Градиент

Многомерная производная (математика)

Градиент, представленный синими стрелками, обозначает направление наибольшего изменения скалярной функции. Значения функции представлены в оттенках серого и увеличиваются по значению от белого (низкий) к темному (высокий).

В векторном исчислении градиент скалярно -значной дифференцируемой функции нескольких переменных — это векторное поле (или векторнозначная функция ), значение которого в точке задает направление и скорость наибольшего роста. Градиент преобразуется подобно вектору при изменении базиса пространства переменных . Если градиент функции не равен нулю в точке , направление градиента — это направление, в котором функция возрастает наиболее быстро от , а величина градиента — это скорость роста в этом направлении, наибольшая абсолютная производная по направлению. ^[1] Кроме того, точка, в которой градиент является нулевым вектором, известна как стационарная точка . Таким образом, градиент играет фундаментальную роль в теории оптимизации , где он используется для минимизации функции методом градиентного спуска . В терминах, свободных от координат, градиент функции может быть определен как: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle df=\nabla f\cdot d\mathbf {r} }$$

где — полное бесконечно малое изменение для бесконечно малого смещения , и становится максимальным, когда находится в направлении градиента . Символ набла , записанный в виде перевернутого треугольника и произносимый как «дель», обозначает векторный дифференциальный оператор . ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d\mathbf {r} }$ ${\displaystyle d\mathbf {r} }$ ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle \nabla }$

При использовании системы координат, в которой базисные векторы не являются функциями положения, градиент задается вектором [ ^a], компоненты которого являются частными производными от . ^[2] То есть, для его градиент определяется в точке n -мерного пространства как вектор ^[b] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \nabla f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

$${\displaystyle \nabla f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}.}$$

Обратите внимание, что приведенное выше определение градиента определено для функции только в том случае, если дифференцируема в точке . Могут быть функции, для которых существуют частные производные в каждом направлении, но не дифференцируемы. Более того, это определение как вектора частных производных справедливо только тогда, когда базис системы координат ортонормальный. Для любого другого базиса необходимо учитывать метрический тензор в этой точке. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$

Например, функция, если только в начале координат, где , не дифференцируема в начале координат, поскольку она не имеет четко определенной касательной плоскости, несмотря на наличие четко определенных частных производных в каждом направлении в начале координат. ^[3] В этом конкретном примере при вращении системы координат xy приведенная выше формула для градиента не преобразуется как вектор (градиент становится зависимым от выбора базиса для системы координат), а также не указывает на «самый крутой подъем» в некоторых ориентациях. Для дифференцируемых функций, где формула для градиента верна, можно показать, что она всегда преобразуется как вектор при преобразовании базиса, чтобы всегда указывать на самый быстрый рост. ${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle f(0,0)=0}$

Градиент дуален полной производной : значение градиента в точке является касательным вектором – вектором в каждой точке; в то время как значение производной в точке является кокасательным вектором – линейным функционалом на векторах. ^[c] Они связаны тем, что скалярное произведение градиента в точке с другим касательным вектором равно производной по направлению в функции вдоль ; то есть, . Градиент допускает множественные обобщения на более общие функции на многообразиях ; см. § Обобщения. ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\textstyle \nabla f(p)\cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}(p)=df_{p}(\mathbf {v} )}$

Мотивация

Градиент двумерной функции f ( x , y ) = xe ^{−( x 2 + y 2 )} отображается в виде стрелок на псевдоцветном графике функции.

Рассмотрим комнату, где температура задана скалярным полем T , так что в каждой точке ( x , y , z ) температура равна T ( x , y , z ) , независимо от времени. В каждой точке комнаты градиент T в этой точке покажет направление, в котором температура растет быстрее всего, удаляясь от ( x , y , z ) . Величина градиента определит , насколько быстро температура растет в этом направлении.

Рассмотрим поверхность, высота которой над уровнем моря в точке ( x , y ) равна H ( x , y ) . Градиент H в точке — это плоский вектор, указывающий в направлении самого крутого склона или уклона в этой точке. Крутизна склона в этой точке определяется величиной вектора градиента.

