Нелинейное управление

Теория управления нелинейными или нестационарными системами

Система управления с обратной связью . Желательно управлять системой (часто называемой установкой ), чтобы ее выходной сигнал соответствовал желаемому опорному сигналу. Датчик контролирует выходной сигнал, а контроллер вычитает фактический выходной сигнал из желаемого эталонного выходного сигнала и подает этот сигнал ошибки в систему , чтобы приблизить выходной сигнал к эталонному. В нелинейной системе управления хотя бы один из блоков, система, датчик или контроллер является нелинейным.

Нелинейная теория управления — это область теории управления , которая занимается системами, которые являются нелинейными , изменяющимися во времени или и теми, и другими. Теория управления — это междисциплинарная отрасль инженерии и математики , которая занимается поведением динамических систем с входными данными и тем, как модифицировать выходные данные путем изменения входных данных с использованием обратной связи , прямой связи или фильтрации сигналов . Система, которой нужно управлять, называется « установкой ». Один из способов заставить выходной сигнал системы следовать желаемому опорному сигналу - сравнить выходной сигнал объекта с желаемым выходным сигналом и обеспечить обратную связь с объектом, чтобы изменить выходной сигнал, чтобы приблизить его к желаемому выходному сигналу.

Теория управления делится на две ветви. Теория линейного управления применима к системам, состоящим из устройств, подчиняющихся принципу суперпозиции . Они управляются линейными дифференциальными уравнениями . Основным подклассом являются системы, которые, кроме того, имеют параметры, которые не меняются со временем, называемые линейными инвариантными во времени (LTI) системами. Эти системы могут быть решены с помощью мощных математических методов в частотной области большой общности, таких как преобразование Лапласа , преобразование Фурье , Z-преобразование , график Боде , корневой годограф и критерий устойчивости Найквиста .

Нелинейная теория управления охватывает более широкий класс систем, не подчиняющихся принципу суперпозиции. Это применимо и к более реальным системам, поскольку все реальные системы управления нелинейны. Эти системы часто управляются нелинейными дифференциальными уравнениями . Математические методы, разработанные для их решения, более строгие и гораздо менее общие и часто применимы только к узким категориям систем. К ним относятся теория предельного цикла , отображения Пуанкаре , теория устойчивости Ляпунова и описывающие функции . Если интерес представляют только решения вблизи устойчивой точки, нелинейные системы часто можно линеаризовать путем аппроксимации их линейной системой, полученной путем разложения нелинейного решения в ряд , а затем можно использовать линейные методы. ^[1] Нелинейные системы часто анализируются с использованием численных методов на компьютерах , например, путем моделирования их работы с использованием языка моделирования . Даже если установка является линейной, нелинейный контроллер часто может иметь привлекательные характеристики, такие как более простая реализация, более высокая скорость, большая точность или снижение энергии управления, что оправдывает более сложную процедуру проектирования.

Примером нелинейной системы управления является система отопления, управляемая термостатом . Система отопления здания, такая как печь, нелинейно реагирует на изменения температуры; он либо «включен», либо «выключен», у него нет точного регулирования в зависимости от разницы температур, которое было бы у пропорционального (линейного) устройства. Поэтому печь выключена до тех пор, пока температура не упадет ниже уставки «включения» термостата, когда он включится. Из-за тепла, выделяемого печью, температура увеличивается до тех пор, пока не достигнет уставки термостата «выключения», который выключает печь, и цикл повторяется. Такое изменение температуры вокруг желаемой температуры называется предельным циклом и характерно для нелинейных систем управления.

Свойства нелинейных систем

Некоторые свойства нелинейных динамических систем:

• Они не следуют принципу суперпозиции (линейности и однородности).
• Они могут иметь несколько изолированных точек равновесия.
• Они могут проявлять такие свойства, как предельный цикл , бифуркация , хаос .
• Конечное время ускользания: решения нелинейных систем могут существовать не всегда.

Анализ и управление нелинейными системами

Существует несколько хорошо разработанных методов анализа нелинейных систем с обратной связью:

• Описание метода функции
• Метод фазовой плоскости
• Анализ устойчивости по Ляпунову
• Метод сингулярных возмущений
• Критерий Попова и критерий круга абсолютной устойчивости.
• Теорема о центральном многообразии
• Теорема о малом выигрыше
• Анализ пассивности

Также существуют методы проектирования систем управления для нелинейных систем. Их можно разделить на методы, которые пытаются рассматривать систему как линейную систему в ограниченном диапазоне операций и используют (хорошо известные) методы линейного проектирования для каждой области:

• Планирование усиления

Те, кто пытается ввести вспомогательную нелинейную обратную связь таким образом, чтобы систему можно было рассматривать как линейную для целей проектирования управления:

• Линеаризация обратной связи

И методы Ляпунова :

• Редизайн Ляпунова
• Функция управления-Ляпунова
• Нелинейное демпфирование
• отступление
• Управление скользящим режимом

Нелинейный анализ обратной связи - проблема Лурье

Блок-схема задачи Лурье

Одна из первых задач анализа систем с нелинейной обратной связью была сформулирована А. И. Лурье . Системы управления, описываемые проблемой Лурье, имеют прямой путь, который является линейным и инвариантным во времени, и путь обратной связи, который содержит статическую нелинейность без памяти, возможно, изменяющуюся во времени.

