Свободное падение

Движение тела, подверженного только силе тяжести

В классической механике свободное падение — это любое движение тела , при котором единственной силой, действующей на него, является гравитация . Свободно падающий объект не обязательно падает вниз в вертикальном направлении . Объект, движущийся вверх, обычно не может считаться падающим, но если он подвержен действию только силы гравитации, говорят, что он находится в свободном падении. Таким образом, Луна находится в свободном падении вокруг Земли , хотя ее орбитальная скорость удерживает ее на очень далекой орбите от поверхности Земли .

В приблизительно однородном гравитационном поле гравитация действует на каждую часть тела примерно одинаково. Когда нет других сил, таких как нормальная сила, действующая между телом (например, астронавтом на орбите) и окружающими его объектами, это приведет к ощущению невесомости , состоянию, которое также возникает, когда гравитационное поле слабое (например, когда находится далеко от любого источника гравитации).

Термин «свободное падение» часто используется более свободно, чем в строгом смысле, определенном выше. Таким образом, падение сквозь атмосферу без раскрытого парашюта или подъемного устройства также часто называют свободным падением . Аэродинамические силы сопротивления в таких ситуациях не позволяют им создать полную невесомость, и, таким образом, «свободное падение» парашютиста после достижения предельной скорости создает ощущение веса тела, поддерживаемого воздушной подушкой.

В контексте общей теории относительности , где гравитация сводится к искривлению пространства-времени , на свободно падающее тело не действует никакая сила.

История

В западном мире до XVI века обычно предполагалось, что скорость падающего тела будет пропорциональна его весу, то есть ожидалось, что объект весом 10 кг будет падать в десять раз быстрее, чем идентичный объект весом 1 кг через ту же среду. Древнегреческий философ Аристотель (384–322 до н. э.) обсуждал падающие объекты в «Физике» (книга VII), одной из старейших книг по механике (см. Аристотелевскую физику ). Хотя в VI веке Иоанн Филопон оспорил этот аргумент и сказал, что, по наблюдениям, два шара с очень разным весом будут падать почти с одинаковой скоростью. ^[1]

В Ираке XII века Абу-ль-Баракат аль-Багдади дал объяснение гравитационному ускорению падающих тел. По словам Шломо Пинеса , теория движения аль-Багдади была «старейшим отрицанием фундаментального динамического закона Аристотеля [а именно, что постоянная сила производит равномерное движение], [и, таким образом,] предвосхищением в смутной форме фундаментального закона классической механики [ а именно, что сила, приложенная непрерывно, производит ускорение]». ^[2]

Галилео Галилей

Согласно рассказу, который может быть апокрифом, в 1589–1592 годах Галилей сбросил два предмета неравной массы с Пизанской башни . Учитывая скорость, с которой могло произойти такое падение, сомнительно, что Галилей мог извлечь много информации из этого эксперимента. Большинство его наблюдений падающих тел на самом деле были наблюдениями за телами, катящимися по пандусам. Это достаточно замедлило ход событий, чтобы он мог измерять временные интервалы с помощью водяных часов и собственного пульса (секундомеры тогда еще не были изобретены). Он повторял это «целую сотню раз», пока не достиг «такой точности, что отклонение между двумя наблюдениями никогда не превышало одной десятой удара пульса». В 1589–1592 годах Галилей написал De Motu Antiquiora , неопубликованную рукопись о движении падающих тел. ^{[ требуется ссылка ]}

Примеры

Примерами объектов, находящихся в свободном падении, являются:

• Космический аппарат (в космосе) с выключенной двигательной установкой (например, на непрерывной орбите или на суборбитальной траектории ( баллистике ), поднимающийся в течение нескольких минут, а затем опускающийся).
• Предмет, сброшенный в верхнюю часть капельной трубки .
• Брошенный вверх предмет или человек, подпрыгивающий с земли на низкой скорости (т.е. пока сопротивление воздуха пренебрежимо мало по сравнению с весом).

