Уравнение Блэка – Шоулза

Уравнение в частных производных в математических финансах

Поверхностный график стоимости европейского опциона колл с течением времени и цены базовой акции, а также некоторые репрезентативные траектории цен на акции. Если цена акции начинается выше страйк-цены, то, скорее всего, она в конечном итоге окажется выше страйк-цены. Если цена акции начинается намного ниже, то у нее есть небольшой шанс оказаться выше страйка. Среднее значение конечной точки траекторий в точности равно высоте поверхности.

В математических финансах уравнение Блэка -Шоулза , также называемое уравнением Блэка-Шоулза-Мертона , представляет собой уравнение в частных производных (PDE), управляющее эволюцией цен на деривативы в соответствии с моделью Блэка-Шоулза . ^[1] В широком смысле этот термин может относиться к аналогичному PDE, который может быть получен для множества вариантов или, в более общем смысле, к производным .

Моделирование геометрических броуновских движений с параметрами из рыночных данных

Рассмотрим акции, не приносящие дивидендов. Теперь создайте любой производный инструмент, который имеет фиксированное время погашения в будущем и при наступлении срока погашения имеет выигрыш , который зависит от стоимости акций в данный момент (например, европейские опционы колл или пут). Тогда цена дериватива удовлетворяет ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K(S_{T})}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0\\V(T,s)=K(s)\quad \forall s\end{cases}}}$

где – цена опциона как функция цены акции S и времени t , r – безрисковая процентная ставка и – волатильность акции. ${\displaystyle V(t,S)}$ ${\displaystyle \sigma }$

Ключевая финансовая идея, лежащая в основе уравнения, заключается в том, что в соответствии с модельным предположением о свободном рынке можно идеально хеджировать опцион, покупая и продавая базовый актив правильным способом и, следовательно, «устраняя риск». Это хеджирование, в свою очередь, подразумевает, что для опциона существует только одна правильная цена, определяемая формулой Блэка-Шоулза .

Финансовая интерпретация

Уравнение имеет конкретную интерпретацию, которая часто используется практиками и является основой для общего вывода, приведенного в следующем подразделе. Уравнение можно переписать в виде:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}=rV-rS{\frac {\partial V}{\partial S}}}$

Левая часть состоит из термина «затухание во времени», изменения значения производной по отношению ко времени, называемого тета , и термина, включающего вторую пространственную производную гамму , выпуклость значения производной по отношению к основному значению. Правая часть представляет собой безрисковый доход от длинной позиции по производному инструменту и короткой позиции, состоящей из акций базового актива. ${\textstyle {\partial V}/{\partial S}}$

Идея Блэка и Скоулза заключалась в том, что портфель, представленный правой частью, безрисков: таким образом, уравнение говорит, что безрисковая доходность за любой бесконечно малый интервал времени может быть выражена как сумма теты и члена, включающего гамму. Для опциона тета обычно имеет отрицательное значение, отражая потерю стоимости из-за меньшего количества времени для исполнения опциона (для европейского опциона колл на базовый актив без дивидендов оно всегда отрицательное). Гамма обычно положительна, поэтому гамма-член отражает прибыль от владения опционом. Уравнение утверждает, что в течение любого бесконечно малого интервала времени потери от теты и выигрыш от гамма-члена должны компенсировать друг друга, чтобы результатом была прибыль по безрисковой ставке.

С точки зрения эмитента опциона, например, инвестиционного банка, гамма-терм — это стоимость хеджирования опциона. (Поскольку гамма является максимальной, когда спотовая цена базового актива близка к цене исполнения опциона, затраты продавца на хеджирование в этом случае являются наибольшими.)

Вывод

Следующий вывод приведен в разделе « Опционы, фьючерсы и другие деривативы» Халла . ^{[2] : 287–288} Это, в свою очередь, основано на классическом аргументе из оригинальной статьи Блэка–Шоулза.

Согласно приведенным выше предположениям модели, цена базового актива (обычно акции) следует геометрическому броуновскому движению . То есть

${\displaystyle {\frac {dS}{S}}=\mu \,dt+\sigma \,dW\,}$

где W — стохастическая переменная ( броуновское движение ). Обратите внимание, что W и, следовательно, его бесконечно малое приращение dW представляет собой единственный источник неопределенности в истории цен на акции. Интуитивно, W ( t ) — это процесс , который «колеблется вверх и вниз» таким случайным образом, что его ожидаемое изменение за любой интервал времени равно 0. (Кроме того, его дисперсия во времени T равна T ; см. Винеровский процесс § Основные свойства ); Хороший дискретный аналог W — простое случайное блуждание . Таким образом, приведенное выше уравнение утверждает, что бесконечно малая норма прибыли на акции имеет ожидаемое значение µ  dt и дисперсию . ${\displaystyle \sigma ^{2}dt}$

