Уравнение Гросса–Питаевского

Описание основного состояния квантовой системы

Уравнение Гросса–Питаевского ( УГП , названо в честь Евгения П. Гросса ^[1] и Льва Петровича Питаевского ^[2] ) описывает основное состояние квантовой системы тождественных бозонов с использованием приближения Хартри–Фока и модели псевдопотенциального взаимодействия.

Конденсат Бозе–Эйнштейна ( БЭК) — это газ бозонов , которые находятся в одном и том же квантовом состоянии и, таким образом, могут быть описаны одной и той же волновой функцией . Свободная квантовая частица описывается одночастичным уравнением Шредингера . Взаимодействие между частицами в реальном газе учитывается соответствующим многочастичным уравнением Шредингера. В приближении Хартри–Фока полная волновая функция системы бозонов берется как произведение одночастичных функций : где — координата -го бозона. Если среднее расстояние между частицами в газе больше длины рассеяния (то есть в так называемом разбавленном пределе), то можно аппроксимировать истинный потенциал взаимодействия, который фигурирует в этом уравнении, псевдопотенциалом . При достаточно низкой температуре, когда длина волны де Бройля намного больше, чем диапазон взаимодействия бозона с бозоном, ^[3] процесс рассеяния может быть хорошо аппроксимирован одним членом рассеяния s -волн (т.е. в парциально-волновом анализе , также известным как потенциал твердых сфер ). В этом случае псевдопотенциальный модельный гамильтониан системы может быть записан как, где - масса бозона, - внешний потенциал, - длина рассеяния s -волн бозона с бозоном , и - дельта-функция Дирака . ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})=\psi (\mathbf {r} _{1})\psi (\mathbf {r} _{2})\dots \psi (\mathbf {r} _{N}),}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \ell =0}$ $${\displaystyle H=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathbf {r} _{i}^{2}}}+V(\mathbf {r} _{i})\right)+\sum _{i<j}{\frac {4\pi \hbar ^{2}a_{s}}{m}}\delta (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}),}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a_{s}}$ ${\displaystyle \delta (\mathbf {r} )}$

Вариационный метод показывает, что если одночастичная волновая функция удовлетворяет следующему уравнению Гросса–Питаевского, то полная волновая функция минимизирует математическое ожидание модельного гамильтониана при условии нормировки. Следовательно, такая одночастичная волновая функция описывает основное состояние системы. $${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathbf {r} ^{2}}}+V(\mathbf {r} )+{\frac {4\pi \hbar ^{2}a_{s}}{m}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\right)\psi (\mathbf {r} )=\mu \psi (\mathbf {r} ),}$$ ${\textstyle \int dV\,|\Psi |^{2}=N.}$

GPE — это модельное уравнение для волновой функции одной частицы в основном состоянии в конденсате Бозе–Эйнштейна . По форме оно похоже на уравнение Гинзбурга–Ландау и иногда называется « нелинейным уравнением Шредингера ».

Нелинейность уравнения Гросса–Питаевского возникает во взаимодействии между частицами: приравнивание константы взаимодействия в уравнении Гросса–Питаевского к нулю (см. следующий раздел) восстанавливает одночастичное уравнение Шредингера, описывающее частицу внутри потенциала захвата.

Говорят, что уравнение Гросса–Питаевского ограничено слабовзаимодействующим режимом. Тем не менее, оно также может не воспроизводить интересные явления даже в этом режиме. ^{[4] [5]} Для того чтобы изучить БЭК за пределами этого предела слабых взаимодействий, необходимо реализовать поправку Ли-Хуан-Яна (LHY). ^{[6] [7]} В качестве альтернативы в одномерных системах можно использовать либо точный подход, а именно модель Либа-Линигера , ^[8] либо расширенное уравнение, например, уравнение Либа-Линигера Гросса–Питаевского ^[9] (иногда называемое модифицированным ^[10] или обобщенным нелинейным уравнением Шредингера ^[11] ).

