Уравнения Лауэ

Уравнения, описывающие дифракцию в кристаллической решетке

уравнение Лауэ

В кристаллографии и физике твердого тела уравнения Лауэ связывают приходящие и уходящие волны в процессе упругого рассеяния , когда энергия фотона или временная частота света не изменяются при рассеянии на кристаллической решетке . Они названы в честь физика Макса фон Лауэ (1879–1960).

Уравнения Лауэ можно записать в виде условия рассеяния упругих волн кристаллической решеткой, где – вектор рассеяния , , – входящие и выходящие волновые векторы (к кристаллу и из кристалла, путем рассеяния), – кристаллическая обратная величина вектор решетки . Из-за упругого рассеяния три вектора. , , и , образуют ромб, если уравнение удовлетворяется. Если рассеяние удовлетворяет этому уравнению, все точки кристаллической решетки рассеивают пришедшую волну в направлении рассеяния (направлении вдоль ). Если уравнение не выполняется, то при любом направлении рассеяния только некоторые точки решетки рассеивают пришедшую волну. (Эта физическая интерпретация уравнения основана на предположении, что рассеяние в точке решетки происходит таким образом, что волна рассеяния и набегающая волна имеют одинаковую фазу в этой точке.) Это также можно рассматривать как сохранение импульса as поскольку — волновой вектор плоской волны, связанной с параллельными плоскостями кристаллической решетки. (Волновые фронты плоской волны совпадают с этими плоскостями решетки.) ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} =\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }=\mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle |\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|^{2}=|\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle -\mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle \hbar \mathbf {k} _{\mathrm {out} }=\hbar \mathbf {k} _{\mathrm {in} }+\hbar \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$

Уравнения эквивалентны закону Брэгга ; Уравнения Лауэ являются векторными уравнениями, а закон Брэгга имеет форму, которую легче решить, но они имеют одно и то же содержание.

Уравнения Лауэ

Позвольте быть примитивными векторами трансляции (коротко называемыми примитивными векторами) кристаллической решетки , где атомы расположены в точках решетки, описываемых с помощью , , и как любые целые числа . (Таким образом , каждая точка решетки представляет собой целочисленную линейную комбинацию примитивных векторов.) ${\displaystyle \mathbf {a} \,,\mathbf {b} \,,\mathbf {c} }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Пусть – волновой вектор входящего (падающего) луча или волны в сторону кристаллической решетки , и пусть – волновой вектор выходящего (дифрагировавшего) луча или волны от . Тогда вектор , называемый вектором рассеяния или переданным волновым вектором , измеряет разницу между входящим и исходящим волновыми векторами. ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }=\mathbf {\Delta k} }$

Три условия, которым должен удовлетворять вектор рассеяния, называемые уравнениями Лауэ , следующие: ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} }$

${\displaystyle \mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {a} =2\pi h}$

${\displaystyle \mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {b} =2\pi k}$

${\displaystyle \mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {c} =2\pi l}$

где числа являются целыми числами . Каждый выбор целых чисел , называемых индексами Миллера , определяет вектор рассеяния . Следовательно, существует бесконечно много векторов рассеяния, удовлетворяющих уравнениям Лауэ, поскольку существует бесконечно много вариантов индексов Миллера . Разрешенные векторы рассеяния образуют решетку , называемую обратной решеткой кристаллической решетки , поскольку каждый указывает на точку . (В этом смысл уравнений Лауэ, как показано ниже.) Это условие позволяет одному падающему лучу дифрагировать в бесконечно многих направлениях. Однако пучки, соответствующие высоким индексам Миллера, очень слабы и не наблюдаются. Этих уравнений достаточно, чтобы найти основу обратной решетки (поскольку каждое наблюдаемое указывает на точку обратной решетки кристалла, подлежащую измерению), из которой можно определить кристаллическую решетку. Это принцип рентгеновской кристаллографии . ${\displaystyle h,k,l}$ ${\displaystyle (h,k,l)}$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} }$ ${\displaystyle (h,k,l)}$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} }$ ${\displaystyle L^{*}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} }$ ${\displaystyle L^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} }$

Математический вывод

Для падающей на кристалл плоской волны с одной частотой (и угловой частотой ) дифрагированные волны от кристалла можно рассматривать как сумму исходящих плоских волн из кристалла. (На самом деле любую волну можно представить как сумму плоских волн, см. Оптику Фурье .) Падающая волна и одна из плоских волн дифрагированной волны представляются как ${\displaystyle \displaystyle f}$ ${\displaystyle \displaystyle \omega =2\pi f}$

