устойчивость по Ляпунову

Свойство динамической системы, при котором решения вблизи точки равновесия остаются таковыми

Различные типы устойчивости могут обсуждаться для решений дифференциальных уравнений или разностных уравнений, описывающих динамические системы . Наиболее важным типом является тот, который касается устойчивости решений вблизи точки равновесия. Это может обсуждаться в теории Александра Ляпунова . Проще говоря, если решения, которые начинаются вблизи точки равновесия, остаются вблизи навсегда, то устойчиво по Ляпунову . Более строго, если устойчиво по Ляпунову и все решения, которые начинаются вблизи сходятся к , то говорят, что оно асимптотически устойчиво (см. асимптотический анализ ). Понятие экспоненциальной устойчивости гарантирует минимальную скорость затухания, т. е. оценку того, насколько быстро сходятся решения. Идея устойчивости по Ляпунову может быть распространена на бесконечномерные многообразия, где она известна как структурная устойчивость , которая касается поведения различных, но «близких» решений дифференциальных уравнений. Устойчивость по входу в состояние (ISS) применяет понятия Ляпунова к системам со входами. ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle x_{e}}$

История

Устойчивость по Ляпунову названа в честь Александра Михайловича Ляпунова , русского математика, защитившего диссертацию «Общая проблема устойчивости движения» в Харьковском университете в 1892 году. ^[1] А. М. Ляпунов был пионером в успешных попытках разработать глобальный подход к анализу устойчивости нелинейных динамических систем по сравнению с широко распространенным локальным методом их линеаризации относительно точек равновесия. Его работа, первоначально опубликованная на русском языке, а затем переведенная на французский язык, в течение многих лет не привлекала особого внимания. Математическая теория устойчивости движения, созданная А. М. Ляпуновым, значительно опередила время ее внедрения в науку и технику. Более того, сам Ляпунов не занимался прикладными задачами в этой области, его интересовала устойчивость вращающихся жидких масс с астрономическим применением. У него не было аспирантов, которые бы следили за исследованиями в области устойчивости, а его собственная судьба была ужасно трагичной из-за его самоубийства в 1918 году ^{[ требуется ссылка ]} . На несколько десятилетий теория устойчивости канула в полное забвение. Первым, кто осознал невероятную значимость открытия А. М. Ляпунова, был работавший в 1930-х годах в Казанском авиационном институте русский-советский математик и механик Николай Гурьевич Четаев . Вклад в теорию Н. Г. Четаева ^[2] был настолько значителен, что многие математики, физики и инженеры считают его прямым продолжателем и очередным научным потомком Ляпунова в создании и развитии математической теории устойчивости.

Интерес к нему внезапно резко возрос в период Холодной войны , когда так называемый «Второй метод Ляпунова» (см. ниже) оказался применимым к устойчивости аэрокосмических систем наведения , которые обычно содержат сильные нелинейности, не поддающиеся лечению другими методами. Большое количество публикаций появилось тогда и с тех пор в литературе по управлению и системам. ^{[3] [4] [5] [6] [7]} Совсем недавно концепция показателя Ляпунова (связанная с Первым методом Ляпунова для обсуждения устойчивости) получила широкий интерес в связи с теорией хаоса . Методы устойчивости Ляпунова также применялись для поиска равновесных решений в задачах распределения трафика. ^[8]

Определение для систем непрерывного времени

Рассмотрим автономную нелинейную динамическую систему

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x(t)),\;\;\;\;x(0)=x_{0}}$,

где обозначает вектор состояния системы , открытое множество, содержащее начало координат, и является непрерывным векторным полем на . Предположим, что имеет равновесие при , так что тогда ${\displaystyle x(t)\in {\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle f(x_{e})=0}$

1. Это равновесие называется устойчивым по Ляпунову, если для каждого существует такое , что если то для каждого имеем . ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle \|x(t)-x_{e}\|<\epsilon }$
2. Равновесие указанной выше системы называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и существует такое, что если , то . ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$ ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\|x(t)-x_{e}\|=0}$
3. Равновесие указанной выше системы называется экспоненциально устойчивым , если оно асимптотически устойчиво и существуют такие, что если , то для всех . ${\displaystyle \alpha >0,~\beta >0,~\delta >0}$ ${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$ ${\displaystyle \|x(t)-x_{e}\|\leq \alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

Концептуально значения вышеуказанных терминов следующие:

