышение равно −90° или +90° — то азимутальный угол произволен; и если r равно нулю, то и азимутальный, и полярный углы произвольны. Чтобы определить координаты как уникальные, пользователь может утверждать соглашение, что (в этих случаях) произвольные координаты устанавливаются равными нулю.

Построение

Чтобы нанести любую точку на карту по ее сферическим координатам ( r , θ , φ ) , где θ — наклон, пользователь должен: переместиться на r единиц от начала координат в направлении зенита (ось z); затем повернуть на величину азимутального угла ( φ ) вокруг начала координат от указанного направления азимута (т. е. оси x или y, см. Определение выше); а затем повернуть от оси z на величину угла θ .

Приложения

В математическом соглашении : глобус, показывающий единичную сферу , с кортежем координат точки P (красная): ее радиальное расстояние r (красное, не помечено); ее азимутальный угол θ (не помечено); и ее полярный угол наклона φ (не помечено). Радиальному расстоянию вверх вдоль оси зенита от точки начала координат до поверхности сферы присвоено значение единицы, или 1. + На этом изображении r кажется равным 4/6, или .67, (единицы); т. е. четыре из шести «вложенных оболочек» на поверхности. Азимутальный угол θ кажется равным положительным 90°, если повернуть против часовой стрелки от азимутальной опорной оси x; а наклон φ кажется равным 30°, если повернуть от оси зенита. (Обратите внимание, что «полный» поворот или наклон от оси зенита к оси y составляет 90°).

Так же, как двумерная декартова система координат полезна — имеет широкий спектр приложений — на плоской поверхности, двумерная сферическая система координат полезна на поверхности сферы. Например, одна сфера, которая описывается в декартовых координатах уравнением x ² + y ² + z ² = c ^{2 ,} может быть описана в сферических координатах простым уравнением r = c . (В этой системе — показанной здесь в математическом соглашении — сфера адаптирована как единичная сфера , где радиус установлен равным единице и затем может быть в общем случае проигнорирован, см. рисунок.)

Это (единичная сфера) упрощение также полезно при работе с такими объектами, как вращательные матрицы . Сферические координаты также полезны при анализе систем, которые имеют некоторую степень симметрии относительно точки, включая: объемные интегралы внутри сферы; потенциальное энергетическое поле, окружающее концентрированную массу или заряд; или глобальное моделирование погоды в атмосфере планеты.

Показанная здесь выходная диаграмма промышленного громкоговорителя использует сферические полярные диаграммы, полученные на шести частотах.

Трехмерное моделирование выходных диаграмм громкоговорителей может использоваться для прогнозирования их производительности. Требуется ряд полярных диаграмм, снятых на широком диапазоне частот, поскольку диаграмма сильно меняется с частотой. Полярные диаграммы помогают показать, что многие громкоговорители имеют тенденцию к всенаправленности на более низких частотах.

Важное применение сферических координат обеспечивает разделение переменных в двух частных дифференциальных уравнениях — уравнениях Лапласа и Гельмгольца — которые возникают во многих физических задачах. Угловые части решений таких уравнений принимают форму сферических гармоник . Другое применение — эргономичный дизайн , где r — длина руки неподвижного человека, а углы описывают направление руки, когда она вытягивается. Сферическая система координат также широко используется в разработке 3D-игр для вращения камеры вокруг позиции игрока ^[4]

В географии

Вместо наклона географическая система координат использует угол возвышения (или широту ) в диапазоне (также известном как область ) −90° ≤ φ ≤ 90° и повернута на север от плоскости экватора . Широта (т. е. угол широты) может быть либо геоцентрической широтой , измеренной (повернутой) от центра Земли — и обозначаемой по-разному ψ , q , φ ′, φ _c , φ _g — либо геодезической широтой , измеренной (повернутой) от локальной вертикали наблюдателя и обычно обозначаемой φ . Полярный угол (наклонение), который составляет 90° минус широта и варьируется от 0 до 180°, в географии называется коширотой .

Азимутальный угол (или долгота ) заданного положения на Земле, обычно обозначаемый λ , измеряется в градусах к востоку или западу от некоторого условного референц- меридиана (чаще всего референц-меридиана IERS ); таким образом, его область (или диапазон) составляет −180° ≤ λ ≤ 180° , а заданное показание обычно обозначается как «Восток» или «Запад». Для положений на Земле или другом твердом небесном теле за плоскость отсчета обычно принимается плоскость, перпендикулярная оси вращения .

