В математике представление оси -угла параметризует вращение в трехмерном евклидовом пространстве двумя величинами: единичным вектором e , указывающим направление (геометрию) оси вращения , и углом поворота θ , описывающим величину и смысл ( например, по часовой стрелке ) вращения вокруг оси . Для определения направления единичного вектора e , имеющего начало координат, необходимы только два числа, а не три, поскольку величина e ограничена. Например, углов возвышения и азимута e достаточно, чтобы найти его в любой конкретной декартовой системе координат.
По формуле вращения Родригеса угол и ось определяют преобразование, которое вращает трехмерные векторы. Вращение происходит в смысле, предписанном правилом правой руки .
Ось вращения иногда называют осью Эйлера . Представление оси-угла основано на теореме Эйлера о вращении , которая гласит, что любое вращение или последовательность вращений твердого тела в трехмерном пространстве эквивалентно чистому вращению вокруг одной фиксированной оси.
Это один из многих формализмов вращения в трех измерениях .
Представление оси-угла эквивалентно более краткому вектору вращения , также называемому вектором Эйлера . В этом случае и ось вращения, и угол представляются вектором, сонаправленным оси вращения, длина которого равна углу поворота θ ,
Многие векторы вращения соответствуют одному и тому же вращению. В частности, вектор вращения длиной θ + 2 πM для любого целого числа M кодирует точно такое же вращение, что и вектор вращения длины θ . Таким образом, любому повороту соответствует по крайней мере счетная бесконечность векторов вращения. Более того, все повороты на 2 πM — это то же самое, что отсутствие вращения вообще, поэтому для данного целого числа M все векторы вращения длиной 2 πM во всех направлениях составляют двухпараметрическую несчетную бесконечность векторов вращения, кодирующих одно и то же вращение. как нулевой вектор. Эти факты необходимо учитывать при обращении экспоненциального отображения, то есть при нахождении вектора вращения, соответствующего заданной матрице вращения. Экспоненциальное отображение соответствует , но не является взаимно однозначным .
Предположим, вы стоите на земле и выбираете направление силы тяжести как отрицательное направление z . Затем, если вы повернетесь налево, вы повернетесь-π/2радианы (или -90° ) относительно оси -z . Если рассматривать представление оси-угла как упорядоченную пару , это будет
Приведенный выше пример можно представить как вектор вращения с величинойπ/2указывая в направлении z ,
Представление «ось-угол» удобно при работе с динамикой твердого тела . Это полезно как для характеристики вращения , так и для преобразования между различными представлениями движения твердого тела , такими как однородные преобразования [ необходимы пояснения ] и повороты.
Когда твердое тело вращается вокруг фиксированной оси , данные его оси и угла представляют собой постоянную ось вращения, а угол поворота постоянно зависит от времени .
Подстановка трех собственных значений 1 и e ± iθ и связанных с ними трех ортогональных осей в декартовом представлении в теорему Мерсера является удобной конструкцией декартова представления матрицы вращения в трех измерениях.
Формула вращения Родригеса , названная в честь Олинде Родригеса , представляет собой эффективный алгоритм вращения евклидова вектора с учетом оси вращения и угла поворота. Другими словами, формула Родригеса предоставляет алгоритм для вычисления экспоненциального отображения SO (3) без вычисления полной матричной экспоненты.
Если v — вектор в R 3 , а e — единичный вектор с корнем в начале координат, описывающий ось вращения, вокруг которой v поворачивается на угол θ , формула вращения Родригеса для получения повернутого вектора имеет вид
Для вращения одного вектора это может быть более эффективно, чем преобразование e и θ в матрицу вращения для вращения вектора.
Существует несколько способов представления вращения. Полезно понимать, как различные представления связаны друг с другом и как выполнять преобразования между ними. Здесь единичный вектор обозначается ω вместо e .
Экспоненциальная карта осуществляет преобразование представления вращения по оси и углу в матрицы вращения .
По сути, используя разложение Тейлора, можно получить связь в замкнутой форме между этими двумя представлениями. Учитывая единичный вектор , представляющий единичную ось вращения, и угол θ ∈ R , эквивалентная матрица вращения R задается следующим образом, где K — матрица векторного произведения ω , то есть Kv = ω × v для всех векторов v € р 3 ,
Поскольку K кососимметричен, а сумма квадратов его вышедиагональных элементов равна 1, характеристический многочлен P ( t ) для K равен P ( t ) = det( K − t I ) = −( t 3 + т ) . Поскольку по теореме Кэли – Гамильтона P ( K ) = 0, отсюда следует, что
Этот циклический паттерн продолжается бесконечно, и поэтому все высшие степени K могут быть выражены через K и K 2 . Таким образом, из приведенного выше уравнения следует, что
по формуле ряда Тейлора для тригонометрических функций .
Это лиевско-алгебраический вывод, в отличие от геометрического в статье Формула вращения Родригеса . [1]
Из-за существования вышеупомянутого экспоненциального отображения единичный вектор ω , представляющий ось вращения, и угол θ иногда называют экспоненциальными координатами матрицы вращения R .
Пусть K продолжит обозначать матрицу 3 × 3, которая влияет на векторное произведение с осью вращения ω : K ( v ) = ω × v для всех векторов v в дальнейшем.
Чтобы получить представление оси-угла матрицы вращения , вычислите угол вращения по следу матрицы вращения :
где – компонент матрицы вращения , в -ой строке и -м столбце.
Представление оси-угла не является уникальным, поскольку вращение примерно такое же, как и вращение примерно .
Приведенный выше расчет осевого вектора не работает , если R симметричен. В общем случае их можно найти, используя нулевое пространство RI , см. матрицу вращения#Определение оси .
Матричный логарифм матрицы вращения R равен
Исключение возникает, когда R имеет собственные значения , равные −1 . В этом случае журнал не уникален. Однако даже в случае θ = π норма Фробениуса журнала равна
Для небольших вращений приведенное выше вычисление θ может быть неточным численно, поскольку производная arccos стремится к бесконечности при θ → 0 . В этом случае внеосевые члены фактически дадут лучшую информацию о θ , поскольку для малых углов R ≈ I + θ K. (Это потому, что это первые два члена ряда Тейлора для exp( θ K ) .)
Эта формулировка также имеет численные проблемы при θ = π , где внеосевые члены не дают информации об оси вращения (которая все еще определена с точностью до неоднозначности знака). В этом случае мы должны пересмотреть приведенную выше формулу.
следующее выражение преобразует координаты ось-угол в версоры (единичные кватернионы ):
Учитывая версор q = s + x , представленный скаляром s и вектором x , координаты ось-угол можно извлечь, используя следующее:
Более численно стабильное выражение угла поворота использует функцию atan2 :