1. Устойчивость равновесия по Ляпунову означает, что решения, начинающиеся «достаточно близко» к равновесию (в пределах некоторого расстояния от него), остаются «достаточно близкими» навсегда (в пределах некоторого расстояния от него). Обратите внимание, что это должно быть верно для любого , который вы захотите выбрать. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$
2. Асимптотическая устойчивость означает, что решения, которые изначально достаточно близки, не только остаются достаточно близкими, но и в конечном итоге сходятся к равновесию.
3. Экспоненциальная устойчивость означает, что решения не просто сходятся, но фактически сходятся быстрее или, по крайней мере, так же быстро, как определенная известная скорость . ${\displaystyle \alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}}$

Траектория (локально) привлекательна , если ${\displaystyle x(t)=\phi (t)}$

${\displaystyle \|x(t)-\phi (t)\|\rightarrow 0}$ как ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

для всех траекторий , начинающихся достаточно близко к , и глобально привлекательных, если это свойство выполняется для всех траекторий. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle \phi (t)}$

То есть, если x принадлежит внутренней части своего устойчивого многообразия , то он асимптотически устойчив, если он одновременно притягивающий и устойчивый. (Существуют примеры, показывающие, что притягиваемость не подразумевает асимптотическую устойчивость. ^{[9] [10] [11]} Такие примеры легко создать, используя гомоклинические связи .)

Если якобиан динамической системы в состоянии равновесия является матрицей устойчивости (т. е. если действительная часть каждого собственного значения строго отрицательна), то равновесие асимптотически устойчиво.

Система отклонений

Вместо того, чтобы рассматривать устойчивость только вблизи точки равновесия (постоянного решения ), можно сформулировать аналогичные определения устойчивости вблизи произвольного решения . Однако можно свести более общий случай к случаю равновесия с помощью замены переменных, называемой «системой отклонений». Определим , подчиняясь дифференциальному уравнению: ${\displaystyle x(t)=x_{e}}$ ${\displaystyle x(t)=\phi (t)}$ ${\displaystyle y=x-\phi (t)}$

${\displaystyle {\dot {y}}=f(t,y+\phi (t))-{\dot {\phi }}(t)=g(t,y)}$.

Это уже не автономная система, но она имеет гарантированную точку равновесия, устойчивость которой эквивалентна устойчивости исходного решения . ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle x(t)=\phi (t)}$

Второй метод Ляпунова для устойчивости

Ляпунов в своей оригинальной работе 1892 года предложил два метода для демонстрации устойчивости . ^[1] Первый метод развивал решение в ряд, который затем был доказан сходящимся в пределах. Второй метод, который теперь называется критерием устойчивости Ляпунова или прямым методом, использует функцию Ляпунова V(x) , которая имеет аналогию с потенциальной функцией классической динамики. Она вводится следующим образом для системы, имеющей точку равновесия в . Рассмотрим функцию такую, что ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle V(x)=0}$ если и только если ${\displaystyle x=0}$
• ${\displaystyle V(x)>0}$ если и только если ${\displaystyle x\neq 0}$
• ${\displaystyle {\dot {V}}(x)={\frac {d}{dt}}V(x)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}f_{i}(x)=\nabla V\cdot f(x)\leq 0}$для всех значений . Примечание: для асимптотической устойчивости требуется . ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle {\dot {V}}(x)<0}$ ${\displaystyle x\neq 0}$

Тогда V(x) называется функцией Ляпунова , и система устойчива в смысле Ляпунова. (Заметим, что требуется; в противном случае, например, «доказал бы», что она локально устойчива.) Дополнительное условие, называемое «правильностью» или «радиальной неограниченностью», требуется для заключения о глобальной устойчивости. Глобальная асимптотическая устойчивость (GAS) следует аналогично. ${\displaystyle V(0)=0}$ ${\displaystyle V(x)=1/(1+|x|)}$ ${\displaystyle {\dot {x}}(t)=x}$

Проще визуализировать этот метод анализа, представив себе физическую систему (например, вибрирующую пружину и массу) и рассмотрев энергию такой системы. Если система со временем теряет энергию и она никогда не восстанавливается, то в конечном итоге система должна остановиться и достичь некоторого конечного состояния покоя. Это конечное состояние называется аттрактором . Однако нахождение функции, которая дает точную энергию физической системы, может быть сложным, и для абстрактных математических систем, экономических систем или биологических систем понятие энергии может быть неприменимо.