Вместо радиального расстояния r географы обычно используют высоту над или под некоторой локальной опорной поверхностью ( вертикальный датум ), которая, например, может быть средним уровнем моря . При необходимости радиальное расстояние можно вычислить из высоты, добавив радиус Земли , который составляет приблизительно 6360 ± 11 км (3952 ± 7 миль).

Однако современные географические системы координат довольно сложны, и позиции, подразумеваемые этими простыми формулами, могут быть неточными на несколько километров. Точные стандартные значения широты, долготы и высоты в настоящее время определяются Всемирной геодезической системой (WGS) и учитывают сплющивание Земли на полюсах (около 21 км или 13 миль) и многие другие детали.

Планетарные системы координат используют формулы, аналогичные географической системе координат.

В астрономии

Для измерения угла возвышения из нескольких фундаментальных плоскостей используется ряд астрономических систем координат . Эти опорные плоскости включают: горизонт наблюдателя , галактический экватор (определяемый вращением Млечного Пути ), небесный экватор (определяемый вращением Земли), плоскость эклиптики ( определяемая орбитой Земли вокруг Солнца ) и плоскость земного терминатора (нормаль к мгновенному направлению на Солнце ).

Преобразования систем координат

Поскольку сферическая система координат является лишь одной из многих трехмерных систем координат, существуют уравнения для преобразования координат между сферической системой координат и другими системами координат.

Декартовы координаты

Сферические координаты точки в конвенции ИСО (т.е. для физики: радиус r , наклон θ , азимут φ ) можно получить из ее декартовых координат ( x , y , z ) по формулам

$${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arccos {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}=\arccos {\frac {z}{r}}={\begin{cases}\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}&{\text{if }}z>0\\\pi +\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}&{\text{if }}z<0\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}z=0{\text{ and }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\neq 0\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=y=z=0\\\end{cases}}\\\varphi &=\operatorname {sgn}(y)\arccos {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{if }}x>0,\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0,\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0,\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0,\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Обратный тангенс обозначается как φ = arctan ⁠у/х⁠ должен быть соответствующим образом определен, принимая во внимание правильный квадрант ( x , y ) , как это сделано в уравнениях выше. См. статью об atan2 .

В качестве альтернативы преобразование можно рассматривать как два последовательных прямоугольных преобразования в полярные : первое в декартовой плоскости xy из ( x , y ) в ( R , φ ) , где R — проекция r на плоскость xy , а второе в декартовой плоскости zR из ( z , R ) в ( r , θ ) . Правильные квадранты для φ и θ подразумеваются правильностью плоских прямоугольных преобразований в полярные.

Эти формулы предполагают, что обе системы имеют одинаковое происхождение, что сферическая плоскость отсчета является декартовой плоскостью xy , что θ является наклоном от направления z и что азимутальные углы измеряются от декартовой оси x (так что ось y имеет φ = +90° ). Если θ измеряет высоту от плоскости отсчета вместо наклона от зенита, то arccos выше становится arcsin, а cos θ и sin θ ниже меняются местами.

И наоборот, декартовы координаты могут быть получены из сферических координат ( радиус r , наклон θ , азимут φ ), где r ∈ [0, ∞) , θ ∈ [0, π ] , φ ∈ [0, 2 π ) , с помощью $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\y&=r\sin \theta \,\sin \varphi ,\\z&=r\cos \theta .\end{aligned}}}$$

Цилиндрические координаты

Цилиндрические координаты ( осевой радиус ρ , азимут φ , высота z ) можно преобразовать в сферические координаты ( центральный радиус r , наклон θ , азимут φ ) по формулам

$${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\theta &=\arctan {\frac {\rho }{z}}=\arccos {\frac {z}{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}},\\\varphi &=\varphi .\end{aligned}}}$$

Наоборот, сферические координаты можно преобразовать в цилиндрические координаты по формулам

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=r\sin \theta ,\\\varphi &=\varphi ,\\z&=r\cos \theta .\end{aligned}}}$$

Эти формулы предполагают, что обе системы имеют одно и то же начало координат и одну и ту же плоскость отсчета, измеряют азимутальный угол φ в одних и тех же направлениях относительно одной и той же оси и что сферический угол θ представляет собой наклон относительно цилиндрической оси z .

