закон Брэгга

Физический закон, касающийся углов рассеяния излучения через среду

Во многих областях науки закон Брэгга , условие Вульфа -Брэгга или интерференция Лауэ-Брэгга являются частным случаем дифракции Лауэ , определяющим углы когерентного рассеяния волн от большой кристаллической решетки. Он описывает, как суперпозиция волновых фронтов, рассеянных плоскостями решетки, приводит к строгой связи между длиной волны и углом рассеяния. Этот закон был первоначально сформулирован для рентгеновских лучей, но он также применим ко всем типам волн материи, включая нейтронные и электронные волны, если имеется большое количество атомов, а также видимый свет с искусственными периодическими микромасштабными решетками.

История

Рентгеновские лучи взаимодействуют с атомами в кристалле .

Дифракция Брэгга (также называемая формулировкой Брэгга рентгеновской дифракции ) была впервые предложена Лоуренсом Брэггом и его отцом Уильямом Генри Брэггом в 1913 году ^[1] после того, как они обнаружили, что кристаллические твердые тела создают удивительные узоры отраженных рентгеновских лучей (в отличие от тех, которые создаются, например, жидкостью). Они обнаружили, что эти кристаллы при определенных длинах волн и углах падения создают интенсивные пики отраженного излучения.

В зависимости от отклонения 2 θ сдвиг фаз вызывает конструктивные (левый рисунок) или деструктивные (правый рисунок) помехи.

Лоуренс Брэгг объяснил этот результат, смоделировав кристалл как набор дискретных параллельных плоскостей, разделенных постоянным параметром d . Он предположил, что падающее рентгеновское излучение будет создавать пик Брэгга, если отражения от различных плоскостей интерферируют конструктивно. Интерференция конструктивна, когда разность фаз между волной, отраженной от различных атомных плоскостей, кратна 2 π ; это условие (см. раздел «Условие Брэгга» ниже) было впервые представлено Лоуренсом Брэггом 11 ноября 1912 года Кембриджскому философскому обществу . ^[2] Несмотря на простоту, закон Брэгга подтвердил существование реальных частиц в атомном масштабе, а также предоставил мощный новый инструмент для изучения кристаллов . Лоуренс Брэгг и его отец, Уильям Генри Брэгг, были удостоены Нобелевской премии по физике в 1915 году за свою работу по определению кристаллических структур, начиная с NaCl , ZnS и алмаза . ^[3] Они являются единственной командой отца и сына, которая совместно победила.

Концепция дифракции Брэгга в равной степени применима к дифракции нейтронов ^[4] и приблизительно к дифракции электронов . ^[5] В обоих случаях длины волн сопоставимы с межатомными расстояниями (~ 150 пм). Было показано, что многие другие типы материальных волн также дифрагируют, ^{[6] [7]} а также свет от объектов с более крупной упорядоченной структурой, таких как опалы . ^[8]

условие Брэгга

Дифракция Брэгга ^{[9] : 16} Два луча с одинаковой длиной волны и фазой приближаются к кристаллическому твердому телу и рассеиваются двумя различными атомами внутри него. Нижний луч проходит дополнительную длину 2 d sin θ . Конструктивная интерференция происходит, когда эта длина равна целому кратному длины волны излучения.

Дифракция Брэгга происходит, когда излучение с длиной волны λ, сравнимой с атомными расстояниями, рассеивается зеркальным образом ( зеркальное отражение) плоскостями атомов в кристаллическом материале и подвергается конструктивной интерференции. ^[10] Когда рассеянные волны падают под определенным углом, они остаются в фазе и конструктивно интерферируют . Угол скольжения θ (см. рисунок справа, и обратите внимание, что это отличается от соглашения в законе Снеллиуса , где θ измеряется от нормали к поверхности), длина волны λ и «постоянная решетки» d кристалла связаны соотношением: ^{[11] : 1026,} где — порядок дифракции ( — первый порядок, — второй порядок, ^{[10] : 221} — третий порядок ^{[11] : 1028} ). Это уравнение, закон Брэгга, описывает условие на θ для конструктивной интерференции. ^[12] $${\displaystyle n\lambda =2d\sin \theta }$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n=3}$

Карта интенсивностей рассеянных волн в зависимости от их угла называется дифракционной картиной. Сильные интенсивности, известные как пики Брэгга, получаются в дифракционной картине, когда углы рассеяния удовлетворяют условию Брэгга. Это особый случай более общих уравнений Лауэ , и можно показать, что уравнения Лауэ сводятся к условию Брэгга с дополнительными предположениями. ^[13]

Эвристический вывод

Предположим, что плоская волна (любого типа) падает на плоскости узлов решетки с разделением , под углом, как показано на рисунке. Точки A и C находятся на одной плоскости, а B — на плоскости ниже. Точки ABCC' образуют четырехугольник . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \theta }$

Будет разница в пути между лучом , который отражается вдоль AC' , и лучом, который передается вдоль AB , а затем отражается вдоль BC . Эта разница в пути равна $${\displaystyle (AB+BC)-\left(AC'\right)\,.}$$

Две отдельные волны придут в точку (бесконечно далекую от этих плоскостей решетки) с одинаковой фазой и, следовательно, подвергнутся конструктивной интерференции , тогда и только тогда, когда эта разность хода равна любому целому значению длины волны , т.е. $${\displaystyle n\lambda =(AB+BC)-\left(AC'\right)}$$

где и — целое число и длина волны падающей волны соответственно. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda }$

Поэтому из геометрии $${\displaystyle AB=BC={\frac {d}{\sin \theta }}{\text{ and }}AC={\frac {2d}{\tan \theta }}\,,}$$

из чего следует, что $${\displaystyle AC'=AC\cdot \cos \theta ={\frac {2d}{\tan \theta }}\cos \theta =\left({\frac {2d}{\sin \theta }}\cos \theta \right)\cos \theta ={\frac {2d}{\sin \theta }}\cos ^{2}\theta \,.}$$

Собирая все вместе, $${\displaystyle n\lambda ={\frac {2d}{\sin \theta }}-{\frac {2d}{\sin \theta }}\cos ^{2}\theta ={\frac {2d}{\sin \theta }}\left(1-\cos ^{2}\theta \right)={\frac {2d}{\sin \theta }}\sin ^{2}\theta }$$

что упрощается до закона Брэгга, показанного выше. ${\displaystyle n\lambda =2d\sin \theta \,,}$

Если бы дифрагировали только две плоскости атомов, как показано на рисунке, то переход от конструктивной к деструктивной интерференции был бы постепенным в зависимости от угла, с пологими максимумами на углах Брэгга. Однако, поскольку в большинстве реальных материалов участвует много атомных плоскостей, типичны острые пики. ^{[5] [13]}

Доступен строгий вывод из более общих уравнений Лауэ (см. страницу: Уравнения Лауэ ).

За пределами закона Брэгга

Типичная картина дифракции электронов в выбранной области. Каждое пятно соответствует разному направлению дифракции.

Условие Брэгга справедливо для очень больших кристаллов. Поскольку рассеяние рентгеновских лучей и нейтронов относительно слабое, во многих случаях используются довольно большие кристаллы с размерами 100 нм и более. Хотя могут быть дополнительные эффекты из-за дефектов кристалла , они часто довольно малы. Напротив, электроны взаимодействуют с твердыми телами в тысячи раз сильнее, чем рентгеновские лучи, ^[5] и также теряют энергию ( неупругое рассеяние ). ^[14] Поэтому образцы, используемые в просвечивающей электронной дифракции, намного тоньше. Типичные дифракционные картины, например, рисунок, показывают пятна для разных направлений ( плоские волны ) электронов, покидающих кристалл. Углы, которые предсказывает закон Брэгга, все еще приблизительно правильные, но в целом существует решетка пятен, которые близки к проекциям обратной решетки , которая находится под прямым углом к ​​направлению электронного пучка. (В отличие от этого, закон Брэгга предсказывает, что будет присутствовать только один или, возможно, два, а не одновременно десятки или сотни.) При дифракции низкоэнергетических электронов , где энергия электронов обычно составляет 30-1000 электрон-вольт , результат аналогичен электронам, отраженным от поверхности. ^[15] Также похожа дифракция высокоэнергетических электронов отражения , которая обычно приводит к кольцам дифракционных пятен. ^[16]

В рентгеновских лучах эффект наличия мелких кристаллов описывается уравнением Шеррера . ^{[13] [17] [18]} Это приводит к расширению пиков Брэгга, которые можно использовать для оценки размера кристаллов.

Брэгговское рассеяние видимого света коллоидами

Коллоидный кристалл представляет собой высокоупорядоченный массив частиц, который формируется на большом расстоянии (от нескольких миллиметров до одного сантиметра в длину); коллоидные кристаллы имеют внешний вид и свойства, примерно аналогичные их атомным или молекулярным аналогам. ^[8] На протяжении многих лет было известно, что из-за отталкивающих кулоновских взаимодействий электрически заряженные макромолекулы в водной среде могут проявлять дальнодействующие кристаллоподобные корреляции, при этом расстояния между частицами часто значительно больше диаметра отдельной частицы. Периодические массивы сферических частиц приводят к образованию интерстициальных пустот (пространств между частицами), которые действуют как естественная дифракционная решетка для видимых световых волн , когда междоузлие имеет тот же порядок величины, что и падающая световая волна. ^{[19] [20] [21]} В этих случаях блестящая иризация (или игра цветов) приписывается дифракции и конструктивной интерференции видимых световых волн в соответствии с законом Брэгга, в материи, аналогичной рассеянию рентгеновских лучей в кристаллическом твердом теле. Эффекты возникают на видимых длинах волн, поскольку межплоскостное расстояние d намного больше, чем у настоящих кристаллов. Благородный опал является одним из примеров коллоидного кристалла с оптическими эффектами.

Объемные брэгговские решетки

Объемные брэгговские решетки (VBG) или объемные голографические решетки (VHG) состоят из объема, в котором происходит периодическое изменение показателя преломления . В зависимости от ориентации модуляции показателя преломления VBG может использоваться либо для передачи , либо для отражения небольшой полосы длин волн . ^[22] Закон Брэгга (адаптированный для объемной голограммы) определяет, какая длина волны будет дифрагирована: ^[23]

$${\displaystyle 2\Lambda \sin(\theta +\varphi )=m\lambda _{B}\,,}$$

где m — порядок Брэгга (положительное целое число), λ _{B —} дифрагированная длина волны , Λ — расстояние между полосами решетки, θ — угол между падающим лучом и нормалью ( N ) входной поверхности и φ — угол между нормалью и вектором решетки ( KG ). Излучение, которое не соответствует закону Брэгга, пройдет через VBG недифрагированным. Выходную длину волны можно настроить на несколько сотен нанометров, изменяя угол падения ( θ ). VBG используются для создания широко настраиваемых лазерных источников или для выполнения глобальной _{гиперспектральной} съемки (см. Фотон и т. д. ). ^[23]

Правила отбора и практическая кристаллография

Измерение углов может быть использовано для определения кристаллической структуры, более подробную информацию см. в разделе рентгеновская кристаллография . ^{[5] [13]} В качестве простого примера, закон Брэгга, как указано выше, может быть использован для получения периода решетки конкретной кубической системы с помощью следующего соотношения:

$${\displaystyle d={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}\,,}$$

где — период решетки кубического кристалла , а h , k и ℓ — индексы Миллера плоскости Брэгга. Объединение этого соотношения с законом Брэгга дает: ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \left({\frac {\lambda }{2a}}\right)^{2}=\left({\frac {\lambda }{2d}}\right)^{2}{\frac {1}{h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}$$

Можно вывести правила отбора индексов Миллера для различных кубических решеток Браве, а также для многих других; некоторые из правил отбора приведены в таблице ниже.

Эти правила отбора можно использовать для любого кристалла с заданной кристаллической структурой. KCl имеет гранецентрированную кубическую решетку Браве . Однако ионы K ⁺ и Cl ⁻ имеют одинаковое число электронов и довольно близки по размеру, так что дифракционная картина становится по сути такой же, как для простой кубической структуры с вдвое меньшим параметром решетки. Правила отбора для других структур можно найти в другом месте или вывести . Интервал решетки для других кристаллических систем можно найти здесь .

Смотрите также

• Брэгговский самолет
• Кристаллическая решетка
• Дифракция
• Распределенный брэгговский отражатель
  • Волоконная решетка Брэгга
• Динамическая теория дифракции
• Электронная дифракция
• Георг Вульф
• предел Хендерсона
• Условия Лауэ
• Порошковая дифракция
• Радарные ангелы
• Структурный фактор
• рентгеновская кристаллография

Ссылки

1. Брэгг, WH ; Брэгг, WL (1913). «Отражение рентгеновских лучей кристаллами». Proc. R. Soc. Lond. A . 88 (605): 428–38. Bibcode :1913RSPSA..88..428B. doi :10.1098/rspa.1913.0040. S2CID  13112732.
2. Некоторые источники, такие как Академическая американская энциклопедия , приписывают открытие закона как У. Л. Брэггу, так и его отцу У. Х. Брэггу, но официальный сайт Нобелевской премии и написанные о нем биографии («Свет — посланник: жизнь и наука Уильяма Лоуренса Брэгга», Грэм К. Хантер, 2004 и «Великие физики твердого тела XX века», Хулио Антонио Гонсало, Кармен Араго Лопес) четко заявляют, что закон вывел только Лоуренс Брэгг.
3. «Нобелевская премия по физике 1915 года».
4. Шулл, Клиффорд Г. (1995). «Раннее развитие нейтронного рассеяния». Reviews of Modern Physics . 67 (4): 753–757. Bibcode : 1995RvMP...67..753S. doi : 10.1103/revmodphys.67.753. ISSN  0034-6861.
5. Джон М. Коули (1975) Физика дифракции (Северная Голландия, Амстердам) ISBN 0-444-10791-6 . 
6. Эстерманн, И.; Стерн, О. (1930). «Beugung von Molekularstrahlen». Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 61 (1–2): 95–125. Бибкод : 1930ZPhy...61...95E. дои : 10.1007/BF01340293. ISSN  1434-6001. S2CID  121757478.
7. Арндт, Маркус; Наирз, Олаф; Вос-Андреа, Джулиан; Келлер, Клаудия; ван дер Зу, Гербранд; Цайлингер, Антон (1999). «Волново-частичный дуализм молекул C60». Природа . 401 (6754): 680–682. дои : 10.1038/44348. ISSN  0028-0836. PMID  18494170. S2CID  4424892.
8. Pieranski, P (1983). "Коллоидные кристаллы". Contemporary Physics . 24 : 25–73. Bibcode :1983ConPh..24...25P. doi :10.1080/00107518308227471.
9. Брэгг, WH; Брэгг, WL (1915). Рентгеновские лучи и структура кристаллов. G. Bell and Sons, Ltd.
10. Moseley, Henry HGJ; Darwin, Charles G. (июль 1913 г.). "on the Reflexion of the X-rays" (PDF) . The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science . 26 (151): 210–232. doi :10.1080/14786441308634968 . Получено 27.04.2021 .
11. Moseley, Henry GJ (1913). «Высокочастотные спектры элементов». The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science . 6. 26. Smithsonian Libraries. London-Edinburgh: London: Taylor & Francis: 1024–1034. doi :10.1080/14786441308635052.
12. HP Myers (2002). Введение в физику твердого тела . Тейлор и Фрэнсис. ISBN 0-7484-0660-3.
13. Уоррен, Бертрам Юджин (1990). Рентгеновская дифракция . Книги Дувра по физике и химии. Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-66317-3.
14. Эгертон, РФ (2009). "Спектроскопия потери энергии электронов в просвечивающем электронном микроскопе". Reports on Progress in Physics . 72 (1): 016502. Bibcode :2009RPPh...72a6502E. doi :10.1088/0034-4885/72/1/016502. S2CID  120421818.
15. Мориц, Вольфганг; Ван Хоув, Мишель (2022). Определение структуры поверхности с помощью LEED и рентгеновских лучей. Кембридж, Соединенное Королевство. ISBN 978-1-108-28457-8. OCLC  1293917727.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
16. Ичимия, Аяхико; Коэн, Филипп (2004). Дифракция электронов высокой энергии на отражение. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. ISBN 0-521-45373-9. OCLC  54529276.
17. Шеррер, П. (1918). «Bestimmung der Größe und der Internalen Struktur von Kolloidteilchen mittels Röntgenstrahlen». Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematich-Physikalische Klasse . 1918 : 98–100.
18. Паттерсон, AL (1939). «Формула Шеррера для определения размера частиц рентгеновским методом». Physical Review . 56 (10): 978–982. Bibcode :1939PhRv...56..978P. doi :10.1103/PhysRev.56.978.
19. Хилтнер, П. А.; И. М. Кригер (1969). «Дифракция света упорядоченными суспензиями». Журнал физической химии . 73 (7): 2386–2389. doi :10.1021/j100727a049.
20. Аксай, И.А. (1984). «Микроструктурный контроль посредством коллоидной консолидации». Труды Американского керамического общества . 9 : 94.
21. Удачи, Вернер; Клиер, Манфред; Весслау, Герман (1963). «Über Bragg-Reflexe mit sichtbarem Licht an monodispersen Kunststofflatices. II». Berichte der Bunsengesellschaft für Physikalische Chemie . 67 (1): 84–85. дои : 10.1002/bbpc.19630670114. ISSN  0005-9021.
22. Barden, SC; Williams, JB; Arns, JA; Colburn, WS (2000). «Настраиваемые решетки: визуализация Вселенной в 3-D с помощью объемно-фазовых голографических решеток (обзор)». ASP Conf. Ser . 195 : 552. Bibcode : 2000ASPC..195..552B.
23. C. Kress, Bernard; Meyruels, Patrick (2009). Прикладная цифровая оптика: от микрооптики до нанофотоники (PDF) . Wiley. стр. Глава 8. ISBN 978-0-470-02263-4.

Дальнейшее чтение

• Нил В. Эшкрофт и Н. Дэвид Мермин, Физика твердого тела (Харкорт: Орландо, 1976).
• Брэгг В. (1913). «Дифракция коротких электромагнитных волн на кристалле». Труды Кембриджского философского общества . 17 : 43–57.

Внешние ссылки

• Нобелевская премия по физике – 1915 г.
• https://web.archive.org/web/20110608141639/http://www.physical.uoguelph.ca/~detong/phys3510_4500/xray.pdf
• Изучение кристаллографии