Устойчивость к радиации

Сопротивление излучения — это часть электрического сопротивления точки питания антенны , вызванная излучением радиоволн антенной. ^{[a] [1] [2]} При радиопередаче радиопередатчик подключается к антенне. Передатчик генерирует переменный ток радиочастоты , который подается на антенну, а антенна излучает энергию переменного тока в виде радиоволн . Поскольку антенна поглощает энергию, излучаемую передатчиком, входные клеммы антенны оказывают сопротивление току передатчика.

Сопротивление излучения — это эффективное сопротивление, обусловленное мощностью, уносимой антенной в виде радиоволн. ^{[1] [2]} В отличие от обычного омического сопротивления , радиационное сопротивление не обусловлено сопротивлением току ( удельному сопротивлению ) несовершенных проводящих материалов, из которых изготовлена ​​антенна. Сопротивление излучения ( ) традиционно определяется как значение электрического сопротивления, которое рассеивает такое же количество мощности, как и тепло, которое рассеивается радиоволнами, излучаемыми антенной. ^{[1] [3] [4]} Согласно закону Джоуля , она равна общей мощности, излучаемой антенной в виде радиоволн, деленной на квадрат среднеквадратического значения тока на клеммах антенны: ^{[4] [b] [c]} ${\displaystyle \ R_{\mathsf {rad}}\ }$ ${\displaystyle \ P_{\mathsf {rad}}\ }$ ${\displaystyle \ I_{\mathsf {RMS}}\ }$ ${\displaystyle \ R_{\mathsf {rad}}=P_{\mathsf {rad}}/I_{\mathsf {RMS}}^{2}~.}$

Точка питания и сопротивление излучения определяются геометрией антенны, рабочей частотой и расположением антенны (особенно относительно земли). Соотношение между сопротивлением точки питания ( ) и сопротивлением излучения ( ) зависит от положения антенны, к которому прикреплена линия питания. ^{[d] [7] [1]} Связь между сопротивлением точки питания и сопротивлением излучения особенно проста, когда точка питания расположена (как обычно) в точке минимально возможного напряжения/максимально возможного тока антенны; в этом случае общее сопротивление точки питания на клеммах антенны равно сумме сопротивления излучения плюс сопротивление потерь из-за «омических» потерь в антенне и близлежащей почве: когда антенна питается в какой-то другой точке, Формула требует поправочного коэффициента, обсуждаемого ниже. В приемной антенне сопротивление излучения представляет собой сопротивление источника антенны, а часть принимаемой радиомощности, потребляемой сопротивлением излучения, представляет собой радиоволны, повторно излучаемые (рассеянные) антенной. ^{[8] [9]} ${\displaystyle \ R_{\mathsf {in}}\ }$ ${\displaystyle \ R_{\mathsf {rad}}\ }$ ${\displaystyle \ R_{\mathsf {in}}\ }$ ${\displaystyle \ R_{\mathsf {loss}}\ }$ ${\displaystyle \ R_{\mathsf {in}}=R_{\mathsf {rad}}+R_{\mathsf {loss}}\ .}$

Причина

Электромагнитные волны излучаются электрическими зарядами при их ускорении . ^{[2] [10]} В передающей антенне радиоволны генерируются изменяющимися во времени электрическими токами , состоящими из ускоряющихся электронов , движущихся вперед и назад в металлической антенне, возбуждаемых электрическим полем из-за осциллирующего напряжения, приложенного к антенне. по радиопередатчику . ^{[11] [12]} Электромагнитная волна уносит импульс от электрона, который ее испустил. Причиной радиационной стойкости является реакция излучения , сила отдачи электрона при испускании им радиоволнового фотона , уменьшающая его импульс . ^{[13] [14] [2]} Это называется силой Абрагама-Лоренца . Сила отдачи направлена ​​в направлении, противоположном электрическому полю в антенне, ускоряя электрон, уменьшая среднюю скорость электронов для данного возбуждающего напряжения, поэтому она действует как сопротивление, противодействующее току.