Градиент также можно использовать для измерения того, как скалярное поле изменяется в других направлениях, а не только в направлении наибольшего изменения, взяв скалярное произведение . Предположим, что самый крутой уклон на холме составляет 40%. Дорога, идущая прямо в гору, имеет уклон 40%, но дорога, огибающая холм под углом, будет иметь более пологий уклон. Например, если дорога находится под углом 60° к направлению подъема (когда оба направления проецируются на горизонтальную плоскость), то уклон вдоль дороги будет скалярным произведением между вектором градиента и единичным вектором вдоль дороги, поскольку скалярное произведение измеряет, насколько единичный вектор вдоль дороги выравнивается с самым крутым уклоном, ^[d], что составляет 40% от косинуса 60°, или 20%.

В более общем случае, если функция высоты холма H дифференцируема , то градиент H, отмеченный единичным вектором, дает наклон холма в направлении вектора, производную по направлению от H вдоль единичного вектора.

Обозначение

Градиент функции в точке обычно записывается как . Он также может быть обозначен любым из следующих способов: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \nabla f(a)}$

• ${\displaystyle {\vec {\nabla }}f(a)}$ : подчеркнуть векторный характер результата.
• ${\displaystyle \operatorname {grad} f}$
• ${\displaystyle \partial _{i}f}$и  : Записывается в нотации Эйнштейна , где повторяющиеся индексы ( i ) суммируются. ${\displaystyle f_{i}}$

Определение

Градиент функции f ( x , y ) = −(cos ² x + cos ² y ) ² изображен в виде спроецированного векторного поля на нижнюю плоскость.

Градиент (или градиентное векторное поле) скалярной функции f ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , …, x _n ) обозначается ∇ f или ∇ → f , где ∇ ( nabla ) обозначает векторный дифференциальный оператор , del . Обозначение grad f также обычно используется для представления градиента. Градиент f определяется как уникальное векторное поле, скалярное произведение которого с любым вектором v в каждой точке x является производной f по направлению v . То есть,

$${\displaystyle {\big (}\nabla f(x){\big )}\cdot \mathbf {v} =D_{\mathbf {v} }f(x)}$$

где правая часть — производная по направлению , и есть много способов ее представления. Формально производная двойственна градиенту; см. связь с производной.

Когда функция также зависит от такого параметра, как время, градиент часто относится просто к вектору ее пространственных производных (см. Пространственный градиент ).

Величина и направление вектора градиента не зависят от конкретного представления координат . ^{[4] [5]}

Декартовы координаты

В трехмерной декартовой системе координат с евклидовой метрикой градиент, если он существует, задается выражением

$${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} ,}$$

где i , j , k — стандартные единичные векторы в направлениях координат x , y и z соответственно. Например, градиент функции равен или $${\displaystyle f(x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin(z)}$$ $${\displaystyle \nabla f(x,y,z)=2\mathbf {i} +6y\mathbf {j} -\cos(z)\mathbf {k} .}$$ $${\displaystyle \nabla f(x,y,z)={\begin{bmatrix}2\\6y\\-\cos z\end{bmatrix}}.}$$

В некоторых приложениях градиент принято представлять как вектор-строку или вектор-столбец его компонентов в прямоугольной системе координат; в данной статье принято считать градиент вектором-столбцом, а производную — вектором-строкой.

Цилиндрические и сферические координаты

В цилиндрических координатах с евклидовой метрикой градиент определяется по формуле: ^[6]

$${\displaystyle \nabla f(\rho ,\varphi ,z)={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z},}$$

где ρ — осевое расстояние, φ — азимутальный или азимутальный угол, z — осевая координата, а e _ρ , e _φ и e _z — единичные векторы, направленные вдоль направлений координат.

В сферических координатах градиент определяется по формуле: ^[6]

$${\displaystyle \nabla f(r,\theta ,\varphi )={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi },}$$

где r — радиальное расстояние, φ — азимутальный угол, θ — полярный угол, а e _r , e _θ и e _φ — снова локальные единичные векторы, указывающие в направлениях координат (то есть нормализованный ковариантный базис ).

