Эллипсоид Пуансо

Геометрический метод визуализации вращающегося твердого тела

В классической механике конструкция Пуансо (по Луи Пуансо ) — геометрический метод визуализации безкрутящего движения вращающегося твердого тела , то есть движения твердого тела, на которое не действуют никакие внешние силы. Это движение имеет четыре константы: кинетическую энергию тела и три составляющие момента количества движения , выраженные относительно инерциальной лабораторной системы отсчета. Вектор угловой скорости жесткого ротора не является постоянным , но удовлетворяет уравнениям Эйлера . Сохранение кинетической энергии и углового момента обеспечивает два ограничения на движение . ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Без явного решения этих уравнений движение можно описать геометрически следующим образом: ^[1] ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

• Движение твердого тела целиком определяется движением его эллипсоида инерции , который жестко прикреплен к твердому телу как система координат.
• Его эллипсоид инерции катится без проскальзывания по неизменной плоскости , причем центр эллипсоида находится на постоянной высоте над плоскостью.
• Во всех случаях это точка контакта эллипсоида с плоскостью. ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Движение периодическое, поэтому очерчивает две замкнутые кривые: одну на эллипсоиде, другую на плоскости. ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

• Замкнутая кривая на эллипсоиде — это полодия .
• Замкнутая кривая на плоскости — герпохода .

Если твердое тело симметрично (имеет два равных момента инерции ), вектор описывает конус (а его конечная точка — круг). Это безкрутящая прецессия оси вращения ротора. ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Ограничение угловой кинетической энергии

Закон сохранения энергии подразумевает, что в отсутствие диссипации энергии или приложенных крутящих моментов угловая кинетическая энергия сохраняется, поэтому . ${\displaystyle T\ }$ ${\textstyle {\frac {dT}{dt}}=0}$

Угловую кинетическую энергию можно выразить через тензор момента инерции и вектор угловой скорости. ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}I_{1}\omega _{1}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{2}\omega _{2}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{3}\omega _{3}^{2}}$

где - компоненты вектора угловой скорости , а - главные моменты инерции , когда оба находятся в корпусе тела. Таким образом, сохранение кинетической энергии накладывает ограничение на трехмерный вектор угловой скорости ; в системе главной оси он должен лежать на эллипсоиде, определяемом приведенным выше уравнением, называемом эллипсоидом инерции . ${\displaystyle \omega _{k}\ }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle I_{k}\ }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Путь, прочерченный на этом эллипсоиде вектором угловой скорости, называется полодой (введенной Пуансо от греческих корней «путь полюса») и обычно имеет круглую или тако -образную форму. ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Ограничение углового момента

Закон сохранения углового момента гласит, что в отсутствие приложенных крутящих моментов вектор углового момента сохраняется в инерциальной системе отсчета , поэтому . ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\textstyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=0}$

Вектор углового момента можно выразить через тензор момента инерции и вектор угловой скорости. ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}}$

что приводит к уравнению

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {L} .}$

Поскольку скалярное произведение и является постоянным и само по себе постоянным, вектор угловой скорости имеет постоянную составляющую в направлении вектора углового момента . Это накладывает на вектор второе ограничение ; в абсолютном пространстве он должен лежать на неизменной плоскости , определяемой его скалярным произведением с сохраняющимся вектором . Вектор нормали к неизменной плоскости выравнивается по . Путь, прослеживаемый вектором угловой скорости на неизменной плоскости, называется герполходом (от греческого корня, означающего «змеевидный полюсный путь»). ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Герполодия обычно представляет собой разомкнутую кривую, что означает, что вращение не повторяется идеально, а полодия представляет собой замкнутую кривую (см. ниже). ^[2]

Состояние касания и конструкция

Эти два ограничения действуют в разных системах отсчета; эллипсоидальное ограничение сохраняется в (вращающейся) системе отсчета главной оси, тогда как неизменная плоская постоянная действует в абсолютном пространстве. Чтобы связать эти ограничения, заметим, что вектор градиента кинетической энергии относительно вектора угловой скорости равен вектору углового момента ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

${\displaystyle {\frac {dT}{d{\boldsymbol {\omega }}}}=\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {L} .}$

Следовательно, вектор нормали к эллипсоиду кинетической энергии at пропорционален , что справедливо и для неизменной плоскости. Поскольку их векторы нормалей направлены в одном направлении, эти две поверхности будут пересекаться по касательной. ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

В совокупности эти результаты показывают, что в абсолютной системе отсчета вектор мгновенной угловой скорости является точкой пересечения фиксированной неизменной плоскости и эллипсоида кинетической энергии, который касается ее и катится по ней без скольжения. Это конструкция Пуансо . ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Вывод полодий в каркасе кузова

В системе главной оси (которая вращается в абсолютном пространстве) вектор углового момента не сохраняется даже при отсутствии приложенных крутящих моментов, а изменяется, как описано уравнениями Эйлера . Однако в отсутствие приложенных крутящих моментов величина углового момента и кинетическая энергия сохраняются. ${\displaystyle L\ }$ ${\displaystyle T\ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}L^{2}&=L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+L_{3}^{2}\\[2pt]T&={\frac {L_{1}^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {L_{2}^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {L_{3}^{2}}{2I_{3}}}\end{aligned}}}$

где – компоненты вектора момента импульса вдоль главных осей, – главные моменты инерции. ${\displaystyle L_{k}\ }$ ${\displaystyle I_{k}\ }$