Устойчивость к радиации и устойчивость к потерям

Сопротивление излучения является лишь частью сопротивления точки питания на клеммах антенны. Антенна имеет и другие потери энергии, которые проявляются в виде дополнительного сопротивления на выводах антенны; омическое сопротивление металлических элементов антенны, потери на землю от токов, наведенных в земле, и диэлектрические потери в изоляционных материалах. Когда точка питания (как обычно) имеет минимум напряжения и максимум тока, общее сопротивление точки питания равно сумме сопротивления излучения и сопротивления потерь. ${\displaystyle \ R_{\mathsf {in}}\ }$ ${\displaystyle \ R_{\mathsf {rad}}\ }$ ${\displaystyle \ R_{\mathsf {loss}}\ }$

${\displaystyle \ R_{\mathsf {in}}=R_{\mathsf {rad}}+R_{\mathsf {loss}}\ }$

Мощность , подаваемая на антенну, пропорционально распределяется между этими двумя сопротивлениями. ^{[1] [15]} ${\displaystyle P_{\mathsf {in}}}$

${\displaystyle \ P_{\mathsf {in}}=I_{\mathsf {in}}^{2}(R_{\mathsf {rad}}+R_{\mathsf {loss}})\ }$

${\displaystyle \ P_{\mathsf {in}}=P_{\mathsf {rad}}+P_{\mathsf {loss}}}$

где

${\displaystyle \ P_{\mathsf {rad}}=I_{\mathsf {in}}^{2}R_{\mathsf {rad}}\quad }$и ${\displaystyle \quad P_{\mathsf {loss}}=I_{\mathsf {in}}^{2}R_{\mathsf {loss}}\ }$

Мощность , потребляемая сопротивлением излучения, преобразуется в радиоволны, что является желаемой функцией антенны, тогда как мощность, потребляемая сопротивлением потерь, преобразуется в тепло, что представляет собой потерю мощности передатчика. ^[1] Поэтому для минимальных потерь мощности желательно, чтобы сопротивление излучения было намного больше, чем сопротивление потерь. Отношение сопротивления излучения к общему сопротивлению точки питания равно КПД ( ) антенны. ${\displaystyle \ P_{\mathsf {rad}}\ }$ ${\displaystyle \ P_{\mathsf {loss}}\ }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \ \eta ={P_{\mathsf {rad}} \over P_{\mathsf {in}}}={R_{\mathsf {rad}} \over R_{\mathsf {rad}}+R_{\mathsf {loss}}}\ }$

Чтобы передать максимальную мощность на антенну, импеданс передатчика и фидерной линии должен быть согласован с антенной. Это означает, что линия питания должна подавать на антенну сопротивление, равное входному сопротивлению, и реактивное сопротивление (емкость или индуктивность), равное, но противоположное реактивному сопротивлению антенны. Если эти импедансы не совпадают, антенна будет отражать часть мощности обратно в сторону передатчика, поэтому не вся мощность будет излучаться. Для «больших» антенн сопротивление излучения обычно составляет основную часть их входного сопротивления, поэтому оно определяет, какое согласование импеданса необходимо и какие типы линий передачи будут хорошо подходить для антенны. ${\displaystyle \ R_{\mathsf {in}}\ }$

Влияние точки питания

Когда точка питания расположена в месте, отличном от точки минимального напряжения/максимального тока, или если на антенне не возникает «ровного» минимума напряжения, то простое соотношение больше не выполняется. ${\displaystyle \ R_{\mathsf {in}}=R_{\mathsf {rad}}+R_{\mathsf {loss}}\ }$

В резонансной антенне ток и напряжение образуют стоячие волны по длине антенного элемента, поэтому величина тока в антенне изменяется синусоидально по ее длине. Точка питания , место, где прикрепляется линия питания от передатчика, может располагаться в любом месте антенного элемента. Поскольку сопротивление точки питания зависит от входного тока, оно меняется в зависимости от точки питания. ^[5] Оно является самым низким для точек питания, расположенных в точке максимального тока (антиноуз ) , ^[c] и самым высоким для точек питания, расположенных в точке минимального тока, узле , например, в конце элемента (теоретически, в бесконечно тонкий антенный элемент, сопротивление излучения в узле бесконечно, но конечная толщина реальных антенных элементов дает ему высокое, но конечное значение, порядка тысяч Ом). ^[16]

Выбор точки питания иногда используется как удобный способ согласования импеданса антенны с ее питающей линией путем присоединения питающей линии к антенне в точке, в которой ее входное сопротивление становится равным импедансу питающей линии .

