Уравнение КПП–Фишера

Численное моделирование уравнения Фишера–КПП. Цветами: решение u ( t , x ); точками: наклон, соответствующий теоретической скорости бегущей волны.

В математике уравнение КПП–Фишера (названное в честь Андрея Колмогорова , Ивана Петровского , Николая Пискунова ^[1] и Рональда Фишера ^[2] ) , также известное как уравнение КПП , уравнение Фишера или уравнение Фишера–КПП, является уравнением в частных производных :

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-D{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=ru(1-u).\,}$

Это своего рода система реакции-диффузии , которую можно использовать для моделирования роста популяции и распространения волн.

Подробности

Уравнение КПП–Фишера относится к классу уравнений реакции-диффузии : по сути, это одно из простейших полулинейных уравнений реакции-диффузии, имеющее неоднородный член

${\displaystyle f(u,x,t)=ru(1-u),\,}$

которые могут демонстрировать решения в виде бегущей волны, которые переключаются между состояниями равновесия, заданными . Такие уравнения встречаются, например, в экологии , физиологии , горении , кристаллизации , физике плазмы и в общих задачах фазового перехода . ${\displaystyle f(u)=0}$

Фишер предложил это уравнение в своей статье 1937 года « Волна продвижения выгодных генов в контексте динамики популяции» для описания пространственного распространения выгодного аллеля и исследовал его решения в виде бегущей волны. ^[2] Для каждой скорости волны ( в безразмерной форме) оно допускает решения в виде бегущей волны вида ${\displaystyle c\geq 2{\sqrt {rD}}}$ ${\displaystyle c\geq 2}$

${\displaystyle u(x,t)=v(x\pm ct)\equiv v(z),\,}$

где увеличивается и ${\displaystyle \textstyle v}$

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow -\infty }v\left(z\right)=0,\quad \lim _{z\rightarrow \infty }v\left(z\right)=1.}$

То есть решение переключается из состояния равновесия u = 0 в состояние равновесия u = 1. Такого решения не существует для c  < 2. ^{[2] [1] [3]} Форма волны для заданной скорости волны уникальна. Решения бегущей волны устойчивы к возмущениям ближнего поля, но не к возмущениям дальнего поля, которые могут утолщать хвост. Можно доказать, используя принцип сравнения и теорию суперрешений, что все решения с компактными начальными данными сходятся к волнам с минимальной скоростью.

Для специальной скорости волны все решения можно найти в замкнутой форме, ^[4] с ${\displaystyle c=\pm 5/{\sqrt {6}}}$

${\displaystyle v(z)=\left(1+C\mathrm {exp} \left(\mp {z}/{\sqrt {6}}\right)\right)^{-2}}$

где произвольно, и указанные выше предельные условия выполняются для . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C>0}$

Доказательство существования решений типа бегущей волны и анализ их свойств часто осуществляется методом фазового пространства .

уравнение КПП

В том же году (1937), что и Фишер, Колмогоров, Петровский и Пискунов ^[1] ввели более общее уравнение реакции-диффузии

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=F(u)}$

где — достаточно гладкая функция со свойствами, что и для всех . Это также имеет решения в виде бегущей волны, обсуждавшиеся выше. Уравнение Фишера получается при задании и масштабировании координаты с коэффициентом . Более общий пример дается формулой с . ^{[5] [6] [7]} Колмогоров, Петровский и Пискунов ^[1] обсуждали пример с в контексте популяционной генетики . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(0)=F(1)=0,F'(0)=r>0}$ ${\displaystyle F(v)>0,F'(v)<r}$ ${\displaystyle 0<v<1}$ ${\displaystyle F(u)=ru(1-u)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\sqrt {D}}}$ ${\displaystyle F(u)=ru(1-u^{q})}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle q=2}$

Минимальная скорость бегущей волны типа КПП определяется выражением

${\displaystyle 2{\sqrt {\left.{\frac {dF}{du}}\right|_{u=0}}}}$

который отличается от других типов волн, см., например, волны типа ZFK .

Смотрите также

• Уравнение ЗФК
• Уравнение Аллена–Кана

Ссылки

1. А. Колмогоров, И. Петровский и Н. Пискунов. "Исследование уравнения диффузии при увеличении количества вещества и его применение к биологической задаче". В В. М. Тихомиров, редактор, Избранные труды А. Н. Колмогорова I , страницы 248–270. Kluwer 1991, ISBN  90-277-2796-1 . Перевод В. М. Волосова из Вестника Московского ун-та, Матем.-механ. 1, 1–25, 1937
2. Фишер, RA (1937). «Волна прогресса выгодных генов» (PDF) . Annals of Eugenics . 7 (4): 353–369. doi : 10.1111/j.1469-1809.1937.tb02153.x . hdl :2440/15125.
3. Питер Гриндрод. Теория и приложения уравнений реакции-диффузии: Модели и волны. Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. The Clarendon Press Oxford University Press, Нью-Йорк, второе издание, 1996 ISBN 0-19-859676-6 ; ISBN 0-19-859692-8 .  
4. Абловиц, Марк Дж. и Цеппетелла, Энтони, Явные решения уравнения Фишера для специальной скорости волны , Бюллетень математической биологии 41 (1979) 835–840 doi :10.1007/BF02462380
5. Трефетен (30 августа 2001 г.). "Уравнение Фишера-КПП" (PDF) . Фишер 2 .
6. Гриффитс, Грэм В.; Шиссер, Уильям Э. (2011). «Уравнение Фишера–Колмогорова». Анализ бегущих волн уравнений с частными производными . Academy Press. С. 135–146. ISBN 978-0-12-384652-5.
7. Адомян, Г. (1995). «Уравнение Фишера–Колмогорова». Applied Mathematics Letters . 8 (2): 51–52. doi : 10.1016/0893-9659(95)00010-N .

Внешние ссылки

• Уравнение Фишера на MathWorld .
• Уравнение Фишера на EqWorld.