Материал условный

Логическая связка

Материальное условное выражение (также известное как материальное импликация ) — это операция, обычно используемая в логике . Когда условный символ интерпретируется как материальная импликация, формула истинна, если только она не истинна и не ложна. Материальную импликацию можно также охарактеризовать логически с помощью modus ponens , modus tollens , условного доказательства и классического доведения до абсурда . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Материальная импликация используется во всех основных системах классической логики , а также в некоторых неклассических логиках . Он считается моделью правильного условного рассуждения в математике и служит основой для команд во многих языках программирования . Однако многие логики заменяют материальную импликацию другими операторами, такими как строгий условный и переменно строгий условный . Из-за парадоксов материальной импликации и связанных с ней проблем материальная импликация обычно не считается жизнеспособным анализом условных предложений на естественном языке .

Обозначения

В логике и смежных областях материальное условное выражение обычно обозначается инфиксным оператором . ^[1] Материальный кондиционал также обозначается с помощью инфиксов и . В префиксной польской записи условные обозначения обозначаются как . В условной формуле подформула называется антецедентом и следствием условного выражения . Условные операторы могут быть вложенными так, что антецедент или последующий элемент сами могут быть условными операторами, как в формуле . ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \supset }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle Cpq}$ ${\displaystyle p\to q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (p\to q)\to (r\to s)}$

История

В книге «Начала арифметики: Nova Methodo Exposita» (1889) Пеано выразил предложение «Если тогда » как Ɔ с символом Ɔ, который является противоположностью C. ^[2] Он также выразил это предложение как Ɔ . ^{[a] [3] [4]} Гильберт выразил предложение «Если A, то B», как в 1918 году. ^[1] Рассел последовал за Пеано в его Principia Mathematica (1910–1913), в котором он выразил предложение «Если A, то B». " как . Вслед за Расселом Генцен выразил предложение «Если А, то В» как . Хейтинг сначала выразил предложение «Если А, то В», но позже стал выражать его как стрелку, направленную вправо. Бурбаки выразил утверждение «Если А, то Б», как в 1954 году. ^[5] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\supset B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A\supset B}$ ${\displaystyle A\supset B}$ ${\displaystyle A\supset B}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A\Rightarrow B}$

Определения

Семантика

С семантической точки зрения , материальная импликация — это функциональный оператор двоичной истины , который возвращает «истину», если его первый аргумент не является истинным, а второй аргумент — ложным. Эту семантику можно показать графически в таблице истинности, такой как приведенная ниже.

Таблица истинности

Таблица истинности p → q:

Третий и четвертый логические случаи этой таблицы истинности, где антецедент p ложен, а p → q истинен, называются « пустыми истинами ». Пример четвертого случая: «Если Мария Кюри — сестра Галилео Галилея , то Галилео Галилей — брат Марии Кюри» .

Дедуктивное определение

Материальную импликацию можно также охарактеризовать дедуктивно с помощью следующих правил вывода . ^{[ нужна цитата ]}

• Модус поненс
• Условное доказательство
• Классическое противопоставление
• Классическое доведение до абсурда

В отличие от семантического определения такой подход к логическим связкам позволяет рассматривать структурно одинаковые пропозициональные формы в различных логических системах , где могут проявляться несколько разные свойства. Например, в интуиционистской логике , которая отвергает доказательства путем противопоставления как действительные правила вывода, ( p  →  q ) ⇒ ¬ p  ∨  q не является пропозициональной теоремой, но материальный кондиционал используется для определения отрицания . ^{[ нужны разъяснения ]}

Формальные свойства

Когда дизъюнкция , конъюнкция и отрицание являются классическими, материальная импликация подтверждает следующие эквивалентности:

• Противопоставление: ${\displaystyle P\to Q\equiv \neg Q\to \neg P}$
• Импорт Экспорт : ${\displaystyle P\to (Q\to R)\equiv (P\land Q)\to R}$
• Отрицаемые условные предложения: ${\displaystyle \neg (P\to Q)\equiv P\land \neg Q}$
• Или-и-если: ${\displaystyle P\to Q\equiv \neg P\lor Q}$
• Коммутативность антецедентов: ${\displaystyle {\big (}P\to (Q\to R){\big )}\equiv {\big (}Q\to (P\to R){\big )}}$
• Левая дистрибутивность : ${\displaystyle {\big (}R\to (P\to Q){\big )}\equiv {\big (}(R\to P)\to (R\to Q){\big )}}$

Аналогично, в классических интерпретациях других связок материальная импликация подтверждает следующие следствия :

• Предыдущее усиление: ${\displaystyle P\to Q\models (P\land R)\to Q}$
• Пустое условное выражение : ${\displaystyle \neg P\models P\to Q}$
• Транзитивность : ${\displaystyle (P\to Q)\land (Q\to R)\models P\to R}$
• Упрощение дизъюнктивных антецедентов : ${\displaystyle (P\lor Q)\to R\models (P\to R)\land (Q\to R)}$

К тавтологиям , связанным с материальным подтекстом, относятся:

• Рефлексивность : ${\displaystyle \models P\to P}$
• Тотальность : ${\displaystyle \models (P\to Q)\lor (Q\to P)}$
• Условно исключенное среднее : ${\displaystyle \models (P\to Q)\lor (P\to \neg Q)}$

Расхождения с естественным языком

Материальная импликация не совсем соответствует использованию условных предложений в естественном языке . Например, даже несмотря на то, что материальные условные обозначения с ложными антецедентами являются бессмысленно истинными , утверждение естественного языка «Если 8 нечетно, то 3 — простое число» обычно считается ложным. Точно так же любой материальный кондиционал с истинным консеквентом сам по себе истинен, но говорящие обычно отвергают такие предложения, как «Если у меня в кармане есть пенни, то Париж находится во Франции». Эти классические проблемы получили название парадоксов материальной импликации . ^[6] В дополнение к парадоксам, против анализа материальных последствий было приведено множество других аргументов. Например, в таком случае все контрфактические условные предложения были бы бессмысленно истинными. ^[7]

В середине 20-го века ряд исследователей, в том числе Х. П. Грайс и Фрэнк Джексон, предположили, что прагматические принципы могут объяснить несоответствия между кондиционалами естественного языка и материальными кондиционалами. По их мнению, условные обозначения обозначают материальный смысл, но в конечном итоге передают дополнительную информацию, когда они взаимодействуют с разговорными нормами, такими как максимы Грайса . ^{[6] [8]} Недавние работы в области формальной семантики и философии языка, как правило, избегали материальной импликации при анализе кондиционалов естественного языка. ^[8] В частности, в таких работах часто отвергалось предположение о том, что условные выражения естественного языка являются функциональными по истинности в том смысле , что значение истинности «Если P , то Q » определяется исключительно значениями истинности P и Q. ^[6] Таким образом, семантический анализ кондиционалов обычно предлагает альтернативные интерпретации, основанные на таких основах, как модальная логика , логика релевантности , теория вероятностей и причинно-следственные модели . ^{[8] [6] [9]}

Подобные расхождения наблюдались психологами, изучающими условное рассуждение, например, в ходе пресловутого исследования задач выбора Уэйсона , в котором менее 10% участников рассуждали в соответствии с материальным условным рассуждением. Некоторые исследователи интерпретировали этот результат как неспособность участников подтвердить нормативные законы рассуждения, в то время как другие интерпретируют участников как рассуждения нормативного характера в соответствии с неклассическими законами. ^{[10] [11] [12]}

Смотрите также

• Логический домен
• Булева функция
• Булева логика
• Условный квантификатор
• Импликативное исчисление высказываний
• Законы формы
• Логический график
• Логическая эквивалентность
• Материальная импликация (правило вывода)
• Закон Пирса
• Пропозициональное исчисление
• Единственный достаточный оператор

Условные предложения

• Соответствующее условное
• Контрфактическое условное
• Ориентировочное условное
• Строгое условное

Примечания

1. Обратите внимание, что символ подковы Ɔ был перевернут и стал подмножеством символа ⊂.