${\displaystyle \displaystyle f_{\mathrm {in} }(t,\mathbf {x} )=A_{\mathrm {in} }\cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {in} }),}$

${\displaystyle \displaystyle f_{\mathrm {out} }(t,\mathbf {x} )=A_{\mathrm {out} }\cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {out} }),}$

где и — волновые векторы для падающих и уходящих плоских волн, — вектор положения , — скаляр , представляющий время, и — начальные фазы волн. Для простоты здесь в качестве скаляров мы принимаем волны , хотя основной случай, представляющий интерес, — это электромагнитное поле, которое является вектором . Мы можем рассматривать эти скалярные волны как компоненты векторных волн вдоль определенной оси ( ось x , y или z ) декартовой системы координат . ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \displaystyle t}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathrm {out} }}$

Падающие и дифрагированные волны распространяются в пространстве независимо, за исключением точек решетки кристалла, где они резонируют с осцилляторами, поэтому фазы этих волн должны совпадать. ^[1] В каждой точке решетки имеем ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c} }$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {in} })=\cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {out} }),}$

или, что то же самое, мы должны иметь

${\displaystyle \omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {in} }=\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {out} }+2\pi n,}$

для некоторого целого числа , которое зависит от точки . Поскольку это уравнение выполняется при , при некотором целом числе . Так ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =0}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathrm {in} }=\varphi _{\mathrm {out} }+2\pi n'}$ ${\displaystyle n'}$

${\displaystyle \omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {x} =\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {x} +2\pi n.}$

(Мы по-прежнему используем вместо, поскольку оба обозначения по сути обозначают некоторое целое число.) Переставляя термины, мы получаем ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-n')}$

${\displaystyle \mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {x} =(\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} })\cdot \mathbf {x} =2\pi n.}$

Теперь достаточно проверить, что это условие выполняется на примитивных векторах (именно это и говорят уравнения Лауэ), поскольку в любой точке решетки имеем ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c} }$

${\displaystyle \mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {x} =\mathbf {\Delta k} \cdot (p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c} )=p(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {a} )+q(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {b} )+r(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {c} )=p\,(2\pi h)+q\,(2\pi k)+r\,(2\pi l)=2\pi (ph+qk+rl)=2\pi n,}$

где целое число . Утверждение о том, что каждая скобка, например , должна быть кратной (то есть каждому уравнению Лауэ), оправдано, поскольку в противном случае оно не выполняется для любых произвольных целых чисел . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ph+qk+rl}$ ${\displaystyle (\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {a} )}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle p(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {a} )+q(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {b} )+r(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {c} )=2\pi n}$ ${\displaystyle p,q,r}$

Это обеспечивает то, что при выполнении уравнений Лауэ приходящая и уходящая (дифрагированная) волна имеет одинаковую фазу в каждой точке кристаллической решетки, поэтому колебания атомов кристалла, следующие за приходящей волной, могут одновременно время генерирует исходящую волну в той же фазе, что и приходящая волна.

Связь с обратными решетками и законом Брэгга.

Если с , , в качестве целых чисел представляет обратную решетку для кристаллической решетки (определяемой ) в реальном пространстве, мы знаем, что с целым числом из-за известной ортогональности между примитивными векторами для обратной решетки и векторами для кристаллической решетки. (Мы используем физическое, а не кристаллографическое определение векторов обратной решетки, которое дает коэффициент .) Но заметьте, что это не что иное, как уравнения Лауэ. Следовательно, мы определяем , означает, что разрешенные векторы рассеяния равны векторам обратной решетки кристалла при дифракции, и в этом смысл уравнений Лауэ. Этот факт иногда называют условием Лауэ . В этом смысле дифрактограммы представляют собой способ экспериментального измерения обратной решетки кристаллической решетки. ${\displaystyle \mathbf {G} =h\mathbf {A} +k\mathbf {B} +l\mathbf {C} }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {x} =\mathbf {G} \cdot (p\mathbf {a} +q\mathbf {b} +r\mathbf {c} )=2\pi (hp+kq+lr)=2\pi n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} =\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }=\mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} =\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$

Условие Лауэ можно переписать следующим образом. ^[2]

 ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {G} &=\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\\\rightarrow |\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}&=|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {G} |^{2}\\\rightarrow |\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}&=|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|^{2}-2\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} +|\mathbf {G} |^{2}.\end{aligned}}}$

Применяя условие упругого рассеяния (Другими словами, приходящая и дифрагированная волны имеют одинаковую (временную) частоту. Мы также можем сказать, что энергия на фотон не меняется.) ${\displaystyle |\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|^{2}=|\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}}$

