В дифференциальной топологии , разделе математики , условия Уитни — это условия на пару подмногообразий многообразия , введенные Хасслером Уитни в 1965 году.
Стратификация топологического пространства — это конечная фильтрация замкнутыми подмножествами F i , такая, что разность между последовательными членами F i и F ( i − 1) фильтрации либо пуста, либо является гладким подмногообразием размерности i . Связные компоненты разности F i − F ( i − 1) являются стратами размерности i . Стратификацию называют стратификацией Уитни , если все пары страт удовлетворяют условиям Уитни A и B, как определено ниже.
Пусть X и Y — два непересекающихся ( локально замкнутых ) подмногообразия R n размерностей i и j .
Джон Мазер первым указал на то, что условие Уитни B подразумевает условие Уитни A в записях своих лекций в Гарварде в 1970 году, которые были широко распространены. Он также определил понятие стратифицированного пространства Тома–Мазера и доказал, что каждая стратификация Уитни является стратифицированным пространством Тома–Мазера и, следовательно, является топологически стратифицированным пространством . Другой подход к этому фундаментальному результату был предложен ранее Рене Томом в 1969 году.
Дэвид Тротман показал в своей диссертации Уорика 1977 года, что стратификация замкнутого подмножества в гладком многообразии M удовлетворяет условию Уитни A тогда и только тогда, когда подпространство пространства гладких отображений из гладкого многообразия N в M, состоящее из всех тех отображений, которые трансверсальны всем стратам стратификации, открыто (используя топологию Уитни, или сильную топологию). Подпространство отображений, трансверсальных любому счетному семейству подмногообразий M , всегда плотно по теореме Тома о трансверсальности . Плотность множества трансверсальных отображений часто интерпретируется как «общее» свойство для гладких отображений, в то время как открытость часто интерпретируется как «устойчивое» свойство.
Причина, по которой условия Уитни стали так широко использоваться, заключается в теореме Уитни 1965 года о том, что каждое алгебраическое многообразие, или, по сути, аналитическое многообразие, допускает стратификацию Уитни, т. е. допускает разбиение на гладкие подмногообразия, удовлетворяющие условиям Уитни. Более общие сингулярные пространства могут быть заданы стратификацией Уитни, такой как полуалгебраические множества (благодаря Рене Тому ) и субаналитические множества (благодаря Хейсуке Хиронаке ). Это привело к их использованию в инженерии, теории управления и робототехнике. В диссертации под руководством Веслава Павлуцкого в Ягеллонском университете в Кракове, Польша, вьетнамский математик Та Ле Лой доказал далее, что каждому определимому множеству в о-минимальной структуре может быть задана стратификация Уитни. [ необходима цитата ]