Чтобы дать значимое значение эффективности антенны, сопротивление излучения и сопротивление потерь должны быть отнесены к одной и той же точке антенны, часто к входным клеммам. ^{[17] [18]} Сопротивление излучения традиционно рассчитывается относительно максимально возможного тока на антенне. ^[5] Когда антенна питается в точке максимального тока, как в обычном полуволновом диполе с центральным питанием или четвертьволновом монополе с базовым питанием , это значение в основном представляет собой сопротивление излучения. Однако, если антенна питается в какой-то другой точке, эквивалентное сопротивление излучения в этой точке можно легко рассчитать из соотношения токов антенн ^{[16] [18]} ${\displaystyle \ I_{\mathsf {0}}\ }$ ${\displaystyle \ R_{\mathsf {rad\ 0}}\ }$ ${\displaystyle \ R_{\mathsf {rad\ 1}}\ }$

${\displaystyle \ P_{\mathsf {rad}}=I_{\mathsf {0}}^{2}R_{\mathsf {rad\ 0}}=I_{\mathsf {1}}^{2}R_{\mathsf {rad\ 1}}\ }$

${\displaystyle \ R_{\mathsf {rad\ 1}}=\left({I_{\mathsf {0}} \over I_{\mathsf {1}}}\right)^{2}R_{\mathsf {rad\ 0}}\approx \left({\frac {\ \sin \theta _{\mathsf {0}}\ }{\sin \theta _{\mathsf {1}}}}\right)^{2}R_{\mathsf {rad\ 0}}\ }$

где и — электрические длины (в электрических градусах или радианах) от узла тока (обычно измеряемого от кончика линейной антенны). ${\displaystyle \ \theta _{\mathsf {0}}\ }$ ${\displaystyle \ \theta _{\mathsf {1}}\ }$

Приемные антенны

В приемной антенне сопротивление излучения представляет собой сопротивление источника антенны как ( эквивалент Тевенина ) источника энергии. Благодаря электромагнитной взаимности антенна имеет такую ​​же радиационную стойкость при приеме радиоволн, как и при передаче. Если антенна подключена к электрической нагрузке, такой как радиоприемник , мощность, полученная от радиоволн, попадающих на антенну, пропорционально делится между сопротивлением излучения и сопротивлением потерь антенны и сопротивлением нагрузки. ^{[8] [9]} Мощность, рассеиваемая на сопротивлении излучения, обусловлена ​​переизлучением (рассеянием) радиоволн антенной. ^{[8] [9]} Максимальная мощность подается на приемник, когда его полное сопротивление согласовано с антенной. Если антенна не имеет потерь, половина мощности, поглощаемой антенной, передается приемнику, а другая половина переизлучается. ^{[8] [9]}

Радиационная стойкость обычных антенн

Во всех формулах, перечисленных ниже, сопротивление излучения представляет собой так называемое сопротивление «свободного пространства», которое антенна имела бы, если бы она была установлена ​​на расстоянии нескольких длин волн от земли (не включая расстояние до приподнятого противовеса , если таковой имеется). . Установленные антенны будут иметь более высокую или более низкую устойчивость к излучению, если они установлены вблизи земли (менее 1  длины волны ) в дополнение к сопротивлению потерь от ближнего электрического поля антенны , проникающего в почву. ^{[д] [1]}

На приведенных выше рисунках предполагается, что антенны изготовлены из тонких проводников и расположены на достаточном расстоянии от крупных металлических конструкций, что дипольные антенны находятся достаточно высоко над землей, а монополи установлены на идеально проводящей заземляющей пластине .

Сопротивление излучения полуволнового диполя , равное 73 Ом, достаточно близко к характеристическому сопротивлению обычного коаксиального кабеля с сопротивлением 50 Ом и 75 Ом , поэтому его обычно можно запитывать напрямую, без необходимости использования сети согласования импеданса . Это одна из причин широкого использования полуволнового диполя в качестве возбуждаемого элемента в антеннах. ^[21]

Связь монополей и диполей

Сопротивление излучения монопольной антенны, созданное путем замены одной стороны дипольной антенны перпендикулярной заземляющей плоскостью, составляет половину сопротивления исходной дипольной антенны. Это связано с тем, что монополь излучает только в половину пространства, пространства над плоскостью, поэтому диаграмма направленности идентична половине диаграммы направленности диполя и, следовательно, при том же входном токе он излучает только половину мощности. ^[22]

Это не очевидно из формул в таблице, поскольку для разных длин используется один и тот же символ, однако полученная несимметричная антенна составляет только половину длины исходной дипольной антенны. Это можно показать, рассчитав радиационную стойкость короткого диполя (длина ), которая в два раза превышает длину соответствующего монополя ( ): ${\displaystyle \ell \,;}$ ${\displaystyle \ \ell _{\mathsf {di}}\ }$ ${\displaystyle \ \ell _{\mathsf {mon}}\ }$