Для получения информации о градиенте в других ортогональных системах координат см. Ортогональные координаты (Дифференциальные операторы в трех измерениях) .

Общие координаты

Мы рассматриваем общие координаты , которые мы записываем как x ¹ , …, x ⁱ , …, x ⁿ , где n — число измерений домена. Здесь верхний индекс относится к позиции в списке координаты или компонента, поэтому x ² относится ко второму компоненту, а не к величине x в квадрате. Индексная переменная i относится к произвольному элементу x ⁱ . Используя обозначения Эйнштейна , градиент можно записать как:

$${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}g^{ij}\mathbf {e} _{j}}$$(Обратите внимание, что его двойственным является ), ${\textstyle \mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\mathbf {e} ^{i}}$

где и относятся к ненормализованным локальным ковариантным и контравариантным базисам соответственно, — обратный метрический тензор , а соглашение Эйнштейна о суммировании подразумевает суммирование по i и j . ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\partial \mathbf {x} /\partial x^{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=\mathrm {d} x^{i}}$ ${\displaystyle g^{ij}}$

Если координаты ортогональны, мы можем легко выразить градиент (и дифференциал ) через нормализованные базы, которые мы обозначаем как и , используя масштабные множители (также известные как коэффициенты Ламе )  : ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{i}}$ ${\displaystyle h_{i}=\lVert \mathbf {e} _{i}\rVert ={\sqrt {g_{ii}}}=1\,/\lVert \mathbf {e} ^{i}\rVert }$

$${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}g^{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}{\sqrt {g_{jj}}}=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {1}{h_{i}}}\mathbf {\hat {e}} _{i}}$$(и ), ${\textstyle \mathrm {d} f=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {1}{h_{i}}}\mathbf {\hat {e}} ^{i}}$

где мы не можем использовать обозначение Эйнштейна, поскольку невозможно избежать повторения более двух индексов. Несмотря на использование верхних и нижних индексов, , , и не являются ни контравариантными, ни ковариантными. ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} ^{i}}$ ${\displaystyle h_{i}}$

Последнее выражение соответствует выражениям, приведенным выше для цилиндрических и сферических координат.

Связь с производным

Связь с полной производной

Градиент тесно связан с полной производной ( полным дифференциалом ) : они транспонированы ( дуальны ) друг к другу. Используя соглашение, что векторы в представлены векторами-столбцами , а ковекторы (линейные отображения ) представлены векторами-строками , ^[a] градиент и производная выражаются как вектор-столбец и вектор-строка, соответственно, с теми же компонентами, но транспонированными друг к другу: ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle df}$

$${\displaystyle \nabla f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}};}$$ $${\displaystyle df_{p}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}.}$$

Хотя оба они имеют одинаковые компоненты, они различаются по тому, какой тип математического объекта они представляют: в каждой точке производная является котангенсом вектора , линейной формой (или ковектором), которая выражает, насколько изменяется (скалярный) выход для заданного бесконечно малого изменения (векторного) входа, в то время как в каждой точке градиент является касательным вектором , который представляет бесконечно малое изменение (векторного) входа. В символах градиент является элементом касательного пространства в точке, , в то время как производная является отображением из касательного пространства в действительные числа, . Касательные пространства в каждой точке могут быть «естественно» отождествлены ^[e] с самим векторным пространством , и аналогично котангенс пространство в каждой точке может быть естественно отождествлено с дуальным векторным пространством ковекторов; таким образом, значение градиента в точке можно рассматривать как вектор в исходном , а не просто как касательный вектор. ${\displaystyle \nabla f(p)\in T_{p}\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle df_{p}\colon T_{p}\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

С вычислительной точки зрения, если задан касательный вектор, то его можно умножить на производную (как матрицы), что равносильно взятию скалярного произведения с градиентом: $${\displaystyle (df_{p})(v)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)v_{i}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\nabla f(p)\cdot v}$$

Дифференциал или (внешняя) производная

Наилучшим линейным приближением к дифференцируемой функции в точке в является линейное отображение из в которое часто обозначается или и называется дифференциалом или полной производной от в . Функция , которая отображается в , называется полным дифференциалом или внешней производной от и является примером дифференциальной 1-формы . $${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle df_{x}}$ ${\displaystyle Df(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle df_{x}}$ ${\displaystyle f}$

Подобно тому , как производная функции одной переменной представляет собой наклон касательной к графику функции ^[7], производная по направлению функции нескольких переменных представляет собой наклон касательной гиперплоскости в направлении вектора.