Обобщение

Также можно работать с эллипсоидами в декартовых координатах, используя модифицированную версию сферических координат.

Пусть P — эллипсоид, заданный множеством уровня

$${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=d.}$$

Модифицированные сферические координаты точки в P в конвенции ISO (т.е. для физики: радиус r , наклон θ , азимут φ ) могут быть получены из ее декартовых координат ( x , y , z ) по формулам

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{\sqrt {a}}}r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\y&={\frac {1}{\sqrt {b}}}r\sin \theta \,\sin \varphi ,\\z&={\frac {1}{\sqrt {c}}}r\cos \theta ,\\r^{2}&=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}.\end{aligned}}}$$

Бесконечно малый элемент объема определяется выражением

$${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,dr\,d\theta \,d\varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega .}$$

Квадратный корень возникает из свойства определителя , позволяющего извлечь константу из столбца:

$${\displaystyle {\begin{vmatrix}ka&b&c\\kd&e&f\\kg&h&i\end{vmatrix}}=k{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}.}$$

Интегрирование и дифференцирование в сферических координатах

Единичные векторы в сферических координатах

В следующих уравнениях (Iyanaga 1977) предполагается, что коширота θ представляет собой наклон от положительной оси z , как в обсуждаемом физическом соглашении .

Элемент линии для бесконечно малого смещения от ( r , θ , φ ) до ( r + d r , θ + d θ , φ + d φ ) равен где — локальные ортогональные единичные векторы в направлениях увеличения r , θ и φ соответственно, а x̂ , ŷ и ẑ — единичные векторы в декартовых координатах. Линейное преобразование в эту правую тройку координат — это матрица поворота , $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\hat {\mathbf {r} }}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} ,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\sin \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\boldsymbol {\theta }}}&=\cos \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}-\sin \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}&=-\sin \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle R={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}\cos \theta \\\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &-\sin \theta \\-\sin \varphi &\cos \varphi &{\hphantom {-}}0\end{pmatrix}}.}$$

Это дает преобразование из декартовой в сферическую, наоборот, задается ее обратным. Примечание: матрица является ортогональной матрицей , то есть ее обратная матрица является просто ее транспонированной .

Таким образом, декартовы единичные векторы связаны со сферическими единичными векторами следующим образом: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\cos \theta \cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}\cos \varphi \\\cos \theta &-\sin \theta &{\hphantom {-}}0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\end{bmatrix}}}$$

Общая форма формулы для доказательства элемента дифференциальной линии имеет вид ^[5], то есть изменение разлагается на отдельные изменения, соответствующие изменениям отдельных координат. $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|{\frac {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}{\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|\,\mathrm {d} x_{i}\,{\hat {\boldsymbol {x}}}_{i},}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Чтобы применить это к настоящему случаю, нужно вычислить, как изменяется с каждой из координат. В используемых соглашениях, ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle \mathbf {r} ={\begin{bmatrix}r\sin \theta \,\cos \varphi \\r\sin \theta \,\sin \varphi \\r\cos \theta \end{bmatrix}},x_{1}=r,x_{2}=\theta ,x_{3}=\varphi .}$$

Таким образом, $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi \\\cos \theta \end{bmatrix}}=\mathbf {\hat {r}} ,\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}={\begin{bmatrix}r\cos \theta \,\cos \varphi \\r\cos \theta \,\sin \varphi \\-r\sin \theta \end{bmatrix}}=r\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}={\begin{bmatrix}-r\sin \theta \,\sin \varphi \\{\hphantom {-}}r\sin \theta \,\cos \varphi \\0\end{bmatrix}}=r\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} .}$$

Искомые коэффициенты представляют собой величины этих векторов: ^[5] $${\displaystyle \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}\right|=1,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right|=r,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}\right|=r\sin \theta .}$$

Элемент поверхности, охватывающий от θ до θ + d θ и от φ до φ + d φ на сферической поверхности с (постоянным) радиусом r , тогда равен $${\displaystyle \mathrm {d} S_{r}=\left\|{\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \theta }}\times {\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \varphi }}\right\|\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =\left|r{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\times r\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\right|\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.}$$

Таким образом, дифференциальный телесный угол равен $${\displaystyle \mathrm {d} \Omega ={\frac {\mathrm {d} S_{r}}{r^{2}}}=\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .}$$