Выплата по опциону (или любому производному инструменту, зависящему от акций S ) при наступлении срока известна. Чтобы найти его значение в более ранний момент времени, нам нужно знать, как развивается в зависимости от и . По лемме Ито для двух переменных имеем ${\displaystyle V(S,T)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle dV=\left(\mu S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)dt+\sigma S{\frac {\partial V}{\partial S}}\,dW}$

Теперь рассмотрим некий портфель, называемый портфелем дельта-хеджирования , состоящий из коротких позиций по одному опциону и одновременно длинных акций . Стоимость этих активов составляет ${\textstyle {\partial V}/{\partial S}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \Pi =-V+{\frac {\partial V}{\partial S}}S}$

За период времени общая прибыль или убыток от изменений стоимости активов составляет (но см. примечание ниже): ${\displaystyle [t,t+\Delta t]}$

${\displaystyle \Delta \Pi =-\Delta V+{\frac {\partial V}{\partial S}}\,\Delta S}$

Теперь дискретизируем уравнения для dS / S и dV , заменив дифференциалы дельтами:

${\displaystyle \Delta S=\mu S\,\Delta t+\sigma S\,\Delta W\,}$

${\displaystyle \Delta V=\left(\mu S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\Delta t+\sigma S{\frac {\partial V}{\partial S}}\,\Delta W}$

и соответствующим образом подставим их в выражение для : ${\displaystyle \Delta \Pi }$

${\displaystyle \Delta \Pi =\left(-{\frac {\partial V}{\partial t}}-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\Delta t}$

Обратите внимание, что этот термин исчез. Таким образом, неопределенность устранена, и портфель фактически безрисков. Норма доходности этого портфеля должна быть равна доходности любого другого безрискового инструмента; в противном случае возникнут возможности для арбитража. Теперь, предположив, что безрисковая норма прибыли равна, мы должны иметь за этот период времени ${\displaystyle \Delta W}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle [t,t+\Delta t]}$

${\displaystyle \Delta \Pi =r\Pi \,\Delta t}$

Если теперь подставить наши формулы на и получим: ${\displaystyle \Delta \Pi }$ ${\displaystyle \Pi =\int \Delta \Pi }$

${\displaystyle \left(-{\frac {\partial V}{\partial t}}-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\Delta t=r\left(-V+S{\frac {\partial V}{\partial S}}\right)\Delta t}$

Упрощая, мы приходим к знаменитому уравнению Блэка-Шоулза в частных производных:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}$

С учетом предположений модели Блэка-Шоулза это уравнение в частных производных второго порядка справедливо для любого типа опциона, если его ценовая функция дважды дифференцируема по и один раз по . Различные формулы ценообразования для различных опционов будут возникать в результате выбора функции выигрыша при истечении срока действия и соответствующих граничных условий. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t}$

Техническое примечание: Тонкость, скрытая вышеприведенным подходом дискретизации, заключается в том, что бесконечно малое изменение стоимости портфеля произошло только из-за бесконечно малых изменений стоимости удерживаемых активов, а не изменений в позициях в активах. Другими словами, предполагалось, что портфель будет самофинансируемым . ^{[ нужна цитата ]}

Альтернативный вывод

Вот альтернативный вывод, который можно использовать в ситуациях, когда изначально неясно, каким должен быть портфель хеджирования. (Для справки см. 6.4 Шриве, том II). ^[3]

В модели Блэка-Шоулза, предполагая, что мы выбрали нейтральную к риску вероятностную меру, предполагается, что базовая цена акций S ( t ) развивается как геометрическое броуновское движение:

${\displaystyle {\frac {dS(t)}{S(t)}}=r\ dt+\sigma dW(t)}$

Поскольку это стохастическое дифференциальное уравнение (SDE) показывает, что эволюция цены акций является марковской , любая производная от этого базового актива является функцией времени t и цены акции в текущий момент S ( t ). Тогда применение леммы Ито дает СДУ для процесса дисконтированной производной , который должен быть мартингалом. Для того чтобы это выполнялось, член дрейфа должен быть равен нулю, что подразумевает УЧП Блэка-Шоулза. ${\displaystyle e^{-rt}V(t,S(t))}$

Этот вывод, по сути, представляет собой применение формулы Фейнмана-Каца , и его можно попытаться выполнить всякий раз, когда базовый актив(ы) развивается в соответствии с заданными SDE(ами).

Методы решения

После того, как для производной получено УЧП Блэка-Шоулза с граничными и терминальными условиями, УЧП можно решить численно, используя стандартные методы численного анализа, такие как метод конечных разностей . ^[4] В некоторых случаях можно найти точную формулу, например, в случае европейского звонка, который был сделан Блэком и Скоулзом.

