Уравнение Блэка-Шоулза

Уравнение с частными производными в финансовой математике

Поверхностный график стоимости европейского опциона колл с течением времени и цены базовых акций, а также некоторые репрезентативные траектории цены акций. Если цена акций начинается высоко над ценой страйка, то она, скорее всего, окажется выше цены страйка. Если цена акций начинается значительно ниже, то у нее есть небольшой шанс оказаться выше цены страйка. Среднее значение конечной точки траектории точно равно высоте поверхности.

В финансовой математике уравнение Блэка-Шоулза , также называемое уравнением Блэка-Шоулза-Мертона , представляет собой уравнение в частных производных (УЧП), регулирующее динамику цен производных инструментов в рамках модели Блэка-Шоулза . ^[1] В широком смысле этот термин может относиться к аналогичному УЧП, которое может быть выведено для различных опционов или, в более общем смысле, производных инструментов .

Моделирование геометрического броуновского движения с параметрами из рыночных данных

Рассмотрим акцию, не выплачивающую дивиденды. Теперь постройте любой производный инструмент, который имеет фиксированное время погашения в будущем, и при погашении он имеет выплату , которая зависит от значений, принимаемых акцией в этот момент (например, европейские опционы колл или пут). Тогда цена производного инструмента удовлетворяет ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K(S_{T})}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0\\V(T,s)=K(s)\quad \forall s\end{cases}}}$

где — цена опциона как функция цены акций S и времени t , r — безрисковая процентная ставка, а — волатильность акций. ${\displaystyle V(t,S)}$ ${\displaystyle \sigma }$

Ключевое финансовое понимание, лежащее в основе уравнения, заключается в том, что в рамках модельного предположения о беспрепятственном рынке можно идеально хеджировать опцион, покупая и продавая базовый актив правильным образом и, следовательно, «устраняя риск». Это хеджирование, в свою очередь, подразумевает, что существует только одна правильная цена для опциона, как это вычисляется по формуле Блэка-Шоулза .

Финансовая интерпретация

Уравнение имеет конкретную интерпретацию, которая часто используется практиками и является основой для общего вывода, приведенного в следующем подразделе. Уравнение можно переписать в виде:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}=rV-rS{\frac {\partial V}{\partial S}}}$

Левая сторона состоит из термина "временной распад", изменения производной стоимости по отношению ко времени, называемого тета , и термина, включающего вторую пространственную производную гамма , выпуклость производной стоимости по отношению к базовой стоимости. Правая сторона - это безрисковая доходность от длинной позиции в производной и короткой позиции, состоящей из акций базового актива. ${\textstyle {\partial V}/{\partial S}}$

Идея Блэка и Шоулза заключалась в том, что портфель, представленный правой стороной, является безрисковым: таким образом, уравнение говорит, что безрисковая доходность за любой бесконечно малый промежуток времени может быть выражена как сумма тета и члена, включающего гамму. Для опциона тета обычно отрицательна, отражая потерю стоимости из-за меньшего времени для исполнения опциона (для европейского колл-опциона на базовый актив без дивидендов она всегда отрицательна). Гамма обычно положительна, и поэтому член гаммы отражает прибыль от удержания опциона. Уравнение гласит, что за любой бесконечно малый промежуток времени потеря от тета и прибыль от члена гаммы должны компенсировать друг друга, так что результатом будет доходность по безрисковой ставке.

С точки зрения эмитента опциона, например, инвестиционного банка, гамма-термин представляет собой стоимость хеджирования опциона. (Поскольку гамма имеет наибольшее значение, когда спотовая цена базового актива близка к цене исполнения опциона, расходы продавца на хеджирование в этом случае являются наибольшими.)

Вывод

Согласно предположениям модели, приведенным выше, цена базового актива (обычно акции) следует геометрическому броуновскому движению . ^[2] То есть

${\displaystyle dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dW\,}$

где W — стохастическая переменная ( броуновское движение ). Обратите внимание, что W и, следовательно, его бесконечно малое приращение dW представляют собой единственный источник неопределенности в истории цен акций. Интуитивно понятно, что W ( t ) — это процесс , который «колеблется вверх и вниз» таким случайным образом, что его ожидаемое изменение за любой временной интервал равно 0. (Кроме того, его дисперсия за время T равна T ; см. Процесс Винера § Основные свойства ); хорошим дискретным аналогом для W является простое случайное блуждание . Таким образом, приведенное выше уравнение утверждает, что бесконечно малая норма доходности акций имеет ожидаемое значение μ  dt и дисперсию . ${\displaystyle \sigma ^{2}dt}$