${\displaystyle R_{\mathsf {rad,dip}}=20\pi ^{2}\left({\frac {\ \ell _{\mathsf {dip}}\ }{\lambda }}\right)^{2}=20\pi ^{2}\left({\frac {2\ell _{\mathsf {mon}}}{\lambda }}\right)^{2}=80\pi ^{2}\left({\frac {\ell _{\mathsf {mon}}}{\lambda }}\right)^{2}\qquad }$(длина диполя ). ${\displaystyle \ell _{\mathsf {dip}}=2\ell _{\mathsf {mon}}}$

Сравнение этой формулы с формулой для короткого монополя показывает, что диполь имеет вдвое большую радиационную стойкость, чем монополь:

${\displaystyle R_{\mathsf {rad,mon}}=40\pi ^{2}\left({\frac {\ \ell _{\mathsf {mon}}\ }{\lambda }}\right)^{2}\qquad \qquad \qquad \qquad }$(монополь длины ). ${\displaystyle \ell _{\mathsf {mon}}}$

Это подтверждает последовательность физического моделирования диполя с центральным питанием как двух монополей, расположенных вплотную друг к другу, с соседними точками питания.

Расчет

Расчет радиационной стойкости антенны непосредственно по силе реакции на электроны очень сложен и представляет концептуальные трудности при учете силы собственного воздействия электрона. ^[2] Вместо этого сопротивление излучению рассчитывается путем расчета диаграммы направленности антенны в дальней зоне , потока мощности ( вектора Пойнтинга ) под каждым углом для заданного тока антенны. ^[23] Это значение интегрируется по сфере, окружающей антенну, чтобы получить общую мощность, излучаемую антенной. Затем сопротивление излучения рассчитывается по мощности путем сохранения энергии , как сопротивление, которое антенна должна оказывать входному току, чтобы поглотить излучаемую мощность передатчика, используя закон Джоуля ^[b] ${\displaystyle \ P_{\mathsf {rad}}\ }$ ${\displaystyle \ R_{\mathsf {rad}}={\frac {P_{\mathsf {rad}}}{\ I_{\mathsf {RMS}}^{2}\ }}~.}$

Маленькие антенны

Электрически короткие антенны , антенны, длина которых намного меньше длины волны , являются плохими передающими антеннами, поскольку их невозможно эффективно питать из-за их низкой радиационной стойкости.

На частотах ниже 1 МГц размеры обычных электрических цепей и длины используемых в них проводов настолько меньше длины волны, что, если рассматривать их как антенны, они излучают в них незначительную долю мощности в виде радиоволн. Это объясняет, почему электрические цепи можно использовать с переменным током без потери энергии в виде радиоволн. ^[г]

Как видно из приведенной выше таблицы, для линейных антенн короче их основной резонансной длины (меньше1/ 2  λ  для дипольной антенны,1/ 4  λ  для монополя) сопротивление излучения уменьшается пропорционально квадрату их длины; ^[24] для рамочных антенн изменение еще более резкое для субрезонансных рамок (длина окружности менее 1   λ  для непрерывной петли или1/ 2  λ  для расщепленного контура ) сопротивление излучения уменьшается пропорционально четвертой степени длины периметра. Сопротивление потерь находится последовательно с сопротивлением излучения, и по мере уменьшения длины сопротивление потерь уменьшается только пропорционально первой степени длины ( сопротивление провода ) или остается постоянным ( сопротивление контакта ), и, следовательно, составляет возрастающую долю сопротивление точки питания. Таким образом, при меньшем размере антенны, измеряемом в длинах волн, потери тепла потребляют большую часть мощности передатчика, что приводит к падению эффективности антенны.

Например, военно-морские силы используют радиоволны частотой около 15–30 кГц в диапазоне очень низких частот (ОНЧ) для связи с затопленными подводными лодками . Радиоволна частотой 15 кГц имеет длину волны 20 км. В мощных береговых ОНЧ-передатчиках военно-морских сил, передающих сигналы на подводные лодки, используются большие монопольные мачтовые антенны, высота которых из-за стоимости строительства ограничена примерно 300 метрами (980 футов). Хотя эти антенны огромны по сравнению с человеком, на частоте 15 кГц высота антенны все еще составляет всего около 0,015 длины волны, поэтому, как это ни парадоксально, огромные ОНЧ-антенны электрически коротки . Судя по таблице выше, несимметричная антенна 0,015 λ имеет сопротивление излучения около 0,09 Ом.