Ляпунов пришел к выводу, что устойчивость можно доказать, не требуя знания истинной физической энергии, при условии, что найдется функция Ляпунова , удовлетворяющая вышеуказанным ограничениям.

Определение для систем с дискретным временем

Определение для систем с дискретным временем почти идентично определению для систем с непрерывным временем. Определение ниже обеспечивает это, используя альтернативный язык, обычно используемый в более математических текстах.

Пусть ( X , d ) — метрическое пространство , а f  : X → X — непрерывная функция . Точка x в X называется устойчивой по Ляпунову , если,

${\displaystyle \forall \epsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall y\in X\ \left[d(x,y)<\delta \Rightarrow \forall n\in \mathbf {N} \ d\left(f^{n}(x),f^{n}(y)\right)<\epsilon \right].}$

Мы говорим, что x асимптотически устойчив, если он принадлежит внутренней части своего устойчивого множества , т.е. если,

${\displaystyle \exists \delta >0\left[d(x,y)<\delta \Rightarrow \lim _{n\to \infty }d\left(f^{n}(x),f^{n}(y)\right)=0\right].}$

Устойчивость линейных моделей пространства состояний

Линейная модель пространства состояний

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}=A{\textbf {x}}}$,

где — конечная матрица, асимптотически устойчива (фактически, экспоненциально устойчива ), если все действительные части собственных значений отрицательны . Это условие эквивалентно следующему: ^[12] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{\textsf {T}}M+MA}$

отрицательно определена для некоторой положительно определенной матрицы . (Соответствующая функция Ляпунова — .) ${\displaystyle M=M^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle V(x)=x^{\textsf {T}}Mx}$

Соответственно, дискретная по времени линейная модель пространства состояний

${\displaystyle {\textbf {x}}_{t+1}=A{\textbf {x}}_{t}}$

асимптотически устойчив (фактически, экспоненциально устойчив), если все собственные значения имеют модуль меньше единицы. ${\displaystyle A}$

Последнее условие было обобщено на коммутируемые системы: линейная коммутируемая дискретная система времени (управляемая набором матриц ) ${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$

${\displaystyle {{\textbf {x}}_{t+1}}=A_{i_{t}}{\textbf {x}}_{t},\quad A_{i_{t}}\in \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$

асимптотически устойчив (фактически, экспоненциально устойчив), если совместный спектральный радиус множества меньше единицы. ${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$

Устойчивость систем с входами

Система с входами (или элементами управления) имеет вид

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}={\textbf {f}}({\textbf {x}},{\textbf {u}})}$

где (обычно зависящий от времени) вход u(t) может рассматриваться как управление , внешний вход , стимул , возмущение или функция принуждения . Было показано ^[13] , что вблизи точки равновесия, которая устойчива по Ляпунову, система остается устойчивой при малых возмущениях. Для больших входных возмущений изучение таких систем является предметом теории управления и применяется в технике управления . Для систем с входами необходимо количественно оценить влияние входов на устойчивость системы. Основными двумя подходами к этому анализу являются устойчивость BIBO (для линейных систем ) и устойчивость входа к состоянию (ISS) (для нелинейных систем ).

Пример

Этот пример показывает систему, в которой функция Ляпунова может быть использована для доказательства устойчивости Ляпунова, но не может показать асимптотическую устойчивость. Рассмотрим следующее уравнение, основанное на уравнении осциллятора Ван дер Поля с измененным членом трения:

${\displaystyle {\ddot {y}}+y-\varepsilon \left({\frac {{\dot {y}}^{3}}{3}}-{\dot {y}}\right)=0.}$

Позволять

${\displaystyle x_{1}=y,x_{2}={\dot {y}}}$

так что соответствующая система

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}_{1}=x_{2},\\&{\dot {x}}_{2}=-x_{1}+\varepsilon \left({\frac {x_{2}^{3}}{3}}-{x_{2}}\right).\end{aligned}}}$

Начало координат — единственная точка равновесия. Выберем в качестве функции Ляпунова ${\displaystyle x_{1}=0,\ x_{2}=0}$

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)}$

которая, очевидно, положительно определена . Ее производная равна

${\displaystyle {\dot {V}}=x_{1}{\dot {x}}_{1}+x_{2}{\dot {x}}_{2}=x_{1}x_{2}-x_{1}x_{2}+\varepsilon {\frac {x_{2}^{4}}{3}}-\varepsilon {x_{2}^{2}}=\varepsilon {\frac {x_{2}^{4}}{3}}-\varepsilon {x_{2}^{2}}.}$