Рекомендации

1. Гильберт, Д. (1918). Prinzipien der Mathematik (Конспекты лекций под редакцией Бернейса П.) .
2. Жан ван Хейеноорт, изд. (1967). От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 . Издательство Гарвардского университета. стр. 84–87. ISBN 0-674-32449-8.
3. Майкл Нахас (25 апреля 2022 г.). «Английский перевод книги «Начала арифметики, Nova Methodo Exposita»» (PDF) . Гитхаб. п. VI . Проверено 10 августа 2022 г.
4. Мауро АЛЛЕГРАНСА (13 февраля 2015 г.). «Элементарная теория множеств. Есть ли какая-либо связь между символом ⊃, когда он означает импликацию, и его значением как надмножества?». Математический обмен стеками . Stack Exchange Inc. Ответ . Проверено 10 августа 2022 г.
5. Бурбаки, Н. (1954). Теория ансамблей . Париж: Hermann & Cie, Éditeurs. п. 14.
6. Эджингтон, Дороти (2008). «Условия». В Эдварде Н. Залте (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (изд. Зима 2008 г.).
7. Старр, Уилл (2019). «Контрфакты». В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
8. Гиллис, Тони (2017). «Условные обозначения» (PDF) . Ин Хейл, Б.; Райт, К.; Миллер, А. (ред.). Компаньон по философии языка . Уайли Блэквелл. стр. 401–436. дои : 10.1002/9781118972090.ch17. ISBN 9781118972090.
9. фон Финтель, Кай (2011). «Условные обозначения» (PDF) . Фон Хойзингер, Клаус; Майенборн, Клаудия; Портнер, Пол (ред.). Семантика: Международный справочник по значению . де Грюйтер Мутон. стр. 1515–1538. дои : 10.1515/9783110255072.1515. hdl : 1721.1/95781 . ISBN 978-3-11-018523-2.
10. Оуксфорд, М.; Чейтер, Н. (1994). «Рациональный анализ задачи выбора как выбор оптимальных данных». Психологический обзор . 101 (4): 608–631. CiteSeerX 10.1.1.174.4085 . дои : 10.1037/0033-295X.101.4.608. S2CID  2912209. 
11. Стеннинг, К.; ван Ламбалген, М. (2004). «Немного логики имеет большое значение: основывайте эксперимент на семантической теории в когнитивной науке об условном рассуждении». Когнитивная наука . 28 (4): 481–530. CiteSeerX 10.1.1.13.1854 . doi : 10.1016/j.cogsci.2004.02.002. 
12. фон Сюдов, М. (2006). К гибкой байесовской и деонтической логике тестирования описательных и предписывающих правил (докторская диссертация). Геттинген: Издательство Геттингенского университета. дои : 10.53846/goediss-161 . S2CID  246924881.

дальнейшее чтение

• Браун, Фрэнк Маркхэм (2003), Булево рассуждение: логика булевых уравнений , 1-е издание, Kluwer Academic Publishers, Норвелл , Массачусетс. 2-е издание, Dover Publications , Минеола , Нью-Йорк, 2003 г.
• Эджингтон, Дороти (2001), «Условные обозначения», в Лу Гобле (редактор), « Руководство Блэквелла по философской логике» , Блэквелл .
• Куайн, Западная Вирджиния (1982), Методы логики (1-е изд. 1950 г.), (2-е изд. 1959 г.), (3-е изд. 1972 г.), 4-е издание, издательство Гарвардского университета , Кембридж , Массачусетс.
• Сталнакер, Роберт , «Индикативные кондиционалы», Philosophia , 5 (1975): 269–286.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с условными материалами, на Викискладе?
• Эджингтон, Дороти. «Условия». В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .