Уравнения Навье–Стокса, усредненные по Рейнольдсу

Подход к моделированию турбулентности

Уравнения Навье–Стокса, усредненные по Рейнольдсу ( уравнения RANS ), являются усредненными по времени ^[a] уравнениями движения для потока жидкости . Идея, лежащая в основе уравнений, заключается в разложении Рейнольдса , при котором мгновенная величина разлагается на усредненные по времени и флуктуирующие величины, идея, впервые предложенная Осборном Рейнольдсом . ^[1] Уравнения RANS в основном используются для описания турбулентных потоков . Эти уравнения можно использовать с приближениями, основанными на знании свойств турбулентности потока , чтобы дать приближенные усредненные по времени решения уравнений Навье–Стокса . Для стационарного потока несжимаемой ньютоновской жидкости эти уравнения можно записать в обозначениях Эйнштейна в декартовых координатах как: $${\displaystyle \rho {\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar {f}}_{i}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[-{\bar {p}}\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{i}}}\right)-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right].}$$

Левая часть этого уравнения представляет собой изменение среднего импульса жидкого элемента из-за неустойчивости в среднем потоке и конвекции из-за среднего потока. Это изменение уравновешивается средней объемной силой, изотропным напряжением из-за поля среднего давления, вязкими напряжениями и кажущимся напряжением из-за флуктуирующего поля скорости, обычно называемым напряжением Рейнольдса . Этот нелинейный член напряжения Рейнольдса требует дополнительного моделирования, чтобы замкнуть уравнение RANS для решения, и привел к созданию множества различных моделей турбулентности . Оператор среднего по времени является оператором Рейнольдса . ${\displaystyle \left(-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right)}$ ${\displaystyle {\overline {.}}}$

Вывод уравнений RANS

Основным инструментом, необходимым для вывода уравнений RANS из мгновенных уравнений Навье–Стокса, является разложение Рейнольдса . Разложение Рейнольдса относится к разделению переменной потока (например, скорости ) на среднюю (усредненную по времени) составляющую ( ) и флуктуирующую составляющую ( ). Поскольку оператор среднего является оператором Рейнольдса , он обладает набором свойств. Одним из этих свойств является то, что среднее значение флуктуирующей величины равно нулю . Таким образом, где — вектор положения. Некоторые авторы ^[2] предпочитают использовать вместо для среднего члена (так как иногда для представления вектора используется черта сверху). В этом случае флуктуирующий член представляется вместо . Это возможно, поскольку два члена не появляются одновременно в одном и том же уравнении. Чтобы избежать путаницы, обозначения , и будут использоваться для представления мгновенных, средних и флуктуирующих членов соответственно. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\overline {u}}}$ ${\displaystyle u^{\prime }}$ ${\displaystyle ({\bar {u'}}=0)}$ $${\displaystyle u({\boldsymbol {x}},t)={\bar {u}}({\boldsymbol {x}})+u'({\boldsymbol {x}},t),}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x,y,z)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\bar {u}}}$ ${\displaystyle u^{\prime }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\bar {u}}}$ ${\displaystyle u'}$

Свойства операторов Рейнольдса полезны при выводе уравнений RANS. Используя эти свойства, уравнения движения Навье–Стокса, выраженные в тензорной записи, имеют вид (для несжимаемой ньютоновской жидкости): где — вектор, представляющий внешние силы. $${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}=f_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}$$ ${\displaystyle f_{i}}$

Далее, каждую мгновенную величину можно разбить на усредненные по времени и флуктуирующие компоненты, а полученное уравнение усреднить по времени ^[b] , чтобы получить:

$${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{i}}}=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\overline {u_{j}^{\prime }{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{j}}}}}={\bar {f}}_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}$$

Уравнение импульса можно также записать как, ^[c]

$${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}={\bar {f}}_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}-{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{j}}}.}$$При дальнейших манипуляциях это дает, $${\displaystyle \rho {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+\rho {\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar {f}}_{i}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[-{\bar {p}}\delta _{ij}+2\mu {\bar {S}}_{ij}-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right]}$$

где, — средняя скорость тензора деформации. ${\displaystyle {\bar {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$

Наконец, поскольку интегрирование по времени устраняет временную зависимость результирующих членов, производную по времени необходимо исключить, оставив: $${\displaystyle \rho {\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar {f_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[-{\bar {p}}\delta _{ij}+2\mu {\bar {S}}_{ij}-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right].}$$

Уравнения напряжений Рейнольдса

Уравнение эволюции во времени напряжения Рейнольдса задается как: ^[3] Это уравнение очень сложное. Если проследить, то получится кинетическая энергия турбулентности . Последний член — скорость турбулентной диссипации. Все модели RANS основаны на приведенном выше уравнении. $${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{k}{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}=-{\overline {u_{i}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{k}}}-{\overline {u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{k}}}+{\overline {{\frac {p^{\prime }}{\rho }}\left({\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{i}}}\right)}}-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left({\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{i}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{jk}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{j}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{ik}-\nu {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}\right)-2\nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}}}$$ ${\displaystyle {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}$ ${\displaystyle \nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}}}$