Линейная часть может быть охарактеризована четырьмя матрицами ( A , B , C , D ), а нелинейная часть - Φ( y ) с (секторной нелинейностью). ${\displaystyle {\frac {\Phi (y)}{y}}\in [a,b],\quad a<b\quad \forall y}$

Проблема абсолютной стабильности

Учитывать:

1. ( A , B ) является управляемым и ( C , A ) наблюдаемым
2. два действительных числа a , b с a  <  b , определяющие сектор для функции Φ

Задача Лурье (также известная как проблема абсолютной устойчивости) состоит в том, чтобы вывести условия, включающие только матрицу переноса H ( s ) и { a , b } такие, что x  = 0 является глобально равномерно асимптотически устойчивым равновесием системы.

Есть две хорошо известные ошибочные гипотезы по проблеме абсолютной устойчивости:

• Гипотеза Айзермана
• Гипотеза Калмана .

Графически эти гипотезы можно интерпретировать в терминах графических ограничений на график Φ( y ) x y или также на график d Φ/ dy x Φ/ y . ^[2] Существуют контрпримеры к гипотезам Айзермана и Калмана, что нелинейность принадлежит сектору линейной устойчивости и единственное устойчивое равновесие сосуществует с устойчивым периодическим решением — скрытыми колебаниями .

Существуют две основные теоремы, касающиеся проблемы Лурье, которые дают достаточные условия абсолютной устойчивости:

• Критерий окружности ( расширение критерия устойчивости Найквиста для линейных систем)
• Критерий Попова .

Теоретические результаты в нелинейном управлении

Теорема Фробениуса

Теорема Фробениуса — глубокий результат дифференциальной геометрии. Применительно к нелинейному управлению оно гласит следующее: дана система вида

${\displaystyle {\dot {x}}=\sum _{i=1}^{k}f_{i}(x)u_{i}(t)\,}$

где , — векторные поля, принадлежащие некоторому распределению , и — функции управления, интегральные кривые ограничены многообразием размерности, если и — инволютивное распределение. ${\displaystyle x\in R^{n}}$ ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle u_{i}(t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \operatorname {span} (\Delta )=m}$ ${\displaystyle \Delta }$

Смотрите также

• Пассивация обратной связи
• Фазовая автоподстройка частоты
• Небольшое свойство управления

Рекомендации

1. точка обрезки
2. Надери, Т.; Матэрасси, Д.; Инноченти, Г.; Генезио, Р. (2019). «Возвращение к гипотезам Калмана и Айзермана через графическую интерпретацию». Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 64 (2): 670–682. дои : 10.1109/TAC.2018.2849597. ISSN  0018-9286. S2CID  59553748.

дальнейшее чтение

• Лурье, А.И.; Постников, В. Н. (1944). «К теории устойчивости регулируемых систем». Прикладная математика и механика . 8 (3): 246–248.
• Видьясагар, М. (1993). Нелинейный системный анализ (2-е изд.). Энглвуд Клиффс: Прентис Холл. ISBN 978-0-13-623463-0.
• Исидори, А. (1995). Нелинейные системы управления (3-е изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN 978-3-540-19916-8.
• Халил, Гонконг (2002). Нелинейные системы (3-е изд.). Река Аппер-Седл: Прентис-Холл. ISBN 978-0-13-067389-3.
• Брольято, Б.; Лозано, Р.; Машке, Б.; Эгеланд, О. (2020). Диссипативные системы анализа и управления (3-е изд.). Лондон: Спрингер.
• Леонов Г.А.; Кузнецов Н.В. (2011). «Алгоритмы поиска скрытых колебаний в задачах Айзермана и Калмана» (PDF) . Доклады Математики . 84 (1): 475–481. дои : 10.1134/S1064562411040120. S2CID  120692391.
• Брагин В.О.; Вгайцев В.И.; Кузнецов Н.В.; Леонов Г.А. (2011). «Алгоритмы поиска скрытых колебаний в нелинейных системах. Гипотезы Айзермана и Калмана и схемы Чуа» (PDF) . Международный журнал компьютерных и системных наук . 50 (5): 511–543. дои : 10.1134/S106423071104006X. S2CID  21657305.
• Леонов Г.А., Кузнецов Н.В. (2011). Серджио, Биттанти (ред.). «Аналитико-численные методы исследования скрытых колебаний в нелинейных системах управления» (PDF) . Тома трудов МФБ (IFAC-PapersOnline) . Материалы 18-го Всемирного конгресса IFAC. 18 (1): 2494–2505. doi : 10.3182/20110828-6-IT-1002.03315. ISBN 9783902661937.

Внешние ссылки

• Функции языка Wolfram для нелинейных систем управления