Решение концептуально простое. Поскольку в модели Блэка-Шоулза цена базовой акции следует геометрическому броуновскому движению, распределение , зависящее от ее цены в момент времени , является логарифмически нормальным распределением. Тогда цена дериватива представляет собой просто дисконтированный ожидаемый выигрыш , который можно вычислить аналитически, если функция выигрыша аналитически поддается обработке, или численно, если нет. ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle S_{T}}$ ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle E[e^{-r(T-t)}K(S_{T})|S_{t}]}$ ${\displaystyle K}$

Чтобы сделать это для опциона колл, вспомните, что в приведенном выше УЧП есть граничные условия ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}C(0,t)&=0{\text{ for all }}t\\C(S,t)&\sim S-Ke^{-r(T-t)}{\text{ as }}S\rightarrow \infty \\C(S,T)&=\max\{S-K,0\}\end{aligned}}}$

Последнее условие дает стоимость опциона на момент наступления срока его погашения. Возможны и другие условия, когда S стремится к 0 или бесконечности. Например, общие условия, используемые в других ситуациях, заключаются в том, чтобы выбрать дельту для исчезновения при стремлении S к 0 и гамму для исчезновения при стремлении S к бесконечности; они дадут ту же формулу, что и приведенные выше условия (как правило, разные граничные условия дают разные решения, поэтому следует использовать некоторую финансовую информацию, чтобы выбрать подходящие условия для конкретной ситуации).

Решение PDE дает стоимость опциона в любой более ранний момент времени . Чтобы решить УЧП, мы понимаем, что это уравнение Коши – Эйлера , которое можно преобразовать в уравнение диффузии , введя преобразование замены переменной. ${\displaystyle \mathbb {E} \left[\max\{S-K,0\}\right]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau &=T-t\\u&=Ce^{r\tau }\\x&=\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau \end{aligned}}}$

Тогда УЧП Блэка – Шоулза становится уравнением диффузии

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

Терминальное состояние теперь становится начальным состоянием. ${\displaystyle C(S,T)=\max\{S-K,0\}}$

${\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x):=K(e^{\max\{x,0\}}-1)=K\left(e^{x}-1\right)H(x),}$

где H ( x ) — ступенчатая функция Хевисайда . Функция Хевисайда соответствует обеспечению граничных данных в системе координат S , t , что требует, чтобы при t = T ,

${\displaystyle C(S,\,T)=0\quad \forall \;S<K,}$

предполагая, что оба S , K > 0. При этом предположении это эквивалентно функции max по всем x в действительных числах, за исключением x = 0. Вышеупомянутое равенство между функцией max и функцией Хевисайда находится в том смысле, что распределений, потому что оно не выполняется для x = 0. Хотя это и тонко, но важно, потому что функция Хевисайда не обязательно должна быть конечной при x = 0 или даже определяться, если уж на то пошло. Подробнее о значении функции Хевисайда при x = 0 см. раздел «Нулевой аргумент» в статье Ступенчатая функция Хевисайда .

Используя стандартный метод свертки для решения уравнения диффузии с заданной функцией начального значения u ( x , 0), мы имеем

${\displaystyle u(x,\tau )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi \tau }}}}\int _{-\infty }^{\infty }{u_{0}(y)\exp {\left[-{\frac {(x-y)^{2}}{2\sigma ^{2}\tau }}\right]}}dy,}$

что после некоторых манипуляций дает

${\displaystyle u(x,\tau )=Ke^{x+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau }N(d_{+})-KN(d_{-}),}$

где – стандартная нормальная кумулятивная функция распределения и ${\displaystyle N(\cdot )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{+}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[\left(x+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right]\\d_{-}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[\left(x+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right].\end{aligned}}}$

Это те же решения (с точностью до перевода времени), которые были получены Фишером Блэком в 1976 году. ^[6]

Возврат к исходному набору переменных дает указанное выше решение уравнения Блэка – Шоулза. ${\displaystyle u,x,\tau }$

Теперь можно реализовать асимптотическое условие.

${\displaystyle u(x,\,\tau ){\overset {x\rightsquigarrow \infty }{\asymp }}Ke^{x},}$

что дает просто S при возврате к исходным координатам.

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }N(x)=1.}$

Рекомендации

1. Оксендал, Бернт (1998). «Цена опциона». Стохастические дифференциальные уравнения: Введение с приложениями (5-е изд.). Берлин: Шпрингер. стр. 266–283. ISBN 3-540-63720-6.
2. Халл, Джон К. (2008). Опционы, фьючерсы и другие деривативы (7-е изд.). Прентис Холл . ISBN 978-0-13-505283-9.
3. Шрив, Стивен (2004). Стохастическое исчисление в области финансов II (1-е изд.). Спрингер. стр. 268–272. ISBN 0-387-40101-6.
4. Уилмотт, Пол; Хауисон, Сэм; Дьюинн, Джефф (1995). «Методы конечных разностей». Математика финансовых производных . Издательство Кембриджского университета. стр. 135–164. ISBN 0-521-49789-2.
5. Чан, Рэймонд (03 июля 2021 г.), Уравнения Блэка-Шоулза (PDF)
6. См. уравнение (16) у Блэка, Фишера С. (1976). «Ценообразование товарных контрактов». Журнал финансовой экономики . 3 (1–2): 167–179. дои : 10.1016/0304-405X(76)90024-6.