Технически, объект находится в свободном падении, даже когда движется вверх или мгновенно находится в состоянии покоя в верхней точке своего движения. Если гравитация является единственным действующим влиянием, то ускорение ^[3] всегда направлено вниз и имеет одинаковую величину для всех тел, обычно обозначаемую . ${\displaystyle g}$

Поскольку при отсутствии других сил все объекты падают с одинаковой скоростью, в таких ситуациях предметы и люди будут испытывать невесомость .

Примеры объектов, не находящихся в свободном падении:

• Полет на самолете: также возникает дополнительная подъемная сила .
• Стоя на земле: сила гравитации уравновешивается нормальной силой со стороны земли.
• Спуск на Землю с помощью парашюта, который уравновешивает силу тяжести силой аэродинамического сопротивления (а в некоторых парашютах — дополнительной подъемной силой).

Пример падающего парашютиста, который еще не раскрыл парашют, не считается свободным падением с точки зрения физики, поскольку он испытывает силу сопротивления , равную его весу, как только он достигает конечной скорости (см. ниже).

Измеренное время падения небольшой стальной сферы, падающей с разных высот. Данные хорошо согласуются с прогнозируемым временем падения , где h — высота, а g — ускорение свободного падения под действием силы тяжести. ${\displaystyle {\sqrt {2h/g}}}$

Вблизи поверхности Земли объект, находящийся в свободном падении в вакууме, будет ускоряться примерно до 9,8 м/с ² , независимо от его массы . При сопротивлении воздуха, действующем на сброшенный объект, объект в конечном итоге достигнет конечной скорости, которая составляет около 53 м/с (190 км/ч или 118 миль в час ^[4] ) для человека-парашютиста. Конечная скорость зависит от многих факторов, включая массу, коэффициент сопротивления и относительную площадь поверхности, и будет достигнута только в том случае, если падение происходит с достаточной высоты. Типичный парашютист в положении «распластавшись орлом» достигнет конечной скорости примерно через 12 секунд, за это время он пролетит около 450 м (1500 футов). ^[4]

Свободное падение было продемонстрировано на Луне астронавтом Дэвидом Скоттом 2 августа 1971 года. Он одновременно выпустил молоток и перо с одной и той же высоты над поверхностью Луны. Молоток и перо оба падали с одинаковой скоростью и ударились о поверхность в одно и то же время. Это продемонстрировало открытие Галилея, что при отсутствии сопротивления воздуха все объекты испытывают одинаковое ускорение под действием силы тяжести. Однако на Луне гравитационное ускорение составляет приблизительно 1,63 м/с ² , или всего лишь около ¹ ⁄ ₆  от ускорения на Земле.

Свободное падение в ньютоновской механике

Равномерное гравитационное поле без сопротивления воздуха

Это "учебный" случай вертикального движения объекта, падающего с небольшого расстояния близко к поверхности планеты. Это хорошее приближение в воздухе, пока сила тяжести на объекте намного больше силы сопротивления воздуха, или, что эквивалентно, скорость объекта всегда намного меньше конечной скорости (см. ниже).

Свободное падение

${\displaystyle v(t)=v_{0}-gt\,}$

${\displaystyle y(t)=v_{0}t+y_{0}-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

где

${\displaystyle v_{0}\,}$— начальная вертикальная составляющая скорости (м/с).

${\displaystyle v(t)\,}$— вертикальная составляющая скорости (м/с). ${\displaystyle t\,}$

${\displaystyle y_{0}\,}$— начальная высота (м).

${\displaystyle y(t)\,}$- высота над уровнем моря (м). ${\displaystyle t\,}$

${\displaystyle t\,}$прошедшее время (с).

${\displaystyle g\,}$— ускорение свободного падения (9,81 м/с2 ^у поверхности Земли).