Градиент связан с дифференциалом формулой для любого , где — скалярное произведение : взятие скалярного произведения вектора на градиент равносильно взятию производной по направлению вдоль вектора. $${\displaystyle (\nabla f)_{x}\cdot v=df_{x}(v)}$$ ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \cdot }$

Если рассматривается как пространство (размерность ) векторов-столбцов (действительных чисел), то можно рассматривать как вектор-строку с компонентами, так что задается умножением матриц . Предполагая стандартную евклидову метрику на , градиент тогда является соответствующим вектором-столбцом, то есть, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle df}$ $${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right),}$$ ${\displaystyle df_{x}(v)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle (\nabla f)_{i}=df_{i}^{\mathsf {T}}.}$$

Линейное приближение функции

Наилучшее линейное приближение к функции можно выразить через градиент, а не через производную. Градиент функции из евклидова пространства в в любой конкретной точке в характеризует наилучшее линейное приближение к в . Приближение выглядит следующим образом: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$

$${\displaystyle f(x)\approx f(x_{0})+(\nabla f)_{x_{0}}\cdot (x-x_{0})}$$

для близко к , где — градиент , вычисленный при , а точка обозначает скалярное произведение на . Это уравнение эквивалентно первым двум членам в многомерном разложении ряда Тейлора для при . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle (\nabla f)_{x_{0}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Отношения с.mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#0f4dc9}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#0f4dc9}}производная Фреше

Пусть U — открытое множество в R ⁿ . Если функция f  : U → R дифференцируема, то дифференциал f — производная Фреше функции f . Таким образом, ∇ f — функция из U в пространство R ⁿ такая, что · — скалярное произведение. $${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {|f(x+h)-f(x)-\nabla f(x)\cdot h|}{\|h\|}}=0,}$$

Вследствие этого обычные свойства производной сохраняются для градиента, хотя градиент сам по себе не является производной, а скорее двойственен ей:

Линейность

Градиент линеен в том смысле, что если ^{f и g — две действительные функции, дифференцируемые в точке a ∈ Rn} , а α и β — две константы , то αf + βg дифференцируема в точке a , и, более того, $${\displaystyle \nabla \left(\alpha f+\beta g\right)(a)=\alpha \nabla f(a)+\beta \nabla g(a).}$$

Правило продукта

Если f и g — действительные функции, дифференцируемые в точке a ∈ Rn ^, то правило произведения утверждает, что произведение fg дифференцируемо в точке a , и $${\displaystyle \nabla (fg)(a)=f(a)\nabla g(a)+g(a)\nabla f(a).}$$

Правило цепочки

Предположим, что f  : A → R — вещественная функция, определенная на подмножестве A из R ⁿ , и что f дифференцируема в точке a . Существуют две формы правила цепочки, применяемого к градиенту. Во-первых, предположим, что функция g является параметрической кривой ; то есть функция g  : I → R ⁿ отображает подмножество I ⊂ R в R ⁿ . Если g дифференцируема в точке c ∈ I такой, что g ( c ) = a , то где ∘ — оператор композиции : ( f  ∘  g )( x ) = f ( g ( x )) . $${\displaystyle (f\circ g)'(c)=\nabla f(a)\cdot g'(c),}$$

В более общем случае, если вместо этого I ⊂ R ^k , то выполняется следующее: где ( Dg ) ^T обозначает транспонированную матрицу Якоби . $${\displaystyle \nabla (f\circ g)(c)={\big (}Dg(c){\big )}^{\mathsf {T}}{\big (}\nabla f(a){\big )},}$$

Для второй формы цепного правила предположим, что h  : I → R — вещественная функция на подмножестве I множества R и что h дифференцируема в точке f ( a ) ∈ I. Тогда $${\displaystyle \nabla (h\circ f)(a)=h'{\big (}f(a){\big )}\nabla f(a).}$$

Дополнительные свойства и области применения

Уровни наборы

Поверхность уровня, или изоповерхность , — это множество всех точек, где некоторая функция имеет заданное значение.