К приведенному выше уравнению получаем

${\displaystyle 2\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} =|\mathbf {G} |^{2},}$

${\displaystyle 2{{\mathbf {k} }_{\text{in}}}\cdot (-\mathbf {G} )=|\mathbf {G} {{|}^{2}}.}$

Второе уравнение получается из первого уравнения с помощью . ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }=\mathbf {G} }$

Результатом (также ) является уравнение плоскости ( как множество всех точек, указанных в результате удовлетворения этого уравнения), поскольку его эквивалентное уравнение является уравнением плоскости в геометрии. Другое эквивалентное уравнение, которое, возможно, будет легче понять: (также ). Это указывает на плоскость, которая перпендикулярна прямой линии между началом обратной решетки и расположена в середине линии. Такая плоскость называется плоскостью Брэгга. ^[3] Эту плоскость можно понять, поскольку происходит рассеяние. (Это условие Лауэ, эквивалентное уравнениям Лауэ.) И упругое рассеяние предполагалось таким образом , , и образует ромб . Каждый из них по определению является волновым вектором плоской волны в ряду Фурье пространственной функции, периодичность которой соответствует кристаллической решетке (например, функция, представляющая электронную плотность кристалла), волновые фронты каждой плоской волны в ряду Фурье перпендикулярны волновой вектор плоской волны , и эти волновые фронты совпадают с параллельными плоскостями кристаллической решетки. Это означает, что рентгеновские лучи, по-видимому, «отражаются» от параллельных плоскостей кристаллической решетки, перпендикулярных под тем же углом, что и угол их подхода к кристаллу по отношению к плоскостям решетки; При упругом рассеянии света ( обычно рентгеновских лучей ) на кристалле параллельные плоскости кристаллической решетки, перпендикулярные вектору обратной решетки для кристаллической решетки, играют роль параллельных зеркал для света, который вместе с , входящим (к кристаллу) и выходящим (из кристалла) кристалле путем рассеяния) волновые векторы образуют ромб. ${\displaystyle 2\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} =|\mathbf {G} |^{2}}$ ${\displaystyle 2{{\mathbf {k} }_{\text{in}}}\cdot (-\mathbf {G} )=|\mathbf {G} {{|}^{2}}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle \mathbf {G} \cdot (2{{\mathbf {k} }_{\text{out}}}-\mathbf {G} )=0}$ ${\displaystyle {{\mathbf {k} }_{\text{out}}}\cdot {\widehat {\mathbf {G} }}={\frac {1}{2}}\left|\mathbf {G} \right|}$ ${\displaystyle (-{{\mathbf {k} }_{\text{in}}})\cdot {\widehat {\mathbf {G} }}={\frac {1}{2}}\left|\mathbf {G} \right|}$ ${\displaystyle \mathbf {G} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle |\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|^{2}=|\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle -\mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$

Поскольку угол между и равен , (Из-за зеркального рассеяния угол между и также равен .) . Напомним, где это длина волны света (обычно рентгеновского излучения), а расстояние между соседними параллельными плоскостями кристаллической решетки и целое число. С их помощью мы теперь выводим закон Брэгга , который эквивалентен уравнениям Лауэ (также называемым условием Лауэ): ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \pi /2-\theta }$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \pi /2-\theta }$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} =|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }||\mathbf {G} |\sin \theta }$ ${\displaystyle |\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|=2\pi /\lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle |\mathbf {G} |={\frac {2\pi }{d}}n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} =|\mathbf {G} |^{2}\\2|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }||\mathbf {G} |\sin \theta =|\mathbf {G} |^{2}\\2(2\pi /\lambda )(2\pi n/d)\sin \theta =(2\pi n/d)^{2}\\2d\sin \theta =n\lambda .\end{aligned}}}$

Рекомендации

• Киттель, К. (1976). Введение в физику твердого тела , Нью-Йорк: John Wiley & Sons. ISBN  0-471-49024-5

Примечания

1. Более реалистично, что осцилляторы решетки должны отставать от приходящей волны, а исходящая волна должна отставать от осциллятора. Но поскольку запаздывание одинаково во всех точках решетки, единственным эффектом этой поправки будет глобальный сдвиг фазы выходящей волны, который мы не принимаем во внимание.
2. Чайкин, ПМ; Лубенский Т.С. Основы физики конденсированного состояния . п. 47. ИСБН 0521794501.
3. Эшкрофт, Нил; Мермин, Натаниэль (1976). Физика твердого тела . Издательство Колледжа Сондерса. п. 99. ИСБН 0030839939.