Элемент поверхности с постоянным полярным углом θ (конус с вершиной в начале координат) равен $${\displaystyle \mathrm {d} S_{\theta }=r\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} r.}$$

Элемент поверхности на поверхности с постоянным азимутом φ (вертикальная полуплоскость) равен $${\displaystyle \mathrm {d} S_{\varphi }=r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta .}$$

Элемент объема, охватывающий диапазон от r до r + d r , от θ до θ + d θ и от φ до φ + d φ , задается определителем матрицы Якоби частных производных , а именно: $${\displaystyle J={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &{\hphantom {-}}0\end{pmatrix}},}$$ $${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega ~.}$$

Так, например, функцию f ( r , θ , φ ) можно проинтегрировать по каждой точке в R ³ с помощью тройного интеграла $${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }\int \limits _{0}^{\infty }f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.}$$

Оператор del в этой системе приводит к следующим выражениям для градиента и лапласиана для скалярных полей, и он приводит к следующим выражениям для дивергенции и ротора векторных полей , $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f&={\partial f \over \partial r}{\hat {\mathbf {r} }}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\\[8pt]\nabla ^{2}f&={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}\\[8pt]&=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)f+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)f+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}f~,\\[8pt]\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{r^{2}}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}A_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta A_{\theta }\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi },}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {A} ={}&{\frac {1}{r\sin \theta }}\left[{\partial \over \partial \theta }\left(A_{\varphi }\sin \theta \right)-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right]{\hat {\mathbf {r} }}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}\left(rA_{\varphi }\right)\right]{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{\partial \over \partial r}\left(rA_{\theta }\right)-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right]{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\end{aligned}}}$$

Далее, обратный якобиан в декартовых координатах равен Метрический тензор в сферической системе координат равен . $${\displaystyle J^{-1}={\begin{pmatrix}{\dfrac {x}{r}}&{\dfrac {y}{r}}&{\dfrac {z}{r}}\\\\{\dfrac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {-\left(x^{2}+y^{2}\right)}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\\\{\dfrac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{pmatrix}}.}$$ ${\displaystyle g=J^{T}J}$

Расстояние в сферических координатах

В сферических координатах даны две точки, где φ является азимутальной координатой. Расстояние между двумя точками можно выразить как ^[6] $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {r} }&=(r,\theta ,\varphi ),\\{\mathbf {r} '}&=(r',\theta ',\varphi ')\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {D} }&={\sqrt {r^{2}+r'^{2}-2rr'(\sin {\theta }\sin {\theta '}\cos {(\varphi -\varphi ')}+\cos {\theta }\cos {\theta '})}}\end{aligned}}}$$

Кинематика

В сферических координатах положение точки или частицы (хотя лучше записать его в виде тройки ) можно записать как ^[7]. Тогда ее скорость равна ^[7] , а ее ускорение равно ^[7]. ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ $${\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {\hat {r}} .}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r\,{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\,{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} ={}&{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\\[1ex]={}&{\hphantom {+}}\;\left({\ddot {r}}-r\,{\dot {\theta }}^{2}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta \right)\mathbf {\hat {r}} \\&{}+\left(r\,{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}\,{\dot {\theta }}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\&{}+\left(r{\ddot {\varphi }}\,\sin \theta +2{\dot {r}}\,{\dot {\varphi }}\,\sin \theta +2r\,{\dot {\theta }}\,{\dot {\varphi }}\,\cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\end{aligned}}}$$

Момент импульса равен Где - масса. В случае постоянного φ или θ = ⁠ $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} =mr^{2}\left(-{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\theta }}} +{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\right)}$$ ${\displaystyle m}$π/2⁠ , это сводится к векторному исчислению в полярных координатах .