Если f дифференцируема, то скалярное произведение (∇ f  ) _x ⋅ v градиента в точке x с вектором v дает производную по направлению f в точке x в направлении v . Отсюда следует, что в этом случае градиент f ортогонален множествам уровня f . Например, поверхность уровня в трехмерном пространстве определяется уравнением вида F ( x , y , z ) = c . Градиент F тогда нормален к поверхности.

В более общем случае любая вложенная гиперповерхность в римановом многообразии может быть вырезана уравнением вида F ( P ) = 0 таким образом, что dF нигде не равен нулю. Градиент F тогда нормален к гиперповерхности.

Аналогично, аффинная алгебраическая гиперповерхность может быть определена уравнением F ( x ₁ , ..., x _n ) = 0 , где F — многочлен. Градиент F равен нулю в особой точке гиперповерхности (это определение особой точки). В неособой точке это ненулевой нормальный вектор.

Консервативные векторные поля и теорема о градиенте

Градиент функции называется градиентным полем. (Непрерывное) градиентное поле всегда является консервативным векторным полем : его линейный интеграл вдоль любого пути зависит только от конечных точек пути и может быть оценен с помощью теоремы о градиенте (фундаментальной теоремы исчисления для линейных интегралов). И наоборот, (непрерывное) консервативное векторное поле всегда является градиентом функции.

Градиент — это направление самого крутого подъема.

Градиент функции в точке x также является направлением ее наискорейшего подъема, т.е. он максимизирует свою производную по направлению : ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

Пусть будет произвольным единичным вектором. С производной по направлению, определяемой как ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \nabla _{v}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+vh)-f(x)}{h}},}$$

мы получаем, заменив функцию ее рядом Тейлора , ${\displaystyle f(x+vh)}$

$${\displaystyle \nabla _{v}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(f(x)+\nabla f\cdot vh+R)-f(x)}{h}},}$$

где обозначает члены более высокого порядка в . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle vh}$

Разделив на и взяв предел, получим член, ограниченный сверху неравенством Коши-Шварца ^[8] ${\displaystyle h}$

$${\displaystyle |\nabla _{v}f(x)|=|\nabla f\cdot v|\leq |\nabla f||v|=|\nabla f|.}$$

Выбор максимизирует производную по направлению и равен верхней границе ${\displaystyle v^{*}=\nabla f/|\nabla f|}$

$${\displaystyle |\nabla _{v^{*}}f(x)|=|(\nabla f)^{2}/|\nabla f||=|\nabla f|.}$$

Обобщения

якобианский

Матрица Якоби является обобщением градиента для векторнозначных функций нескольких переменных и дифференцируемых отображений между евклидовыми пространствами или, в более общем смысле, многообразиями . ^{[9] [10]} Дальнейшим обобщением для функции между банаховыми пространствами является производная Фреше .

Предположим, что f  : R ⁿ → R ^m — функция, такая, что каждая из ее частных производных первого порядка существует на ℝ ⁿ . Тогда матрица Якоби функции f определяется как матрица m × n , обозначаемая как или просто . Элемент ( i , j ) равен . Явно ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbb {f} }(\mathbb {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\textstyle \mathbf {J} _{ij}={\partial f_{i}}/{\partial x_{j}}}$ $${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathsf {T}}f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathsf {T}}f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}.}$$

Градиент векторного поля

Поскольку полная производная векторного поля представляет собой линейное отображение векторов в векторы, то она является тензорной величиной.