Выплата опциона (или любого производного, зависящего от акций S ) при погашении известна. Чтобы найти его значение в более раннее время, нам нужно знать, как развивается как функция и . По лемме Ито для двух переменных имеем ${\displaystyle V(S,T)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle dV=\left(\mu S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)dt+\sigma S{\frac {\partial V}{\partial S}}\,dW}$

Замена дифференциалов на дельты в уравнениях для dS и dV дает:

${\displaystyle \Delta S=\mu S\,\Delta t+\sigma S\,\Delta W\,}$

${\displaystyle \Delta V=\left(\mu S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\Delta t+\sigma S{\frac {\partial V}{\partial S}}\,\Delta W}$

Теперь рассмотрим портфель, состоящий из короткого опциона и длинных акций в момент времени . Стоимость этих активов составляет ${\displaystyle \Pi }$ ${\textstyle {\partial V}/{\partial S}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \Pi =-V+{\frac {\partial V}{\partial S}}S}$

За указанный период общая прибыль или убыток от изменения стоимости активов составляет: ${\displaystyle [t,t+\Delta t]}$

${\displaystyle \Delta \Pi =-\Delta V+{\frac {\partial V}{\partial S}}\,\Delta S}$

Подставим и в выражение для : ${\displaystyle \Delta S}$ ${\displaystyle \Delta V}$ ${\displaystyle \Delta \Pi }$

${\displaystyle \Delta \Pi =\left(-{\frac {\partial V}{\partial t}}-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\Delta t}$

Обратите внимание, что этот термин исчез. Таким образом, неопределенность была устранена, и портфель фактически безрисковый, т.е. дельта-хедж . Норма доходности этого портфеля должна быть равна норме доходности любого другого безрискового инструмента; в противном случае были бы возможности для арбитража. Теперь, предполагая, что безрисковая норма доходности равна мы должны иметь за период времени ${\displaystyle \Delta W}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle [t,t+\Delta t]}$

${\displaystyle \Delta \Pi =r\Pi \,\Delta t}$

Если теперь подставить наши формулы и получим: ${\displaystyle \Delta \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle \left(-{\frac {\partial V}{\partial t}}-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\Delta t=r\left(-V+S{\frac {\partial V}{\partial S}}\right)\Delta t}$

Упрощая, приходим к частному дифференциальному уравнению Блэка–Шоулза:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}=rV}$

При допущениях модели Блэка-Шоулза это уравнение в частных производных второго порядка справедливо для любого типа опциона, если его ценовая функция дважды дифференцируема по и один раз по . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t}$

Альтернативное происхождение

Вот альтернативный вывод, который можно использовать в ситуациях, когда изначально неясно, каким должен быть хеджирующий портфель. (Для справки см. 6.4 Shreve vol II). ^[3]

В модели Блэка-Шоулза, предполагая, что мы выбрали меру вероятности, нейтральную к риску, предполагается, что базовая цена акций S ( t ) развивается как геометрическое броуновское движение:

${\displaystyle {\frac {dS(t)}{S(t)}}=r\ dt+\sigma dW(t)}$

Поскольку это стохастическое дифференциальное уравнение (SDE) показывает, что эволюция цены акций является марковской , любая производная от этого базового значения является функцией времени t и цены акций в текущий момент времени, S ( t ). Тогда применение леммы Ито дает SDE для дисконтированного производного процесса , который должен быть мартингалом. Для того чтобы это выполнялось, член дрейфа должен быть равен нулю, что подразумевает частное уравнение Блэка-Шоулза. ${\displaystyle e^{-rt}V(t,S(t))}$

Этот вывод по сути является применением формулы Фейнмана–Каца и может быть использован всякий раз, когда базовый актив(ы) изменяется в соответствии с заданными уравнениями SDE.

Методы решения

После того, как уравнение Блэка-Шоулза в частных производных с граничными и конечными условиями получено для производной, его можно решить численно, используя стандартные методы численного анализа, такие как метод конечных разностей . ^[4] В некоторых случаях можно найти решение для точной формулы, например, в случае европейского вызова, что было сделано Блэком и Шоулзом.

