Уравнения движения поршня

Возвратно -поступательное движение поршня без смещения , соединенного с вращающимся кривошипом через шатун (как это происходит в двигателях внутреннего сгорания ), может быть выражено уравнениями движения . В этой статье показано, как эти уравнения движения могут быть получены с помощью исчисления в зависимости от угла ( угловая область ) и времени ( временная область ) .

Геометрия коленчатого вала

Геометрия системы, состоящей из поршня, штока и кривошипа, представлена ​​на следующей схеме:

Схема, показывающая геометрическое расположение поршневого пальца, шатунного пальца и центра кривошипа.

Определения

Из геометрии, показанной на диаграмме выше, определены следующие переменные:

${\displaystyle l}$ длина штока (расстояние между поршневым пальцем и шатунным пальцем )

${\displaystyle r}$ радиус кривошипа (расстояние между центром кривошипа и шатунным пальцем, т.е. половина хода )

${\displaystyle A}$Угол поворота коленчатого вала (от осевой линии цилиндра в ВМТ )

${\displaystyle x}$положение поршневого пальца (расстояние вверх от центра кривошипа вдоль осевой линии отверстия цилиндра)

Также определены следующие переменные:

${\displaystyle v}$Скорость поршневого пальца (вверх от центра кривошипа вдоль осевой линии отверстия цилиндра)

${\displaystyle a}$ускорение поршневого пальца (вверх от центра кривошипа вдоль осевой линии отверстия цилиндра)

${\displaystyle \omega }$Угловая скорость кривошипа (в том же направлении/в том же направлении, что и угол кривошипа ) ${\displaystyle A}$

Угловая скорость

Частота ( Гц ) вращения коленчатого вала связана со скоростью двигателя ( оборотов в минуту ) следующим образом:

${\displaystyle \nu ={\frac {\mathrm {RPM} }{60}}}$

Итак, угловая скорость ( радиан /с) коленчатого вала равна:

${\displaystyle \omega =2\pi \cdot \nu =2\pi \cdot {\frac {\mathrm {RPM} }{60}}}$

Отношение треугольника

Как показано на рисунке, шатунный палец , центр кривошипа и поршневой палец образуют треугольник NOP.
По закону косинуса видно, что:

${\displaystyle l^{2}=r^{2}+x^{2}-2\cdot r\cdot x\cdot \cos A}$

где и постоянны и изменяются по мере изменения. ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$

Уравнения относительно углового положения (угол домен)

Уравнения угловой области выражаются как функции угла.

Вывод уравнений угловой области

Уравнения возвратно-поступательного движения поршня в угловой области выводятся из уравнений геометрии системы следующим образом.

Позиция (геометрия)

Положение относительно угла кривошипа (из отношения треугольника, завершения квадрата , использования тождества Пифагора и перестановки):

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}l^{2}=r^{2}+x^{2}-2\cdot r\cdot x\cdot \cos A\\l^{2}-r^{2}=(x-r\cdot \cos A)^{2}-r^{2}\cdot \cos ^{2}A\\l^{2}-r^{2}+r^{2}\cdot \cos ^{2}A=(x-r\cdot \cos A)^{2}\\l^{2}-r^{2}\cdot (1-\cos ^{2}A)=(x-r\cdot \cos A)^{2}\\l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A=(x-r\cdot \cos A)^{2}\\x=r\cdot \cos A+{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}\\\end{array}}}$

Скорость

Скорость относительно угла поворота коленчатого вала (взять первую производную , используя цепное правило ):

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x'&=&{\frac {dx}{dA}}\\&=&-r\cdot \sin A+{\frac {({\frac {1}{2}})\cdot (-2)\cdot r^{2}\cdot \sin A\cdot \cos A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}\\&=&-r\cdot \sin A-{\frac {r^{2}\cdot \sin A\cdot \cos A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}\\\end{array}}}$

Ускорение

Ускорение относительно угла поворота коленчатого вала (взять вторую производную , используя цепное правило и правило частного ):

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x''&=&{\frac {d^{2}x}{dA^{2}}}\\&=&-r\cdot \cos A-{\frac {r^{2}\cdot \cos ^{2}A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}-{\frac {-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}-{\frac {r^{2}\cdot \sin A\cdot \cos A\cdot \left(-{\frac {1}{2}}\right)\cdot (-2)\cdot r^{2}\cdot \sin A\cdot \cos A}{\left({\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}\right)^{3}}}\\&=&-r\cdot \cos A-{\frac {r^{2}\cdot \left(\cos ^{2}A-\sin ^{2}A\right)}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}-{\frac {r^{4}\cdot \sin ^{2}A\cdot \cos ^{2}A}{\left({\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}\right)^{3}}}\\\end{array}}}$

Непростое гармоническое движение

Приведенные выше уравнения угловой области показывают, что движение поршня (соединенного со штоком и кривошипом) не является простым гармоническим движением , а модифицируется движением штока, когда он качается вместе с вращением кривошипа. В этом отличие от кулисного механизма , который непосредственно создает простое гармоническое движение.

Примеры графиков

Примеры графиков уравнений угловой области показаны ниже.

Уравнения относительно времени (область времени)

Уравнения во временной области выражаются как функции времени.

Производные угловой скорости

Угол связан со временем угловой скоростью следующим образом: ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle A=\omega t\,}$

Если угловая скорость постоянна, то: ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=\omega }$

и:

${\displaystyle {\frac {d^{2}A}{dt^{2}}}=0}$

Вывод уравнений во временной области

Уравнения возвратно-поступательного движения поршня во временной области выводятся из уравнений угловой области следующим образом.