Приложения (моделирование RANS)

• Была определена модель для тестирования производительности, которая в сочетании с вихревой решеткой (VLM) или методом граничных элементов (BEM) показала, что RANS полезен для моделирования потока воды между двумя винтами противоположного вращения, где VLM или BEM применяются к винтам, а RANS используется для динамического состояния потока между винтами. ^[4]
• Уравнения RANS широко использовались в качестве модели для определения характеристик потока и оценки комфорта ветра в городских условиях. Этот вычислительный подход может быть реализован посредством прямых вычислений, включающих решение уравнений RANS, или посредством косвенного метода, включающего обучение алгоритмов машинного обучения с использованием уравнений RANS в качестве основы. Прямой подход точнее косвенного, но он требует экспертных знаний в численных методах и вычислительной гидродинамике (CFD), а также существенных вычислительных ресурсов для обработки сложных уравнений. ^[5]

Примечания

1. Истинное среднее по времени ( ) переменной ( ) определяется как Для того, чтобы это было хорошо определенным термином, предел ( ) должен быть независимым от начального условия в . В случае хаотической динамической системы , каковыми считаются уравнения в турбулентных условиях, это означает, что система может иметь только один странный аттрактор , результат, который еще предстоит доказать для уравнений Навье-Стокса. Однако, предполагая, что предел существует (что происходит для любой ограниченной системы, каковой, безусловно, являются скорости жидкости), существует некоторое такое, что интегрирование от до произвольно близко к среднему. Это означает, что при заданных переходных данных за достаточно большое время среднее может быть численно вычислено с некоторой малой ошибкой. Однако не существует аналитического способа получить верхнюю границу для . ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\bar {X}}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}x\,dt.}$$ ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$
2. Разделение каждой мгновенной величины на ее усредненные и флуктуирующие компоненты дает, Усреднение этих уравнений по времени дает, Обратите внимание, что нелинейные члены (типа ) можно упростить до $${\displaystyle {\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial t}}+\left({\bar {u}}_{j}+u_{j}^{\prime }\right){\frac {\partial \left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{j}}}=\left({\bar {f}}_{i}+f_{i}^{\prime }\right)-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}\left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.}$$ $${\displaystyle {\overline {\frac {\partial \left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}}=0}$$ $${\displaystyle {\overline {\frac {\partial \left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial t}}}+{\overline {\left({\bar {u}}_{j}+u_{j}^{\prime }\right){\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{j}}}}}={\overline {\left({\bar {f}}_{i}+f_{i}^{\prime }\right)}}-{\frac {1}{\rho }}{\overline {\frac {\partial \left({\bar {p}}+p^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}}+\nu {\overline {\frac {\partial ^{2}\left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}.}$$ ${\displaystyle {\overline {u_{i}u_{j}}}}$ $${\displaystyle {\overline {u_{i}u_{j}}}={\overline {\left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)\left({\bar {u_{j}}}+u_{j}^{\prime }\right)}}={\overline {{\bar {u_{i}}}{\bar {u}}_{j}+{\bar {u}}_{i}u_{j}^{\prime }+u_{i}^{\prime }{\bar {u}}_{j}+u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}={\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}+{\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}$$
3. Это следует из уравнения сохранения массы, которое дает: $${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{i}}}=0}$$

Смотрите также

• усреднение по Фавре

Ссылки

1. Рейнольдс, Осборн (1895). «О динамической теории несжимаемых вязких жидкостей и определении критерия». Philosophical Transactions of the Royal Society of London A . 186 : 123–164. Bibcode :1895RSPTA.186..123R. doi : 10.1098/rsta.1895.0004 . JSTOR  90643.
2. Теннекес, Х.; Ламли, Дж. Л. (1992). Первый курс по турбулентности (14-е печатное издание). Кембридж, Массачусетс. [ua]: MIT Press. ISBN 978-0-262-20019-6.
3. PY Chou (1945). «О корреляциях скоростей и решениях уравнений турбулентной флуктуации». Quart. Appl. Math . 3 : 38–54. doi : 10.1090/qam/11999 .
4. Su, Yiran; Kinnas, Spyros A.; Jukola, Hannu (июнь 2017 г.). «Применение интерактивного метода BEM/RANS к винтам противоположного вращения» (PDF) . www.marinepropulsors.com . Эспоо , Финляндия: Международный симпозиум по морскому движению. (Su: Ocean Engineering Group, Department of Civil, Architectural and Environmental Engineering The University of Texas at Austin ; Jukola: Steerprop Ltd. PO Box 217, FI-26101 Rauma, Finland ). стр. 1 . Получено 2 июля 2021 г. – через Google Scholar .{{cite web}}: CS1 maint: date and year (link)
5. БенМоше, Нир; Фатталь, Эяль; Лейтл, Бернд; Арав, Йехуда (июнь 2023 г.). «Использование машинного обучения для прогнозирования ветрового потока в городских районах». Атмосфера . 14 (6): 990. doi : 10.3390/atmos14060990 .