Форма уравнения

Уравнение имеет вид уравнения Шредингера с добавлением члена взаимодействия. Константа связи пропорциональна длине s -волнового рассеяния двух взаимодействующих бозонов: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a_{s}}$

${\displaystyle g={\frac {4\pi \hbar ^{2}a_{s}}{m}},}$

где - приведенная постоянная Планка , а - масса бозона. Плотность энергии равна ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}|\nabla \Psi (\mathbf {r} )|^{2}+V(\mathbf {r} )|\Psi (\mathbf {r} )|^{2}+{\frac {1}{2}}g|\Psi (\mathbf {r} )|^{4},}$

где - волновая функция или параметр порядка, а - внешний потенциал (например, гармоническая ловушка). Не зависящее от времени уравнение Гросса-Питаевского для сохраняющегося числа частиц имеет вид ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \mu \Psi (\mathbf {r} )=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )+g|\Psi (\mathbf {r} )|^{2}\right)\Psi (\mathbf {r} ),}$

где - химический потенциал , который находится из условия, что число частиц связано с волновой функцией соотношением ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle N=\int |\Psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}r.}$

Из уравнения Гросса–Питаевского, не зависящего от времени, можно найти структуру конденсата Бозе–Эйнштейна в различных внешних потенциалах (например, гармонической ловушке).

Зависящее от времени уравнение Гросса–Питаевского имеет вид

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )+g|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}\right)\Psi (\mathbf {r} ,t).}$

Из этого уравнения можно рассмотреть динамику конденсата Бозе-Эйнштейна. Оно используется для нахождения коллективных мод захваченного газа.

Решения

Поскольку уравнение Гросса–Питаевского является нелинейным уравнением в частных производных , точные решения найти трудно. В результате решения приходится аппроксимировать с помощью множества методов.

Точные решения

Свободная частица

Простейшим точным решением является решение со свободными частицами, при этом : ${\displaystyle V(\mathbf {r} )=0}$

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )={\sqrt {\frac {N}{V}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }.}$

Это решение часто называют решением Хартри. Хотя оно и удовлетворяет уравнению Гросса–Питаевского, оно оставляет щель в энергетическом спектре из-за взаимодействия:

${\displaystyle E(\mathbf {k} )=N\left[{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+g{\frac {N}{2V}}\right].}$

Согласно теореме Гугенхольца–Пайнса ^[12] , взаимодействующий бозе-газ не имеет энергетической щели (в случае отталкивательных взаимодействий).

Солитон

Одномерный солитон может образоваться в конденсате Бозе-Эйнштейна, и в зависимости от того, является ли взаимодействие притягивающим или отталкивающим, существует либо светлый, либо темный солитон. Оба солитона являются локальными возмущениями в конденсате с однородной фоновой плотностью.

Если БЭК отталкивающий, так что , то возможным решением уравнения Гросса–Питаевского является ${\displaystyle g>0}$

${\displaystyle \psi (x)=\psi _{0}\tanh \left({\frac {x}{{\sqrt {2}}\xi }}\right),}$

где — значение волновой функции конденсата при , а — длина когерентности (она же длина заживления , ^[3] см. ниже). Это решение представляет собой темный солитон, поскольку в пространстве с ненулевой плотностью имеется дефицит конденсата. Темный солитон также является типом топологического дефекта , поскольку переворачивается между положительными и отрицательными значениями через начало координат, что соответствует сдвигу фазы. ${\displaystyle \psi _{0}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \xi =\hbar /{\sqrt {2mn_{0}g}}=1/{\sqrt {8\pi a_{s}n_{0}}}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \pi }$

Для решения есть ${\displaystyle g<0}$

${\displaystyle \psi (x,t)=\psi (0)e^{-i\mu t/\hbar }{\frac {1}{\cosh \left({\sqrt {2m|\mu |/\hbar ^{2}}}x\right)}},}$

где химический потенциал равен . Это решение представляет собой яркий солитон, поскольку в пространстве нулевой плотности имеется концентрация конденсата. ${\displaystyle \mu =g|\psi (0)|^{2}/2}$

Продолжительность заживления

Длина заживления дает минимальное расстояние, на котором параметр порядка может заживать, что описывает, насколько быстро волновая функция БЭК может подстраиваться под изменения потенциала. Если плотность конденсата растет от 0 до n на расстоянии ξ, длина заживления может быть рассчитана путем приравнивания

квантовое давление и энергия взаимодействия: ^{[3] [13]}

${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m\xi ^{2}}}=gn\implies \xi =(8\pi na_{s})^{-1/2}}$

Длина заживления должна быть намного меньше любого масштаба длины в решении одночастичной волновой функции. Длина заживления также определяет размер вихрей, которые могут образовываться в сверхтекучей жидкости. Это расстояние, на котором волновая функция восстанавливается от нуля в центре вихря до значения в объеме сверхтекучей жидкости (отсюда и название «длина заживления»).

Вариационные решения

В системах, где точное аналитическое решение может быть невозможным, можно сделать вариационное приближение. Основная идея состоит в том, чтобы сделать вариационный анзац для волновой функции со свободными параметрами, включить его в свободную энергию и минимизировать энергию относительно свободных параметров.

Численные решения

Для решения GPE использовались несколько численных методов, таких как метод расщепленного шага Кранка–Николсона ^[14] и спектральный метод Фурье ^{[15] . Существуют также различные программы на Фортране и С для решения для} контактного взаимодействия ^{[16] [17]} и дальнего дипольного взаимодействия. ^[18]

Приближение Томаса–Ферми

Если число частиц в газе очень велико, межатомное взаимодействие становится большим, так что членом кинетической энергии можно пренебречь в уравнении Гросса–Питаевского. Это называется приближением Томаса–Ферми и приводит к одночастичной волновой функции

${\displaystyle \psi (x,t)={\sqrt {\frac {\mu -V(x)}{Ng}}}.}$

И профиль плотности

${\displaystyle n(x,t)={\frac {\mu -V(x)}{g}}.}$

В гармонической ловушке (где потенциальная энергия квадратична по отношению к смещению от центра) это дает профиль плотности, обычно называемый профилем плотности «перевернутой параболы». ^[3]

приближение Боголюбова

Боголюбовская трактовка уравнения Гросса–Питаевского представляет собой метод, который находит элементарные возбуждения конденсата Бозе–Эйнштейна. Для этого волновая функция конденсата аппроксимируется суммой равновесной волновой функции и малого возмущения : ${\displaystyle \psi _{0}={\sqrt {n}}e^{-i\mu t}}$ ${\displaystyle \delta \psi }$

${\displaystyle \psi =\psi _{0}+\delta \psi .}$

Затем эта форма подставляется в зависящее от времени уравнение Гросса–Питаевского и его комплексно сопряженное уравнение и линеаризуется до первого порядка по : ${\displaystyle \delta \psi }$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \delta \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\delta \psi +V\delta \psi +g(2|\psi _{0}|^{2}\delta \psi +\psi _{0}^{2}\delta \psi ^{*}),}$

${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial \delta \psi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\delta \psi ^{*}+V\delta \psi ^{*}+g(2|\psi _{0}|^{2}\delta \psi ^{*}+(\psi _{0}^{*})^{2}\delta \psi ).}$

Предполагая, что

${\displaystyle \delta \psi =e^{-i\mu t}{\big (}u({\boldsymbol {r}})e^{-i\omega t}-v^{*}({\boldsymbol {r}})e^{i\omega t}{\big )},}$

можно найти следующие связанные дифференциальные уравнения для и , принимая части как независимые компоненты: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle e^{\pm i\omega t}}$

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V+2gn-\hbar \mu -\hbar \omega \right)u-gnv=0,}$

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V+2gn-\hbar \mu +\hbar \omega \right)v-gnu=0.}$

Для однородной системы, т.е. для , можно получить из уравнения нулевого порядка. Тогда мы предполагаем , что и являются плоскими волнами импульса , что приводит к энергетическому спектру ${\displaystyle V({\boldsymbol {r}})={\text{const}}}$ ${\displaystyle V=\hbar \mu -gn}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$

${\displaystyle \hbar \omega =\epsilon _{\boldsymbol {q}}={\sqrt {{\frac {\hbar ^{2}|{\boldsymbol {q}}|^{2}}{2m}}\left({\frac {\hbar ^{2}|{\boldsymbol {q}}|^{2}}{2m}}+2gn\right)}}.}$

Для больших дисперсионное соотношение квадратично по , как и следовало ожидать для обычных невзаимодействующих одночастичных возбуждений. Для малых дисперсионное соотношение линейно: ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$

${\displaystyle \epsilon _{\boldsymbol {q}}=s\hbar q,}$

где - скорость звука в конденсате, также известная как второй звук . Этот факт показывает, согласно критерию Ландау, что конденсат является сверхтекучим, то есть если объект перемещается в конденсате со скоростью, меньшей s , то энергетически невыгодно производить возбуждения, и объект будет двигаться без рассеивания, что является характеристикой сверхтекучести . Были проведены эксперименты, чтобы доказать эту сверхтекучесть конденсата, с использованием плотно сфокусированного синего расстроенного лазера. ^[19] Такое же дисперсионное соотношение обнаруживается, когда конденсат описывается из микроскопического подхода с использованием формализма вторичного квантования . ${\displaystyle s={\sqrt {ng/m}}}$ ${\displaystyle \epsilon _{\boldsymbol {q}}/(\hbar q)>s}$

Сверхтекучесть во вращающемся винтовом потенциале

Вихревая дипольная ловушка с топологическим зарядом, загруженная ультрахолодным ансамблем ${\displaystyle \ell =2}$

Оптическая потенциальная яма может быть образована двумя встречными оптическими вихрями с длинами волн , эффективной шириной и топологическим зарядом : ${\displaystyle V_{\text{twist}}(\mathbf {r} ,t)=V_{\text{twist}}(z,r,\theta ,t)}$ ${\displaystyle \lambda _{\pm }=2\pi c/\omega _{\pm }}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle E_{\pm }(\mathbf {r} ,t)\sim \exp \left(-{\frac {r^{2}}{2D^{2}}}\right)r^{|\ell |}\exp(-i\omega _{\pm }t\pm ik_{\pm }z+i\ell \theta ),}$

где . В цилиндрической системе координат потенциальная яма имеет замечательную геометрию двойной спирали : ^[20] ${\displaystyle \delta \omega =(\omega _{+}-\omega _{-})}$ ${\displaystyle (z,r,\theta )}$

${\displaystyle V_{\text{twist}}(\mathbf {r} ,t)\sim V_{0}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{D^{2}}}\right)r^{2|\ell |}\left(1+\cos[\delta \omega t+(k_{+}+k_{-})z+2\ell \theta ]\right).}$

В системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью , зависящее от времени уравнение Гросса–Питаевского с винтовым потенциалом имеет вид ^[21] ${\displaystyle \Omega =\delta \omega /2\ell }$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{\text{twist}}(\mathbf {r} )+g|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}-\Omega {\hat {L}}\right)\Psi (\mathbf {r} ,t),}$

где — оператор углового момента. Решение для волновой функции конденсата представляет собой суперпозицию двух фазово-сопряженных вихрей материи и волны: ${\displaystyle {\hat {L}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}}$ ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)\sim \exp \left(-{\frac {r^{2}}{2D^{2}}}\right)r^{|\ell |}\times {\big (}\exp(-i\omega _{+}t+ik_{+}z+i\ell \theta )+\exp(-i\omega _{-}t-ik_{-}z-i\ell \theta ){\big )}.}$

Макроскопически наблюдаемый импульс конденсата равен

${\displaystyle \langle \Psi |{\hat {P}}|\Psi \rangle =N_{\text{at}}\hbar (k_{+}-k_{-}),}$

где - число атомов в конденсате. Это означает, что атомный ансамбль движется когерентно вдоль оси с групповой скоростью, направление которой определяется знаками топологического заряда и угловой скоростью : ^[22] ${\displaystyle N_{\text{at}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle V_{z}={\frac {2\Omega \ell }{k_{+}+k_{-}}}.}$

Угловой момент спирально захваченного конденсата равен нулю: ^[21]

${\displaystyle \langle \Psi |{\hat {L}}|\Psi \rangle =N_{\text{at}}[\ell \hbar -\ell \hbar ]=0.}$

Численное моделирование холодного атомного ансамбля в спиральном потенциале показало ограничение отдельных атомных траекторий внутри спиральной потенциальной ямы. ^[23]

Выводы и обобщения

Уравнение Гросса–Питаевского также может быть выведено как полуклассический предел теории многих тел s-волновых взаимодействующих идентичных бозонов, представленных в терминах когерентных состояний. ^[24] Полуклассический предел достигается для большого числа квантов, выражая теорию поля либо в положительном P-представлении (обобщенное P-представление Глаубера-Сударшана ), либо в представлении Вигнера .

Эффекты конечной температуры можно рассматривать в рамках обобщенного уравнения Гросса–Питаевского, включив рассеяние между конденсатными и неконденсатными атомами, ^{[25] [26] [27] [28] [29]} из которого можно восстановить уравнение Гросса–Питаевского в пределе низких температур. ^{[30] [31]}

Ссылки

1. EP Gross (1961). «Структура квантованного вихря в бозонных системах». Il Nuovo Cimento . 20 (3): 454–457. Bibcode : 1961NCim...20..454G. doi : 10.1007/BF02731494. S2CID  121538191.
2. Л. П. Питаевский (1961). «Вихревые линии в несовершенном бозе-газе». ЖЭТФ . 13 (2): 451–454.
3. Foot, CJ (2005). Атомная физика. Oxford University Press. С. 231–240. ISBN 978-0-19-850695-9.
4. Лопес, Рафаэль; Эйген, Кристоф; Навон, Нир; Клеман, Дэвид; Смит, Роберт П.; Хаджибабич, Зоран (2017-11-07). «Квантовое истощение однородного конденсата Бозе-Эйнштейна». Physical Review Letters . 119 (19): 190404. arXiv : 1706.01867 . Bibcode : 2017PhRvL.119s0404L. doi : 10.1103/PhysRevLett.119.190404. ISSN  0031-9007. PMID  29219529. S2CID  206302070.
5. Chang, R.; Bouton, Q.; Cayla, H.; Qu, C.; Aspect, A.; Westbrook, CI; Clément, D. (2016-12-02). "Momentum-Resolved Observation of Thermal and Quantum Depletion in a Bose Gas". Physical Review Letters . 117 (23): 235303. arXiv : 1608.04693 . Bibcode : 2016PhRvL.117w5303C. doi : 10.1103/PhysRevLett.117.235303. ISSN  0031-9007. PMID  27982640. S2CID  10967623.
6. Ли, ТД; Янг, КН (1957-02-01). «Проблема многих тел в квантовой механике и квантовой статистической механике». Physical Review . 105 (3): 1119–1120. Bibcode : 1957PhRv..105.1119L. doi : 10.1103/PhysRev.105.1119. ISSN  0031-899X.
7. Ли, ТД; Хуан, Керсон; Янг, КН (1957-06-15). «Собственные значения и собственные функции бозе-системы твердых сфер и ее низкотемпературные свойства». Physical Review . 106 (6): 1135–1145. Bibcode : 1957PhRv..106.1135L. doi : 10.1103/PhysRev.106.1135. ISSN  0031-899X.
8. Либ, Эллиотт Х.; Линигер, Вернер (1963-05-15). «Точный анализ взаимодействующего бозе-газа. I. Общее решение и основное состояние». Physical Review . 130 (4): 1605–1616. Bibcode : 1963PhRv..130.1605L. doi : 10.1103/PhysRev.130.1605. ISSN  0031-899X.
9. Копычинский, Якуб; Лебек, Мацей; Марчиняк, Мацей; Олдзеевский, Рафал; Гурецкий, Войцех; Павловский, Кшиштоф (14 января 2022 г.). «За пределами уравнения Гросса-Питаевского для одномерного газа: квазичастицы и солитоны». SciPost Физика . 12 (1): 023. arXiv : 2106.15289 . Бибкод : 2022ScPP...12...23K. doi : 10.21468/SciPostPhys.12.1.023 . ISSN  2542-4653. S2CID  235670023.
10. Чой, С.; Дунжко, В.; Чжан, ЗД; Ольшаний, М. (2015-09-10). "Монопольные возбуждения гармонически захваченного одномерного бозе-газа от идеального газа до режима Тонкса-Жирардо". Physical Review Letters . 115 (11): 115302. arXiv : 1412.6855 . Bibcode :2015PhRvL.115k5302C. doi :10.1103/PhysRevLett.115.115302. ISSN  0031-9007. PMID  26406838. S2CID  2987641.
11. Peotta, Sebastiano; Ventra, Massimiliano Di (2014-01-24). "Квантовые ударные волны и инверсия заселенностей при столкновениях ультрахолодных атомных облаков". Physical Review A. 89 ( 1): 013621. arXiv : 1303.6916 . Bibcode : 2014PhRvA..89a3621P. doi : 10.1103/PhysRevA.89.013621. ISSN  1050-2947. S2CID  119290214.