Кажется, что если параметр положителен, устойчивость асимптотическая для Но это неверно, так как не зависит от и будет 0 всюду на оси. Равновесие устойчиво по Ляпунову, но не асимптотически устойчиво. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x_{2}^{2}<3.}$ ${\displaystyle {\dot {V}}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$

Лемма Барбалата и устойчивость систем, изменяющихся во времени

Может быть трудно найти функцию Ляпунова с отрицательно определенной производной, как того требует критерий устойчивости Ляпунова, однако функция с отрицательной полуопределенностью может быть доступна. В автономных системах теорема об инвариантном множестве может быть применена для доказательства асимптотической устойчивости, но эта теорема неприменима, когда динамика является функцией времени. ^[14] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\dot {V}}}$

Вместо этого лемма Барбалата допускает анализ этих неавтономных систем в стиле Ляпунова. Лемма мотивирована следующими наблюдениями. Предполагая, что f является функцией только времени:

• Наличие не подразумевает, что имеет предел в . Например, . ${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle f(t)=\sin(\ln(t)),\;t>0}$
• Приближение к пределу не означает, что . Например, . ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$ ${\displaystyle f(t)=\sin \left(t^{2}\right)/t,\;t>0}$
• Имея нижнюю границу и уменьшаясь ( ) подразумевает, что он сходится к пределу. Но это не говорит, так ли это или нет как . ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle {\dot {f}}\leq 0}$ ${\displaystyle {\dot {f}}\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty }$

Лемма Барбалата гласит:

Если имеет конечный предел при и если равномерно непрерывна (достаточным условием равномерной непрерывности является то, что ограничена), то при . ^[15] ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle {\dot {f}}}$ ${\displaystyle {\ddot {f}}}$ ${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty }$

Альтернативная версия выглядит следующим образом:

Пусть и . Если и , то как ^[16] ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$ ${\displaystyle q\in (1,\infty ]}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(0,\infty )}$ ${\displaystyle {\dot {f}}\in L^{q}(0,\infty )}$ ${\displaystyle f(t)\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty .}$

В следующей форме лемма верна и в векторнозначном случае:

Пусть будет равномерно непрерывной функцией со значениями в банаховом пространстве и предположим, что имеет конечный предел при . Тогда при . ^[17] ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{t}f(\tau )\mathrm {d} \tau }$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle f(t)\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty }$

Следующий пример взят со страницы 125 книги Слотина и Ли « Прикладное нелинейное управление» . ^[14]

Рассмотрим неавтономную систему

${\displaystyle {\dot {e}}=-e+g\cdot w(t)}$

${\displaystyle {\dot {g}}=-e\cdot w(t).}$

Это неавтономно, поскольку вход является функцией времени. Предположим, что вход ограничен. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w(t)}$

Взятие дает ${\displaystyle V=e^{2}+g^{2}}$ ${\displaystyle {\dot {V}}=-2e^{2}\leq 0.}$

Это говорит о том, что по первым двум условиям и, следовательно , и ограничены. Но это ничего не говорит о сходимости к нулю, так как является только отрицательно полуопределенной (заметьте, может быть ненулевой при =0) и динамика неавтономна. ${\displaystyle V(t)\leq V(0)}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\dot {V}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\dot {V}}}$

Используя лемму Барбалата:

${\displaystyle {\ddot {V}}=-4e(-e+g\cdot w)}$.

Это ограничено, поскольку , и ограничены. Это подразумевает, что и, следовательно , . Это доказывает, что ошибка сходится. ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\dot {V}}\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle e\to 0}$

Смотрите также

• Функция Ляпунова
• Принцип инвариантности Ла-Саля
• Теорема Ляпунова–Малкина
• Гипотеза Маркуса–Ямабэ
• Орбита точки либрации
• Теорема Хартмана–Гробмана
• Теория возмущений