Снизить сопротивление потерь антенны до такого уровня крайне сложно. Поскольку омическое сопротивление огромной системы заземления и нагрузочной катушки не может быть ниже примерно 0,5 Ом, эффективность простой вертикальной антенны ниже 20%, поэтому более 80% мощности передатчика теряется в сопротивлении заземления. Чтобы увеличить устойчивость к излучению, в передатчиках ОНЧ используются огромные емкостные антенны с верхней нагрузкой, такие как зонтичные антенны и антенны с плоской вершиной , в которых воздушная сеть из горизонтальных проводов прикреплена к верхней части вертикального излучателя, чтобы создать «пластину конденсатора» с землей. для увеличения тока в вертикальном излучателе. Однако это может повысить эффективность не более чем на 50–70%.

Небольшие приемные антенны, такие как ферритовые рамочные антенны, используемые в AM-радиоприемниках, также имеют низкую радиационную стойкость и, следовательно, производят очень низкую выходную мощность. Однако на частотах ниже примерно 20 МГц это не такая уж проблема, поскольку слабый сигнал от антенны можно просто усилить в приемнике.

Определение переменных

Сноски

1. Сопротивление излучения R _рад по определению является значением, измеренным в узле напряжения. Это соответствует только части сопротивления точки питания в (обычном) частном случае, когда точка питания находится на максимуме тока. Если антенна питается в любой другой точке, независимо от реактивного сопротивления (если оно есть), часть ее активного сопротивления из-за излучения будет преобразована и должна быть умножена на зависящий от положения поправочный коэффициент.
2. вместо среднеквадратического тока используется пиковый синусоидальный ток и эквивалентная версия закона Джоуля: ${\displaystyle \ I_{\mathsf {peak}}={\sqrt {2\ }}\ I_{\mathsf {RMS}}\ }$ ${\displaystyle \ R_{\mathsf {rad}}=2P_{\mathsf {rad}}/I_{\mathsf {peak}}^{2}\ }$
3. Обратите внимание, что для получения значения, сравнимого между антеннами с разным питанием, сопротивление излучения приравнивается к (почти) четвертьволновому значению максимального тока с нулевым реактивным сопротивлением, даже если на реальной антенне такой ток отсутствует. ^{[5] [6] (стр. 2-12–2-13)} Например, в несимметричной антенне фактическое сопротивление точки питания преобразуется в (возможно, несуществующий) «максимальный ток» путем деления на синус электрической длины . : где ^[1] Деление на синус может применяться либо к току, либо к сопротивлению; в последнем случае деление преобразует радиационное сопротивление в радиационную часть сопротивления точки питания. ${\displaystyle \ I_{\mathsf {max}}\ }$ ${\displaystyle \ I_{\mathsf {max}}\approx {\frac {I_{\mathsf {in}}}{\ \sin \theta \ }}\ ,}$ ${\displaystyle \ \theta \equiv 2\pi \left|z_{\mathsf {top}}-z_{\mathsf {in}}\right|/\lambda ~.}$
4. Для обсуждения изменения сопротивления в зависимости от высоты см. Радиоантенна § Влияние земли .
5. Из-за концевых эффектов диполь конечной толщины не является резонансным на длине половины длины волны, но имеет индуктивное реактивное сопротивление. Типичный тонкий диполь на самом деле является резонансным (не имеет реактивного сопротивления ) на немного меньшей длине, на которой его радиационное сопротивление составляет около 67 Ом. ^[19] ${\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}\lambda \ }$ ${\displaystyle \ 0.475\lambda \ ,}$
6. Сопротивление точки питания горизонтальной полуволновой антенны сильно меняется с высотой: примерно от ~ 45 Ом при ~+1/ 10  волна над почвой, до немного более 90 Ом вблизи ~+ 1 /4 волна, возникающая из-за взаимодействия антенны с собственными излучаемыми волнами, отраженными от земли. Сопротивление начинает достигать 70 Ом где-то около ~+ 3 /4 волна высокая, но с увеличением высоты продолжает колебаться выше и ниже номинального значения, пока антенна не станет значительно выше 1+ 1 /4 длины волн над землей (или плоскостью земли , если таковая имеется). ^[20] Аналогичным образом это влияет на фактическую радиационную стойкость. Потери в линии питания, земле и металле антенны увеличивают сопротивление точки питания , но сами по себе не изменяют сопротивление излучения .
7. Противоположная проблема существует в высокоскоростных электрических цепях, таких как те, которые используются в персональных компьютерах и портативных устройствах: используемые частоты очень высоки, в гигагерцовом диапазоне и выше, где длины волн порядка 10  см - то же самое. размер соответствует устройству. Таким образом, для высокоскоростных схем потеря мощности из-за нежелательного излучения является серьезной проблемой, как и другие проблемы, связанные с длинными линиями трассировки на печатных платах, выполняющими роль приемных антенн.