12. NM Hugenholtz ; D. Pines (1959). "Энергия основного состояния и спектр возбуждения системы взаимодействующих бозонов". Physical Review . 116 (3): 489–506. Bibcode :1959PhRv..116..489H. doi :10.1103/PhysRev.116.489.
13. Дальфово, Франко; Джорджини, Стефано; Питаевский Лев П.; Стрингари, Сандро (1 апреля 1999 г.). «Теория бозе-эйнштейновской конденсации в запертых газах». Обзоры современной физики . 71 (3): 463–512. arXiv : cond-mat/9806038 . Бибкод : 1999RvMP...71..463D. doi : 10.1103/RevModPhys.71.463. S2CID  55787701.
14. P. Muruganandam и SK Adhikari (2009). "Программы Fortran для зависящего от времени уравнения Гросса-Питаевского в полностью анизотропной ловушке". Comput. Phys. Commun . 180 (3): 1888–1912. arXiv : 0904.3131 . Bibcode :2009CoPhC.180.1888M. doi :10.1016/j.cpc.2009.04.015. S2CID  7403553.
15. П. Муруганандам и СК Адхикари (2003). «Динамика конденсации Бозе-Эйнштейна в трех измерениях с помощью псевдоспектральных и конечно-разностных методов». J. Phys. B . 36 (12): 2501–2514. arXiv : cond-mat/0210177 . Bibcode :2003JPhB...36.2501M. doi :10.1088/0953-4075/36/12/310. S2CID  250851068.
16. D. Vudragovic; et al. (2012). "Программы на языке C для зависящего от времени уравнения Гросса-Питаевского в полностью анизотропной ловушке". Comput. Phys. Commun . 183 (9): 2021–2025. arXiv : 1206.1361 . Bibcode :2012CoPhC.183.2021V. doi :10.1016/j.cpc.2012.03.022. S2CID  12031850.
17. LE Young-S.; et al. (2016). "OpenMP Fortran и C-программы для зависящего от времени уравнения Гросса-Питаевского в полностью анизотропной ловушке". Comput. Phys. Commun . 204 (9): 209–213. arXiv : 1605.03958 . Bibcode :2016CoPhC.204..209Y. doi :10.1016/j.cpc.2016.03.015. S2CID  206999817.
18. R. Kishor Kumar; et al. (2015). "Fortran и C Programs для зависящего от времени дипольного уравнения Гросса-Питаевского в полностью анизотропной ловушке". Comput. Phys. Commun . 195 (2015): 117–128. arXiv : 1506.03283 . Bibcode :2015CoPhC.195..117K. doi :10.1016/j.cpc.2015.03.024. S2CID  18949735.
19. C. Raman; M. Köhl; R. Onofrio; DS Durfee; CE Kuklewicz; Z. Hadzibabic; W. Ketterle (1999). "Доказательства критической скорости в конденсированном газе Бозе–Эйнштейна". Phys. Rev. Lett . 83 (13): 2502. arXiv : cond-mat/9909109 . Bibcode :1999PhRvL..83.2502R. doi :10.1103/PhysRevLett.83.2502. S2CID  14070421.
20. А. Ю. Окулов (2008). "Угловой момент фотонов и фазовое сопряжение". J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys . . 41 (10): 101001. arXiv : 0801.2675 . Bibcode :2008JPhB...41j1001O. doi :10.1088/0953-4075/41/10/101001. S2CID  13307937.
21. А. Ю. Окулов (2012). "Удерживание холодной материи с помощью медленно вращающегося спирального потенциала". Phys. Lett. A . 376 (4): 650–655. arXiv : 1005.4213 . Bibcode :2012PhLA..376..650O. doi :10.1016/j.physleta.2011.11.033. S2CID  119196009.
22. А. Ю. Окулов (2013). «Сверхтекучий датчик вращения с винтовой лазерной ловушкой». J. Low Temp. Phys . 171 (3): 397–407. arXiv : 1207.3537 . Bibcode :2013JLTP..171..397O. doi :10.1007/s10909-012-0837-7. S2CID  118601627.