Эти законы сохранения эквивалентны двум ограничениям на трехмерный вектор углового момента . Кинетическая энергия ограничивается эллипсоидом, тогда как ограничение углового момента ограничивается сферой . Эти две поверхности пересекаются в виде двух кривых, имеющих форму края тако , которые определяют возможные решения для . Это показывает , что и полодия остаются в замкнутом контуре в движущейся системе отсчета объекта. ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

Таким образом, ориентация тела в пространстве имеет две степени свободы. Во-первых, должна совпадать некоторая точка на «крае тако», с которой является постоянным вектором в абсолютном пространстве. Во-вторых, если вектор в системе координат тела, проходящий через эту точку, фиксирован, тело может вращаться вокруг этого вектора на любую величину. Итак, в принципе, ориентация тела — это некоторая точка тороидального 2 -многообразия внутри 3-многообразия всех ориентаций. В общем случае объект будет следовать по непериодическому пути на этом торе, но может следовать и по периодическому пути. Время, необходимое для завершения одного цикла вокруг своей дорожки в корпусе тела, постоянно, но после цикла тело повернется на величину, которая может не соответствовать рациональному числу градусов, и в этом случае ориентация не будет периодической. но почти периодически . ${\displaystyle \mathbf {L} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

В общем, тор почти определяется тремя параметрами: отношением второго и третьего моментов инерции к наибольшему из трех моментов инерции и отношением, связывающим угловой момент с энергией, умноженной на наивысший момент инерции. Но для любого такого набора параметров есть два тора, потому что есть два «тако» (соответствующих двум полодам). Набор поворотов на 180 ° переводит любую ориентацию одного тора в ориентацию другого, причем противоположная точка совпадает с вектором углового момента. Если угловой момент точно совпадает с главными осями, тор вырождается в одну петлю. Если ровно два момента инерции равны (так называемое симметричное тело), ​​то кроме торов будет бесконечное число петель, а если все три момента инерции равны, то будут петли, но не будет торов. Если все три момента инерции различны, но промежуточная ось не совпадает с угловым моментом, то ориентация будет в некоторой точке топологического открытого кольца . ${\displaystyle L^{2}/(TI_{3})}$ ${\displaystyle L^{2}=TI_{2}}$

Нестабильность вращения

Из-за всего этого, когда вектор угловой скорости (или вектор момента импульса) не находится близко к оси наибольшей или наименьшей инерции, тело «кувыркается». Большинство спутников вращаются более или менее вокруг своей оси наибольшей инерции (из-за эффектов вязкости), но Гиперион (спутник Сатурна), два спутника Плутона и многие другие небольшие тела Солнечной системы имеют кувыркающееся вращение.

Демонстрация эффекта Джанибекова в условиях микрогравитации , НАСА .

Если тело вращается вокруг своей промежуточной главной оси, то пересечение эллипсоида и сферы похоже на две петли, пересекающиеся в двух точках и совмещенные с этой осью. Если совмещение с промежуточной осью не идеально, то в конечном итоге он съедет с этой точки по одному из четырех путей, отходящих от этой точки, и направится к противоположной точке. Это соответствует перемещению к своему антиподу на эллипсоиде Пуансо. См. видео справа и теорему о теннисной ракетке . ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Эта конструкция отличается от конструкции Пуансо, поскольку она рассматривает вектор углового момента, а не вектор угловой скорости . Судя по всему, его разработал Жак Филипп Мари Бине . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Особый случай

В общем случае вращения несимметричного тела, имеющего разные значения момента инерции относительно трех главных осей, вращательное движение может быть весьма сложным, если только тело не вращается вокруг главной оси. Как описано в теореме о теннисной ракетке , вращение объекта вокруг своей первой или третьей главной оси стабильно, а вращение вокруг второй главной оси (или промежуточной оси) — нет. Движение упрощается в случае осесимметричного тела, у которого момент инерции одинаков вокруг двух главных осей. К таким случаям относится вращение вытянутого сфероида (форма американского футбола) или вращение сплюснутого сфероида (форма сплюснутой сферы). В этом случае угловая скорость описывает конус, а полходия — круг. Этот анализ применим, например, к осевой прецессии вращения планеты (случай сплюснутого сфероида).

Приложения

Одно из применений конструкции Пуансо — визуализация вращения космического корабля на орбите. ^[3]

Смотрите также

• Полходе
• Прецессия
• Главные оси
• Динамика жесткого тела
• Момент инерции
• Ротации Тейта – Брайана
• углы Эйлера
• Эллипсоид МакКалла
• Рэттлбэк

Рекомендации

1. Гольдштейн, Герберт; Джон Л. Сафко; Чарльз П. Пул (2011). «5.6 Безкрутящее движение твердого тела». Классическая механика (Третье изд.). ISBN 978-81-317-5891-5. ОСЛК  960166650.
2. Джерри Гинзберг. «Гироскопические эффекты», Инженерная динамика, том 10, с. 650, Издательство Кембриджского университета, 2007 г.
3. Ф. Лэндис Маркли и Джон Л. Крассидис, Глава 3.3, «Динамика отношения», с. 89; Основы определения и управления космическими аппаратами, серия Springer Technology and Engineering, 2014.

Источники

• Пуансо (1834) «Новая теория ротации корпуса» , Башелье, Париж.
• Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. (1976) Механика , 3-е. изд., Пергамон Пресс. ISBN 0-08-021022-8 (твердый переплет) и ISBN 0-08-029141-4 (мягкий переплет).  
• Гольдштейн Х. (1980) Классическая механика , 2-е место. изд., Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-02918-9 
• Саймон КР. (1971) Механика , 3-я. изд., Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-07392-7 

Внешние ссылки

• Строительство Пуансо в стерео 3D-моделировании - онлайн и бесплатно.