Уравнение движения Аппеля

Формулировка классической механики

В классической механике уравнение движения Аппеля (также известное как уравнение движения Гиббса–Аппеля ) является альтернативной общей формулировкой классической механики, описанной Джозайей Уиллардом Гиббсом в 1879 году ^[1] и Полем Эмилем Аппелем в 1900 году ^[2].

Заявление

Уравнение Гиббса-Аппелла выглядит так:

${\displaystyle Q_{r}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{r}}},}$

где - произвольное обобщенное ускорение, или вторая производная по времени обобщенных координат , а - соответствующая ему обобщенная сила . Обобщенная сила дает работу, выполненную ${\displaystyle \alpha _{r}={\ddot {q}}_{r}}$ ${\displaystyle q_{r}}$ ${\displaystyle Q_{r}}$

${\displaystyle dW=\sum _{r=1}^{D}Q_{r}dq_{r},}$

где индекс пробегает обобщенные координаты , которые обычно соответствуют степеням свободы системы. Функция определяется как сумма квадратов ускорений частиц, взвешенная по массе , ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle q_{r}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}^{2}\,,}$

где индекс пробегает по частицам, и ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \mathbf {a} _{k}={\ddot {\mathbf {r} }}_{k}={\frac {d^{2}\mathbf {r} _{k}}{dt^{2}}}}$

- ускорение -й частицы, вторая производная по времени ее вектора положения . Каждое выражается через обобщенные координаты , и выражается через обобщенные ускорения. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{k}}$

Связь с другими формулировками классической механики

Формулировка Аппеля не вводит никакой новой физики в классическую механику и как таковая эквивалентна другим переформулировкам классической механики, таким как механика Лагранжа и механика Гамильтона . Вся классическая механика содержится в законах движения Ньютона. В некоторых случаях уравнение движения Аппеля может быть более удобным, чем обычно используемая механика Лагранжа, особенно когда задействованы неголономные ограничения. Фактически, уравнение Аппеля приводит непосредственно к уравнениям движения Лагранжа. ^[3] Более того, его можно использовать для вывода уравнений Кейна, которые особенно подходят для описания движения сложных космических аппаратов. ^[4] Формулировка Аппеля является применением принципа наименьшего ограничения Гаусса . ^[5]

Вывод

Изменение положений частиц r _k при бесконечно малом изменении обобщенных координат D равно

${\displaystyle d\mathbf {r} _{k}=\sum _{r=1}^{D}dq_{r}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}}$

Взяв две производные по времени, получаем эквивалентное уравнение для ускорений

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {a} _{k}}{\partial \alpha _{r}}}={\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}}$

Работа, совершаемая бесконечно малым изменением dq _r в обобщенных координатах, равна

${\displaystyle dW=\sum _{r=1}^{D}Q_{r}dq_{r}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot d\mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot d\mathbf {r} _{k}}$

где второй закон Ньютона для k -й частицы

${\displaystyle \mathbf {F} _{k}=m_{k}\mathbf {a} _{k}}$

была использована. Подстановка формулы для d r _k и изменение порядка двух сумм дает формулы

${\displaystyle dW=\sum _{r=1}^{D}Q_{r}dq_{r}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \sum _{r=1}^{D}dq_{r}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}\right)=\sum _{r=1}^{D}dq_{r}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}\right)}$

Следовательно, обобщенные силы равны

${\displaystyle Q_{r}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}\right)=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {a} _{k}}{\partial \alpha _{r}}}\right)}$

Это равно производной S по обобщенным ускорениям

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial \alpha _{r}}}={\frac {\partial }{\partial \alpha _{r}}}{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left|\mathbf {a} _{k}\right|^{2}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {a} _{k}}{\partial \alpha _{r}}}\right)}$

что дает уравнение движения Аппеля

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial \alpha _{r}}}=Q_{r}.}$

Примеры

Уравнения Эйлера динамики твердого тела

Уравнения Эйлера служат прекрасной иллюстрацией формулировки Аппеля.