Смотрите также

• Эффективность антенны
• Импеданс свободного пространства

Рекомендации

1. Стро, Р. Дин; и др., ред. (2000). Книга об антеннах ARRL (19-е изд.). Американская лига радиорелейной связи . п. 2.2. ISBN
    0-87259-817-9.
2. Feynman, Leighton & Sands (1963), стр. 32‑1.
3. «Радиационная стойкость». Глоссарий ATIS Telecom . Альянс решений для телекоммуникационной отрасли. 2019 . Проверено 14 мая 2020 г.
4. Ярман, Бинбога С. (2008). Проектирование сверхширокополосных сетей согласования антенн. Springer Science and Business Media. п. 22. ISBN 978-1-4020-8417-1.
5. Kraus (1988), стр. 227–228.
6. Джонсон, Ричард С.; Ясик, Генри, ред. (1984) [1961]. Справочник по проектированию антенн (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 2–12–2–13. LCCN  59-14455.
7. Баланис (2005), с. 10–11.
8. Краус (1988), с. 32.
9. Balanis (2005), стр. 83–85.
10. Краус (1988), с. 50.
11. Сервей, Раймонд; Фон, Джерри; Вуй, Крис (2008). Колледж физики (8-е изд.). Cengage Обучение. п. 714. ИСБН 978-0-495-38693-3.
12. Баланис (2005), стр. 10–11.
13. ван Холтен, Тео (2016). Атомный мир пугает? Это не обязательно так!. Спрингер. стр. 272–274. ISBN 978-94-6239-234-2.
14. Макдональд, Кирк Т. (29 мая 2017 г.). Сила радиационной реакции и радиационная стойкость малых антенн (PDF) . Лаборатория Джозефа Генри Принстонского университета . Проверено 13 мая 2020 г.
15. Эллингсон, Стивен В. (2016). Радиосистемная инженерия. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-316-78516-4.
16. Краус (1988), с. 228.
17. Раух, Том (2004). «Радиационная стойкость». Персональный сайт W8JI . Том Раух . Проверено 12 мая 2020 г.
18. Баланис (2005), с. 179.
19. Уоллес, Ричард; Андреассон, Кристер (2005). Введение в пассивные компоненты ВЧ и СВЧ. Артех Хаус. п. 77. ИСБН 978-1-63081-009-2.
20. Стро, Р. Дин; и др., ред. (20 марта 2007 г.). «Глава 9: Согласование широкополосной антенны». Книга об антеннах ARRL (21-е изд.). Ньюингтон, Коннектикут: Американская лига радиорелейной связи . п. 9-2. ISBN 978-0-87259-987-1.
21. Хуан, И; Бойл, Кевин (2008). Антенны: от теории к практике. Джон Уайли и сыновья. п. 135. ИСБН 978-0-470-77292-8.
22. Штуцман и Тиле (2012), стр. 78–80.
23. Баланис (2005), с. 154.
24. Шмитт (2002), с. 232.

Источники

• Фейнман, Ричард П.; Лейтон, Роберт Б.; Сэндс, Мэтью (1963). Фейнмановские лекции по физике. Том. И. Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-465-04085-8.

• Баланис, Константин А. (2005). Теория антенн: анализ и проектирование, 3-е изд. Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-66782-Х.

• Краус, Джон Д. (1988). Антенны (2-е изд.). Тата МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-463219-1.

• Миллиган, Томас А. (2005). Современный дизайн антенн, 2-е изд. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-45776-3.

• Шмитт, Рон (2002). Объяснение электромагнетизма: Справочник по беспроводной радиочастотной связи, электромагнитной совместимости и высокоскоростной электронике. Ньюнес. ISBN 978-0-7506-7403-4.

• Штуцман, Уоррен Л.; Тиле, Гэри А. (2012). Теория и проектирование антенн. Джон Уайли. ISBN 978-0-470-57664-9.

• Уэстон, Дэвид (2017). Электромагнитная совместимость: принципы и применение (2-е изд.). ЦРК Пресс. ISBN 978-1-351-83049-2.