Если начальная скорость равна нулю, то расстояние, пройденное от начального положения, будет расти как квадрат прошедшего времени. Более того, поскольку нечетные числа в сумме дают полные квадраты , расстояние, пройденное в последовательных интервалах времени, растет как нечетные числа. Это описание поведения падающих тел было дано Галилеем. ^[5]

Равномерное гравитационное поле с сопротивлением воздуха

Ускорение небольшого метеороида при входе в атмосферу Земли с разными начальными скоростями

Этот случай, который применим к парашютистам, скайдайверам или любому телу массой, и площадью поперечного сечения, с числом Рейнольдса , значительно превышающим критическое число Рейнольдса, так что сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости падения, имеет уравнение движения ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg-{\frac {1}{2}}\rho C_{\mathrm {D} }Av^{2}\,,}$

где — плотность воздуха , а — коэффициент сопротивления , который предполагается постоянным, хотя в общем случае он будет зависеть от числа Рейнольдса. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle C_{\mathrm {D} }}$

Если предположить, что объект падает из состояния покоя и плотность воздуха не меняется с высотой, то решение будет следующим:

${\displaystyle v(t)=v_{\infty }\tanh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right),}$

где конечная скорость определяется как

${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {\frac {2mg}{\rho C_{D}A}}}\,.}$

Скорость объекта по времени можно проинтегрировать по времени, чтобы найти вертикальное положение как функцию времени:

${\displaystyle y=y_{0}-{\frac {v_{\infty }^{2}}{g}}\ln \cosh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right).}$

Используя цифру 56 м/с для конечной скорости человека, можно обнаружить, что через 10 секунд он упадет с высоты 348 метров и достигнет 94% конечной скорости, а через 12 секунд он упадет с высоты 455 метров и достигнет 97% конечной скорости. Однако, когда плотность воздуха нельзя считать постоянной, например, для объектов, падающих с большой высоты, уравнение движения становится намного сложнее для аналитического решения, и обычно необходимо численное моделирование движения. На рисунке показаны силы, действующие на метеороиды, падающие через верхнюю атмосферу Земли. Прыжки HALO , включая рекордные прыжки Джо Киттингера и Феликса Баумгартнера , также относятся к этой категории. ^[6]

Гравитационное поле, подчиняющееся закону обратных квадратов

Можно сказать, что два объекта в космосе, вращающиеся вокруг друг друга в отсутствие других сил, находятся в свободном падении вокруг друг друга, например, Луна или искусственный спутник «падают вокруг» Земли, или планета «падают вокруг» Солнца. Предположение о сферических объектах означает, что уравнение движения подчиняется закону всемирного тяготения Ньютона , а решения гравитационной задачи двух тел представляют собой эллиптические орбиты, подчиняющиеся законам планетарного движения Кеплера . Эту связь между падающими объектами вблизи Земли и вращающимися объектами лучше всего иллюстрирует мысленный эксперимент, пушечное ядро ​​Ньютона .

Движение двух объектов, движущихся радиально навстречу друг другу без углового момента, можно считать частным случаем эллиптической орбиты с эксцентриситетом e = 1 ( радиальная эллиптическая траектория ). Это позволяет вычислить время свободного падения для двух точечных объектов на радиальной траектории. Решение этого уравнения движения дает время как функцию разделения:

${\displaystyle t(y)={\sqrt {\frac {{y_{0}}^{3}}{2\mu }}}\left({\sqrt {{\frac {y}{y_{0}}}\left(1-{\frac {y}{y_{0}}}\right)}}+\arccos {\sqrt {\frac {y}{y_{0}}}}\right),}$

где

${\displaystyle t}$это время после начала осени

${\displaystyle y}$это расстояние между центрами тел

${\displaystyle y_{0}}$это начальное значение ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \mu =G(m_{1}+m_{2})}$— стандартный гравитационный параметр .

Подставляя, получаем время свободного падения ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle t_{\text{ff}}=\pi {\sqrt {y_{0}^{3}/(8\mu )}}~.}$

Разделение может быть явно выражено как функция времени ^[7]

${\displaystyle y(t)=y_{0}~Q\left(1-{\frac {t}{t_{\text{ff}}}};{\frac {3}{2}},{\frac {1}{2}}\right)~,}$

где — квантильная функция бета -распределения , также известная как обратная функция регуляризованной неполной бета-функции . ${\displaystyle Q(x;\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}$

Это решение также можно точно представить аналитическим степенным рядом

${\displaystyle y(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{r\to 0}\left({\frac {x^{n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\left[r^{n}\left({\frac {7}{2}}(\arcsin({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}})\right)^{-{\frac {2}{3}}n}\right]\right)\right].}$

Оценка этого дает: ^{[8] [9]}

${\displaystyle y(t)=y_{0}\left(x-{\frac {1}{5}}x^{2}-{\frac {3}{175}}x^{3}-{\frac {23}{7875}}x^{4}-{\frac {1894}{3031875}}x^{5}-{\frac {3293}{21896875}}x^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}x^{7}-\cdots \right)\ ,}$

где

${\displaystyle x=\left[{\frac {3}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}-t{\sqrt {\frac {2\mu }{{y_{0}}^{3}}}}\right)\right]^{2/3}.}$

В общей теории относительности

В общей теории относительности объект в свободном падении не подвержен действию силы и является инертным телом, движущимся по геодезической . Вдали от любых источников искривления пространства-времени, где пространство-время плоское, ньютоновская теория свободного падения согласуется с общей теорией относительности. В противном случае они не согласны; например, только общая теория относительности может объяснить прецессию орбит, орбитальный распад или спираль компактных двойных из-за гравитационных волн и относительность направления ( геодезическая прецессия и перетаскивание системы отсчета ).

Экспериментальное наблюдение, что все объекты при свободном падении ускоряются с одинаковой скоростью, как было отмечено Галилеем и затем воплощено в теории Ньютона как равенство гравитационной и инертной масс, а позднее подтверждено с высокой точностью современными формами эксперимента Этвеша , является основой принципа эквивалентности , на основе которого изначально возникла общая теория относительности Эйнштейна.

Смотрите также

• Уравнения для падающего тела
• G-сила
• Высотный военный парашютный спорт
• Самолет с пониженной гравитацией
• Конечная скорость
• Невесомость

Ссылки

1. Коэн, Моррис Р.; Драбкин, IE, ред. (1958). Справочник по греческой науке . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. стр. 220.
2. Pines, Shlomo (1970). "Abu'l-Barakāt al-Baghdādī, Hibat Allah". Словарь научной биографии . Том 1. Нью-Йорк: Charles Scribner's Sons. С. 26–28. ISBN 0-684-10114-9.
   ( см. Абель Б. Франко (октябрь 2003 г.). «Avempace, Projectile Motion, and Impetus Theory», Журнал истории идей 64 (4), стр. 521–546 [528].)
3. "Лекции Фейнмана по физике. Том I. Гл. 8. Движение".
4. "График свободного падения" (PDF) . Green Harbor Publications. 2010 . Получено 14 марта 2016 .
5. Оленик, Ричард П.; Апостол, Том М.; Гудштейн, Дэвид Л. (2008). Механическая вселенная: Введение в механику и тепло. Cambridge University Press. стр. 18. ISBN 978-0-521-71592-8.
6. Анализ таких прыжков дан в Mohazzabi, P.; Shea, J. (1996). "Свободное падение на большой высоте" (PDF) . American Journal of Physics . 64 (10): 1242. Bibcode : 1996AmJPh..64.1242M. doi : 10.1119/1.18386.
7. Obreschkow, Danail (7 июня 2024 г.). «От кавитации к астрофизике: явное решение уравнения сферического коллапса». Phys. Rev. E . 109 (6): 065102. arXiv : 2401.05445 . Bibcode :2024PhRvE.109f5102O. doi :10.1103/PhysRevE.109.065102. PMID  39021019.
8. Foong, SK (2008). «От падения Луны до движений по законам обратных квадратов». European Journal of Physics . 29 (5): 987–1003. Bibcode : 2008EJPh...29..987F. doi : 10.1088/0143-0807/29/5/012 . S2CID  122494969.
9. Мунган, Карл Э. (2009). «Радиальное движение двух взаимно притягивающихся частиц» (PDF) . The Physics Teacher . 47 (8): 502–507. Bibcode : 2009PhTea..47..502M. doi : 10.1119/1.3246467.

Внешние ссылки

• Калькулятор формулы свободного падения
• The Way Things Fall — образовательный веб-сайт