В прямоугольных координатах градиент векторного поля f = (  f ¹ , f ² , f ³ ) определяется как:

$${\displaystyle \nabla \mathbf {f} =g^{jk}{\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{k},}$$

(где используется обозначение суммирования Эйнштейна , а тензорное произведение векторов e _i и e _k является двоичным тензором типа (2,0)). В целом это выражение равно транспонированной матрице Якоби:

$${\displaystyle {\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}={\frac {\partial (f^{1},f^{2},f^{3})}{\partial (x^{1},x^{2},x^{3})}}.}$$

В криволинейных координатах или, в более общем смысле, на искривленном многообразии градиент включает символы Кристоффеля :

$${\displaystyle \nabla \mathbf {f} =g^{jk}\left({\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}+{\Gamma ^{i}}_{jl}f^{l}\right)\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{k},}$$

где g ^jk — компоненты обратного метрического тензора , а e _i — базисные векторы координат.

Выражаясь более инвариантно, градиент векторного поля f можно определить с помощью связности Леви-Чивиты и метрического тензора: ^[11]

$${\displaystyle \nabla ^{a}f^{b}=g^{ac}\nabla _{c}f^{b},}$$

где ∇ _c — связь.

Римановы многообразия

Для любой гладкой функции f на римановом многообразии ( M , g ) градиент f — это векторное поле ∇ f такое, что для любого векторного поля X , то есть, где g _x (, ) обозначает скалярное произведение касательных векторов в точке x, определяемое метрикой g , а ∂ _X f — это функция, которая переводит любую точку x ∈ M в производную f по направлению в точке X , вычисленную в точке x . Другими словами, в координатной карте φ из открытого подмножества M в открытое подмножество R ⁿ , (∂ _X f  )( x ) задается как: где X ^j обозначает j -й компонент X в этой координатной карте. $${\displaystyle g(\nabla f,X)=\partial _{X}f,}$$ $${\displaystyle g_{x}{\big (}(\nabla f)_{x},X_{x}{\big )}=(\partial _{X}f)(x),}$$    $${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}X^{j}{\big (}\varphi (x){\big )}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(f\circ \varphi ^{-1}){\Bigg |}_{\varphi (x)},}$$

Итак, локальная форма градиента принимает вид:

$${\displaystyle \nabla f=g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}{\textbf {e}}_{i}.}$$

Обобщая случай M = R ⁿ , градиент функции связан с ее внешней производной, так как Точнее, градиент ∇ f является векторным полем, связанным с дифференциальной 1-формой df с использованием музыкального изоморфизма (называемого «диезом»), определяемого метрикой g . Соотношение между внешней производной и градиентом функции на R ⁿ является частным случаем этого, в котором метрика является плоской метрикой, заданной скалярным произведением. $${\displaystyle (\partial _{X}f)(x)=(df)_{x}(X_{x}).}$$ $${\displaystyle \sharp =\sharp ^{g}\colon T^{*}M\to TM}$$

Смотрите также

• Ротор  – плотность циркуляции в векторном поле
• Дивергенция  – Векторный оператор в векторном исчислении
• Четырехградиентный  – Четырехвекторный аналог операции градиента
• Матрица Гессе  – (Математическая) матрица вторых производных
• Косой градиент
• Пространственный градиент  – градиент, компоненты которого являются пространственными производными.

Примечания

1. В этой статье используется соглашение, согласно которому векторы-столбцы представляют векторы, а векторы-строки представляют ковекторы, однако распространено и противоположное соглашение.
2. Строго говоря, градиент — это векторное поле , а значение градиента в точке — это касательный вектор в касательном пространстве в этой точке, а не вектор в исходном пространстве . Однако все касательные пространства можно естественным образом отождествить с исходным пространством , поэтому их не нужно различать; см. § Определение и связь с производной. ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to T\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{p}\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
3. Значение градиента в точке можно рассматривать как вектор в исходном пространстве , тогда как значение производной в точке можно рассматривать как ковектор в исходном пространстве: линейное отображение . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$
4. скалярное произведение (уклон дороги вокруг холма) будет равно 40%, если угол между дорогой и самым крутым склоном равен 0°, т.е. когда они полностью выровнены, и ровное, если угол равен 90°, т.е. когда дорога перпендикулярна самому крутому склону.
5. Неформально, "естественно" идентифицировано означает, что это может быть сделано без каких-либо произвольных выборов. Это может быть формализовано с помощью естественного преобразования .