Решение концептуально простое. Поскольку в модели Блэка–Шоулза базовая цена акций следует геометрическому броуновскому движению, распределение , обусловленное его ценой в момент времени , является логнормальным распределением. Тогда цена производной — это просто дисконтированный ожидаемый выигрыш , который может быть вычислен аналитически, если функция выигрыша поддается аналитическому трактованию, или численно, если нет. ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle S_{T}}$ ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle E[e^{-r(T-t)}K(S_{T})|S_{t}]}$ ${\displaystyle K}$

Чтобы сделать это для опциона колл, напомним, что уравнение в частных производных выше имеет граничные условия ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}C(0,t)&=0{\text{ for all }}t\\C(S,t)&\sim S-Ke^{-r(T-t)}{\text{ as }}S\rightarrow \infty \\C(S,T)&=\max\{S-K,0\}\end{aligned}}}$

Последнее условие дает стоимость опциона на момент его погашения. Возможны и другие условия, когда S стремится к 0 или бесконечности. Например, общие условия, используемые в других ситуациях, — это выбрать дельту, которая исчезает, когда S стремится к 0, и гамму, которая исчезает, когда S стремится к бесконечности; это даст ту же формулу, что и условия выше (в общем случае различные граничные условия дадут различные решения, поэтому следует использовать некоторую финансовую проницательность, чтобы выбрать подходящие условия для конкретной ситуации).

Решение PDE дает значение опциона в любой более ранний момент времени, . Для решения PDE мы признаем, что это уравнение Коши–Эйлера , которое можно преобразовать в уравнение диффузии , введя преобразование замены переменной ${\displaystyle \mathbb {E} \left[\max\{S-K,0\}\right]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau &=T-t\\u&=Ce^{r\tau }\\x&=\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau \end{aligned}}}$

Тогда уравнение Блэка-Шоулза в частных производных становится уравнением диффузии

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

Конечное состояние теперь становится начальным состоянием. ${\displaystyle C(S,T)=\max\{S-K,0\}}$

${\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x):=K(e^{\max\{x,0\}}-1)=K\left(e^{x}-1\right)H(x),}$

где H ( x ) — ступенчатая функция Хевисайда . Функция Хевисайда соответствует обеспечению граничных данных в системе координат S , t , которая требует, когда t = T ,

${\displaystyle C(S,\,T)=0\quad \forall \;S<K,}$

предполагая, что S и K > 0. При таком предположении это эквивалентно функции max по всем x в действительных числах, за исключением x = 0. Равенство выше между функцией max и функцией Хевисайда имеет место в смысле распределений, поскольку оно не выполняется для x = 0. Хотя это и тонко, это важно, поскольку функция Хевисайда не обязательно должна быть конечной при x = 0 или даже определена для этого. Подробнее о значении функции Хевисайда при x = 0 см. раздел «Нулевой аргумент» в статье Ступенчатая функция Хевисайда .

Используя стандартный метод свертки для решения уравнения диффузии с заданной начальной функцией значения u ( x , 0), имеем

${\displaystyle u(x,\tau )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi \tau }}}}\int _{-\infty }^{\infty }{u_{0}(y)\exp {\left[-{\frac {(x-y)^{2}}{2\sigma ^{2}\tau }}\right]}}dy,}$

что после некоторых манипуляций дает

${\displaystyle u(x,\tau )=Ke^{x+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau }N(d_{+})-KN(d_{-}),}$

где — стандартная нормальная кумулятивная функция распределения и ${\displaystyle N(\cdot )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{+}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[\left(x+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right]\\d_{-}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[\left(x+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right].\end{aligned}}}$

Это те же самые решения (до момента перевода), которые были получены Фишером Блэком в 1976 году. ^[6]

Возвращаясь к исходному набору переменных, получаем указанное выше решение уравнения Блэка–Шоулза. ${\displaystyle u,x,\tau }$

Асимптотическое условие теперь может быть реализовано.

${\displaystyle u(x,\,\tau ){\overset {x\rightsquigarrow \infty }{\asymp }}Ke^{x},}$

что дает просто S при возврате к исходным координатам.

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }N(x)=1.}$

Ссылки

1. Оксендаль, Бернт (1998). «Оценивание опционов». Стохастические дифференциальные уравнения: Введение с приложениями (5-е изд.). Берлин: Springer. С. 266–283. ISBN 3-540-63720-6.
2. Халл, Джон К. (2008). Опционы, фьючерсы и другие производные инструменты (7-е изд.). Prentice Hall . стр. 287–288. ISBN 978-0-13-505283-9.
3. Шрив, Стивен (2004). Стохастическое исчисление в финансах II (1-е изд.). Springer. С. 268–272. ISBN 0-387-40101-6.
4. Уилмотт, Пол; Хоуисон, Сэм; Дьюинн, Джефф (1995). «Методы конечных разностей». Математика финансовых производных . Cambridge University Press. С. 135–164. ISBN 0-521-49789-2.
5. Чан, Рэймонд (2021-07-03), Уравнения Блэка-Шоулза (PDF)
6. См. уравнение (16) в Black, Fischer S. (1976). «Ценообразование товарных контрактов». Journal of Financial Economics . 3 (1–2): 167–179. doi :10.1016/0304-405X(76)90024-6.