Позиция

Позиция относительно времени проста:

${\displaystyle x\,}$

Скорость

Скорость относительно времени (с использованием цепного правила ):

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}v&=&{\frac {dx}{dt}}\\&=&{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {dA}{dt}}\\&=&{\frac {dx}{dA}}\cdot \ \omega \\&=&x'\cdot \omega \\\end{array}}}$

Ускорение

Ускорение по времени (с использованием цепного правила и правила произведения , а также производных угловой скорости ):

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}a&=&{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\\&=&{\frac {d}{dt}}{\frac {dx}{dt}}\\&=&{\frac {d}{dt}}({\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {dA}{dt}})\\&=&{\frac {d}{dt}}({\frac {dx}{dA}})\cdot {\frac {dA}{dt}}+{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {d}{dt}}({\frac {dA}{dt}})\\&=&{\frac {d}{dA}}({\frac {dx}{dA}})\cdot ({\frac {dA}{dt}})^{2}+{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {d^{2}A}{dt^{2}}}\\&=&{\frac {d^{2}x}{dA^{2}}}\cdot ({\frac {dA}{dt}})^{2}+{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {d^{2}A}{dt^{2}}}\\&=&{\frac {d^{2}x}{dA^{2}}}\cdot \omega ^{2}+{\frac {dx}{dA}}\cdot 0\\&=&x''\cdot \omega ^{2}\\\end{array}}}$

Масштабирование угловой скорости

Из вышесказанного можно видеть, что уравнения во временной области представляют собой просто масштабированные формы уравнений угловой области: немасштабированы, масштабируются на ω и масштабируются на ω² . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle x''}$

Чтобы преобразовать уравнения угловой области во временную область, сначала замените A на ωt , а затем масштабируйте угловую скорость следующим образом: умножьте на ω и умножьте на ω² . ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle x''}$

Максимумы и минимумы скорости

По определению, максимумы и минимумы скорости возникают в нулевых точках ускорения (пересечении горизонтальной оси) .

Угол поворота коленвала не прямой

Максимумы и минимумы скорости (см. переходы нулевого значения ускорения на графиках ниже) зависят от длины штока и полухода и не возникают, когда угол поворота кривошипа прямой. ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$

Угол шатуна кривошипа не прямой

Максимумы и минимумы скорости не обязательно возникают , когда кривошип образует прямой угол со стержнем. Существуют контрпримеры, опровергающие утверждение «максимумы и минимумы скорости возникают только тогда, когда угол шатуна кривошипа прямой» .

Пример

Для длины стержня 6 дюймов и радиуса кривошипа 2 дюйма (как показано на примере графика ниже) численное решение пересечений нуля ускорением обнаруживает, что максимумы/минимумы скорости находятся при углах кривошипа ±73,17615°. Затем, используя закон синусов треугольника , определяют, что вертикальный угол стержня равен 18,60647°, а угол кривошипа-шатуна равен 88,21738°. Очевидно, что в этом примере угол между кривошипом и стержнем не является прямым. Сложив углы треугольника 88,21738° + 18,60647° + 73,17615°, получим 180,00000°. Достаточно одного контрпримера, чтобы опровергнуть утверждение : «Максимумы/минимумы скорости возникают, когда кривошип образует прямой угол со стержнем» .

Примеры графиков движения поршня

Графы угловых областей

На графиках ниже показаны уравнения угловой области для постоянной длины стержня (6,0 дюйма) и различных значений полухода (1,8 дюйма, 2,0 дюйма), 2,2 дюйма. Обратите внимание на графиках, что L — длина штока , а R — половина хода. . ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle r}$

Единицы вертикальной оси — дюймы для положения, [дюймы/рад] для скорости, [дюймы/рад²] для ускорения.
Единицы горизонтальной оси — это градусы угла поворота коленвала .

Анимация

Ниже представлена ​​анимация уравнений движения поршня с теми же значениями длины штока и радиуса кривошипа, что и на графиках выше.

Анимация движения поршня с различными полуходами, как показано на графике выше (с использованием того же цветового кода)

Удобные единицы

Обратите внимание, что для автомобильной промышленности / автомобилей наиболее удобной (используемой энтузиастами) единицей длины для геометрии поршневой шток-кривошип является дюйм , при этом типичные размеры составляют длину штока 6 дюймов (дюйма) и длину штока 2 дюйма (дюйма). радиус кривошипа. В этой статье для обозначения положения, скорости и ускорения используются единицы дюймов («»), как показано на графиках выше.

Смотрите также

• Шатун
• Коленчатый вал
• Уравнения движения
• Двигатель внутреннего сгорания
• Законы движения Ньютона
• Поршень
• Поршневой двигатель
• Кокетка
• Простые гармонические колебания
• Слайдер-кривошип

Рекомендации

• Хейвуд, Джон Бенджамин (1988). Основы двигателей внутреннего сгорания (1-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 978-0070286375.
• Тейлор, Чарльз Фейетт (1985). Двигатель внутреннего сгорания в теории и практике, Том 1 и 2 (2-е изд.). МТИ Пресс. ISBN 978-0262700269.
• «Основы движения поршня @ epi-eng.com».

Внешние ссылки

• анимированные двигатели Анимированный двигатель Отто
• Desmos Interactive Stroke против положения штока-поршня и производных
• Desmos Интерактивная анимация Crank
• codecogs Скорость и ускорение поршня
• YouTube Вращающийся двигатель SBC 350
• YouTube 3D-анимация двигателя V8
• YouTube Внутри двигателя V8