Ссылки

1. • Бахман (2007, стр. 77)
   • Даунинг (2010, стр. 316–317)
   • Крейциг (1972, стр. 309)
   • Макгроу-Хилл (2007, стр. 196)
   • Моисей (1967, стр. 684)
   • Проттер и Морри (1970, стр. 715)
   • Своковски и др. (1994, стр. 1036, 1038–1039)
2. • Бахман (2007, стр. 76)
   • Борегар и Фрели (1973, стр. 84)
   • Даунинг (2010, стр. 316)
   • Харпер (1976, стр. 15)
   • Крейциг (1972, стр. 307)
   • Макгроу-Хилл (2007, стр. 196)
   • Моисей (1967, стр. 683)
   • Проттер и Морри (1970, стр. 714)
   • Своковски и др. (1994, стр. 1038)
3. "Недифференцируемые функции должны иметь разрывные частные производные - Math Insight". mathinsight.org . Получено 21.10.2023 .
4. Крейциг (1972, стр. 308–309)
5. Стокер (1969, стр. 292)
6. Schey 1992, стр. 139–142.
7. Проттер и Морри (1970, стр. 21, 88)
8. Т. Аренс (2022). Математика (5-е изд.). Шпрингер Спектрум Берлин. дои : 10.1007/978-3-662-64389-1. ISBN 978-3-662-64388-4.
9. Борегар и Фрели (1973, стр. 87, 248)
10. Крейциг (1972, стр. 333, 353, 496)
11. Дубровин, Фоменко и Новиков 1991, стр. 348–349.

^[1]

• Бахман, Дэвид (2007), Продвинутый анализ, демистифицированный , Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-148121-2
• Борегард, Рэймонд А.; Фрейли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
• Даунинг, Дуглас, доктор философии (2010), Barron's EZ Calculus , Нью-Йорк: Barron's , ISBN 978-0-7641-4461-5{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Дубровин, BA; Фоменко, AT; Новиков, SP (1991). Современная геометрия — методы и приложения: Часть I: Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей . Graduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer. ISBN 978-0-387-97663-1.
• Харпер, Чарли (1976), Введение в математическую физику , Нью-Джерси: Prentice-Hall , ISBN 0-13-487538-9
• Крейциг, Эрвин (1972), Высшая инженерная математика (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-50728-8
• "McGraw Hill Encyclopedia of Science & Technology". McGraw-Hill Encyclopedia of Science & Technology (10-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill . 2007. ISBN 978-0-07-144143-8.
• Моисе, Эдвин Э. (1967), Исчисление: Полное , Чтение: Эддисон-Уэсли
• Проттер, Мюррей Х.; Моррей, Чарльз Б. младший (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2-е изд.), Reading: Addison-Wesley , LCCN  76087042
• Schey, HM (1992). Div, Grad, Curl и все такое (2-е изд.). WW Norton. ISBN 0-393-96251-2. OCLC  25048561.
• Стокер, Дж. Дж. (1969), Дифференциальная геометрия , Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-82825-4
• Своковски, Эрл В.; Олиник, Майкл; Пенс, Деннис; Коул, Джеффри А. (1994), Calculus (6-е изд.), Бостон: PWS Publishing Company, ISBN 0-534-93624-5
• Аренс, Т.; Хеттлих, Ф.; Карпфингер, К.; Кокелькорн, У.; Лихтенеггер, К.; Стачел, Х. (2022), Mathematik (5-е изд.), Springer Spektrum Berlin, номер документа : 10.1007/978-3-662-64389-1, ISBN 978-3-662-64388-4

Дальнейшее чтение

• Корн, Тереза ​​М.; Корн, Гранино Артур (2000). Математический справочник для ученых и инженеров: определения, теоремы и формулы для справки и обзора . Dover Publications. стр. 157–160. ISBN 0-486-41147-8. OCLC  43864234.

Внешние ссылки

• "Градиент". Академия Хана .
• Купцов, Л.П. (2001) [1994], «Градиент», Энциклопедия математики , Издательство ЭМС.
• Вайсштейн, Эрик В. «Градиент». Математический мир .

1. «Векторное исчисление: понимание градиента – BetterExplained». betterexplained.com . Получено 22.08.2024 .