Рассмотрим твердое тело из N частиц, соединенных жесткими стержнями. Вращение тела можно описать вектором угловой скорости , а соответствующий вектор углового ускорения ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}}$

Обобщенная сила для вращения - это крутящий момент , поскольку работа, совершаемая для бесконечно малого вращения, равна . Скорость -й частицы определяется как ${\displaystyle {\textbf {N}}}$ ${\displaystyle \delta {\boldsymbol {\phi }}}$ ${\displaystyle dW=\mathbf {N} \cdot \delta {\boldsymbol {\phi }}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{k}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{k}}$

где - положение частицы в декартовых координатах; ее соответствующее ускорение равно ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$

${\displaystyle \mathbf {a} _{k}={\frac {d\mathbf {v} _{k}}{dt}}={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} _{k}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{k}}$

Поэтому функцию можно записать как ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{k}\right)={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left\{\left({\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} _{k}\right)^{2}+\left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{k}\right)^{2}+2\left({\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} _{k}\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{k}\right)\right\}}$

Приравнивая производную S к крутящему моменту, получаем уравнения Эйлера ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$

${\displaystyle I_{xx}\alpha _{x}-\left(I_{yy}-I_{zz}\right)\omega _{y}\omega _{z}=N_{x}}$

${\displaystyle I_{yy}\alpha _{y}-\left(I_{zz}-I_{xx}\right)\omega _{z}\omega _{x}=N_{y}}$

${\displaystyle I_{zz}\alpha _{z}-\left(I_{xx}-I_{yy}\right)\omega _{x}\omega _{y}=N_{z}}$

Смотрите также

• Физический портал

• Принцип стационарного действия
• Аналитическая механика

Ссылки

1. Гиббс, Дж. У. (1879). «О фундаментальных формулах динамики». Американский журнал математики . 2 (1): 49–64. doi :10.2307/2369196. JSTOR  2369196.
2. Аппелл, П. (1900). «Sur une forme générale des équations de la dinamique». Журнал для королевы и математики . 121 : 310–?.
3. Deslodge, Edward A. (1988). "Уравнения движения Гиббса–Аппелла" (PDF) . American Journal of Physics . 56 (9): 841–46. Bibcode :1988AmJPh..56..841D. doi :10.1119/1.15463. S2CID  123074999.
4. Deslodge, Edward A. (1987). «Связь между уравнениями Кейна и уравнениями Гиббса-Аппелла». Журнал управления, контроля и динамики . 10 (1). Американский институт аэронавтики и астронавтики: 120–22. Bibcode : 1987JGCD...10..120D. doi : 10.2514/3.20192.
5. Льюис, Эндрю Д. (август 1996 г.). «Геометрия уравнений Гиббса-Аппелла и принцип наименьшего принуждения Гаусса» (PDF) . Отчеты по математической физике . 38 (1): 11–28. Bibcode : 1996RpMP...38...11L. doi : 10.1016/0034-4877(96)87675-0.

Дальнейшее чтение

• Парс, Л. А. (1965). Трактат об аналитической динамике . Вудбридж, Коннектикут: Ox Bow Press. С. 197–227, 631–632.
• Уиттекер, ET (1937). Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел с введением в задачу трех тел (4-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN.
• Сигер (1930). «Уравнения Аппеля». Журнал Вашингтонской академии наук . 20 : 481–484.
• Брелл, Х (1913). «Nachweis der Aquivalenz des verallgemeinerten Prinzipes der kleinsten Aktion mit dem Prinzip des kleinsten Zwanges». Вена. Ситц . 122 : 933–944.Связь формулировки Аппеля с принципом наименьшего действия .
• PDF-копия статьи Аппеля в Геттингенском университете
• PDF-копия второй статьи об уравнениях Аппеля и принципе Гаусса