Соответствующий оператор углового момента следует из переформулировки вышеизложенного в фазовом пространстве: $${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar ~\mathbf {r} \times \nabla =i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right).}$$

Крутящий момент определяется как ^[7] $${\displaystyle \mathbf {\tau } ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =-m\left(2r{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\sin \theta +r^{2}{\ddot {\varphi }}\sin {\theta }+2r^{2}{\dot {\theta }}{\dot {\varphi }}\cos {\theta }\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}+m\left(r^{2}{\ddot {\theta }}+2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}-r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}}$$

Кинетическая энергия определяется как ^[7] $${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {r}}\right)^{2}+\left(r{\dot {\theta }}\right)^{2}+\left(r{\dot {\varphi }}\sin \theta \right)^{2}\right]}$$

Смотрите также

• Небесная система координат  – система для определения положения небесных объектов.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Система координат  – Метод указания положений точек
• Del в цилиндрических и сферических координатах  – Математический оператор градиента в некоторых системах координат
• Метод двойной сферы Фурье
• Угол возвышения (баллистика)  – Угол в баллистике
• Углы Эйлера  – Описание ориентации твердого тела
• Блокировка карданного подвеса  – потеря одной степени свободы в трехмерном трехкарданном механизме.
• Гиперсфера  – Обобщенная сфера размерности n (математика)Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Матрица Якоби и определитель  – Матрица всех частных производных первого порядка векторнозначной функции
• Список канонических преобразований координат
• Сфера  – множество точек, равноудалённых от центра.
• Сферическая гармоника  – специальные математические функции, определенные на поверхности сферы.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Теодолит  – Оптический геодезический прибор
• Векторные поля в цилиндрических и сферических координатах  – Представление векторных полей в трехмерных криволинейных системах координат
• Рыскание, тангаж и крен  – основные направления в авиацииPages displaying short descriptions of redirect targets

Примечания

1. Ориентированная линия , поэтому полярный угол — это ориентированный угол, отсчитываемый от главного направления полярной оси , а не от ее противоположного направления.
2. Если полярная ось совпадает с положительной осью z , азимутальный угол φ можно вычислить как угол между осью x или осью y и ортогональной проекцией радиальной линии на опорную плоскость xy , которая ортогональна оси z и проходит через фиксированную точку начала координат, завершая трехмерную декартову систему координат .

Ссылки

1. "ISO 80000-2:2019 Величины и единицы – Часть 2: Математика". ISO . 19 мая 2020 г. стр. 20–21. Пункт № 2-17.3 . Получено 12 августа 2020 г.
2. Даффет-Смит, П. и Цварт, Дж., стр. 34.
3. Эрик В. Вайсштейн (2005-10-26). "Сферические координаты". MathWorld . Получено 2010-01-15 .
4. "Математика видеоигр: полярная и сферическая нотация". Академия интерактивных развлечений (AIE) . Получено 16.02.2022 .
5. "Вывод/диаграмма элемента линии (dl) в сферических координатах". Stack Exchange . 21 октября 2011 г.
6. «Расстояние между двумя точками в сферических координатах».
7. Рид, Брюс Кэмерон (2019). Кеплеровские эллипсы: физика гравитационной задачи двух тел. Morgan & Claypool Publishers, Институт физики. Сан-Рафаэль [Калифорния] (40 Oak Drive, San Rafael, CA, 94903, США). ISBN 978-1-64327-470-6. OCLC  1104053368.{{cite book}}: CS1 maint: location (link) CS1 maint: location missing publisher (link)

Библиография

• Иянага, Сёкити; Кавада, Юкиёси (1977). Энциклопедический словарь математики . МТИ Пресс. ISBN 978-0262090162.
• Морзе П.М. , Фешбах Х. (1953). Методы теоретической физики, часть I. Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 658. ISBN 0-07-043316-X. LCCN  52011515.
• Маргенау Х. , Мерфи Г. М. (1956). Математика физики и химии . Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. С. 177–178. LCCN  55010911.
• Корн ГА, Корн ТМ (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: McGraw-Hill. С. 174–175. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Зауэр Р., Сабо I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Нью-Йорк: Springer Verlag. стр. 95–96. LCCN  67025285.
• Moon P, Spencer DE (1988). "Сферические координаты (r, θ, ψ)". Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (исправленное 2-е изд., 3-е изд.). New York: Springer-Verlag. С. 24–27 (таблица 1.05). ISBN 978-0-387-18430-2.
• Даффетт-Смит П., Цварт Дж. (2011). Практическая астрономия с калькулятором или электронной таблицей, 4-е издание . Нью-Йорк: Cambridge University Press. стр. 34. ISBN 978-0521146548.

Внешние ссылки

• «Сферические координаты», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Описание сферических координат в MathWorld
• Преобразователь координат – преобразует полярные, декартовы и сферические координаты