23. A. Al. Rsheed1, A. Lyras, VE Lembessis, OM Aldossary (2016). "Направление атомов в спиральных оптических потенциальных структурах". J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys . 49 (12): 125002. Bibcode :2016JPhB...49l5002R. doi :10.1088/0953-4075/49/12/125002. S2CID  124660886.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
24. Steel, MJ; Olsen, MK; Plimak, LI; Drummond, PD; Tan, SM; Collett, MJ; Walls, DF; Graham, R (1998). «Динамический квантовый шум в захваченных конденсатах Бозе-Эйнштейна». Physical Review A. 58 ( 6): 4824–4835. arXiv : cond-mat/9807349 . Bibcode : 1998PhRvA..58.4824S. doi : 10.1103/PhysRevA.58.4824. S2CID  43217083.
25. Заремба, Э.; Никуни, Т.; Гриффин, А. (1999). «Динамика захваченных бозе-газов при конечных температурах». Журнал физики низких температур . 116 (3–4): 277–345. doi :10.1023/A:1021846002995. S2CID  37753.
26. Stoof, HTC (1999). «Когерентная и некогерентная динамика во время конденсации Бозе-Эйнштейна в атомарных газах». Журнал физики низких температур . 114 (1–2): 11–108. doi :10.1023/A:1021897703053. S2CID  16107086.
27. Дэвис, М. Дж.; Морган, С. А.; Бернетт, К. (2001). «Моделирование полей Бозе при конечной температуре». Physical Review Letters . 87 (16): 160402. arXiv : cond-mat/0011431 . Bibcode : 2001PhRvL..87p0402D. doi : 10.1103/PhysRevLett.87.160402. PMID  11690189. S2CID  14195702.
28. Гардинер, CW; Дэвис, MJ (2003). «Стохастическое уравнение Гросса–Питаевского: II». Журнал физики B: атомная, молекулярная и оптическая физика . 36 (23): 4731–4753. arXiv : cond-mat/0308044 . Bibcode :2003JPhB...36.4731G. doi :10.1088/0953-4075/36/23/010. S2CID  250874049.
29. Гардинер, С.А.; Морган, С.А. (2007). "Подход с сохранением чисел к минимальному самосогласованному рассмотрению динамики конденсата и неконденсата в вырожденном бозе-газе" (PDF) . Physical Review A . 75 (4): 261. arXiv : cond-mat/0610623 . Bibcode :2007PhRvA..75d3621G. doi :10.1103/PhysRevA.75.043621. S2CID  119432906.
30. Proukakis, Nick P.; Jackson, Brian (2008). «Конечнотемпературные модели конденсации Бозе–Эйнштейна». Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics . 41 (20): 203002. arXiv : 0810.0210 . doi :10.1088/0953-4075/41/20/203002. ISSN  0953-4075. S2CID  118561792 . Получено 14.02.2022 .
31. Blakie, PB; Bradley, AS; Davis, MJ; Ballagh, RJ; Gardiner, CW (2008-09-01). "Динамика и статистическая механика ультрахолодных бозе-газов с использованием методов c-поля". Advances in Physics . 57 (5): 363–455. arXiv : 0809.1487 . Bibcode :2008AdPhy..57..363B. doi :10.1080/00018730802564254. ISSN  0001-8732. S2CID  14999178 . Получено 2021-12-05 .

Дальнейшее чтение

• Pethick, CJ; Smith, H. (2002). Бозе-Эйнштейновская конденсация в разреженных газах . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66580-3.
• Питаевский, Л.П.; Стрингари, С. (2003). Конденсация Бозе-Эйнштейна . Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN 978-0-19-850719-2.

Внешние ссылки

• Trotter-Suzuki-MPI Trotter-Suzuki-MPI — это библиотека для крупномасштабного моделирования, основанная на разложении Троттера-Сузуки , которая также может решать уравнение Гросса–Питаевского.
• XMDS XMDS — это библиотека спектральных уравнений в частных производных, которую можно использовать для решения уравнения Гросса–Питаевского.