Ссылки

1. Ляпунов, А. М. Общая задача об устойчивости движения (на русском языке), докторская диссертация, Харьковский ун-т, 1892 г. Английские переводы: (1) Устойчивость движения , Academic Press, Нью-Йорк и Лондон, 1966 г. (2) Общая задача об устойчивости движения , (перевод А. Т. Фуллера) Тейлор и Фрэнсис, Лондон, 1992 г. Включены биография Смирнова и обширная библиография работ Ляпунова.
2. Четаев, Н. Г. Об устойчивых траекториях динамики, Научные записки Казанского ун-та, т. 4 № 1, 1936; Устойчивость движения. Впервые опубликовано на русском языке в 1946 году издательством ОГИЗ. Гос. изд-во технико-теорет. лит., Москва-Ленинград. Перевод Мортона Надлера, Оксфорд, 1961, 200 страниц.
3. Летов, А.М. (1955). Устойчивость нелинейных регулируемых систем . Москва: Гостехиздат.Английский перевод. Принстон, 1961 г.
4. Калман, Р. Э .; Бертрам, Дж. Ф. (1960). «Анализ и проектирование систем управления с помощью «второго метода» Ляпунова: I — Системы с непрерывным временем». Журнал базовой инженерии . 82 (2): 371–393. doi :10.1115/1.3662604.
5. ЛаСалль, Дж. П.; Лефшец , С. (1961). Устойчивость по второму методу Ляпунова с приложениями . Нью-Йорк: Academic Press.
6. Паркс, ПК (1962). "Метод Ляпунова в теории автоматического управления". Управление . I нояб. 1962 II дек. 1962.
7. Калман, Р. Э. (1963). «Функции Ляпунова для задачи Лурье в автоматическом управлении». Proc Natl Acad Sci USA . 49 (2): 201–205. Bibcode :1963PNAS...49..201K. doi : 10.1073/pnas.49.2.201 . PMC 299777. PMID  16591048 . 
8. Смит, М. Дж.; Вистен, М. Б. (1995). «Непрерывная модель распределения ежедневного трафика и существование непрерывного динамического равновесия пользователя». Annals of Operations Research . 60 (1): 59–79. doi :10.1007/BF02031940. S2CID  14034490.
9. Хан, Вольфганг (1967). Устойчивость движения. Springer. стр. 191–194, раздел 40. doi :10.1007/978-3-642-50085-5. ISBN 978-3-642-50087-9.
10. Браун, Филипп; Грюн, Ларс; Келлетт, Кристофер М. (2021). (Не)устойчивость дифференциальных включений: понятия, эквивалентности и характеристики, подобные Ляпунову. Springer. стр. 19–20, пример 2.18. doi :10.1007/978-3-030-76317-6. ISBN 978-3-030-76316-9. S2CID  237964551.
11. Виноград, Р. Э. (1957). «Непригодность метода характеристических показателей для исследования нелинейных дифференциальных уравнений». Доклады Академии наук . 114 (2): 239–240.
12. Го, Б.С. (1977). «Глобальная стабильность в многовидовых системах». The American Naturalist . 111 (977): 135–143. doi :10.1086/283144. S2CID  84826590.
13. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения, Москва, 1952 (Гостехиздат), Гл. II, п. 4 (рус.) Англ. пер., Language Service Bureau, Washington AEC -tr-3352; первоначально Об устойчивости при постоянно действующих возмущениях Прикл. мат., 1944, т. 8, № 3, с. 241-245 (рус.); Амер. мат. общ. пер., № 8
14. Slotine, Жан-Жак Э.; Вэйпин Ли (1991). Прикладное нелинейное управление . Нью-Джерси: Прентис Холл.
15. И. Барбэлат, Системы дифференциальных уравнений нелинейных колебаний, Rev. Math. Приложение Pures. 4 (1959) 267–270, с. 269.
16. Б. Фаркаш и др., Вариации на тему леммы Барбалата, Amer. Math. Monthly (2016) 128, № 8, 825-830, DOI: 10.4169/amer.math.monthly.123.8.825, стр. 827.
17. Б. Фаркаш и др., Вариации на тему леммы Барбалата, Amer. Math. Monthly (2016) 128, № 8, 825-830, DOI: 10.4169/amer.math.monthly.123.8.825, стр. 826.

Дальнейшее чтение

• Бхатия, Нам Паршад; Сегё, Джорджио П. (2002). Теория устойчивости динамических систем . Springer. ISBN 978-3-540-42748-3.
• Червин, Роберт (1971). Устойчивость по Ляпунову и управление с обратной связью двухпотоковыми плазменными системами (PhD). Колумбийский университет.
• Гандольфо, Джанкарло (1996). Экономическая динамика (третье изд.). Берлин: Springer. С. 407–428. ISBN 978-3-540-60988-9.
• Паркс, ПК (1992). «Теория устойчивости А. М. Ляпунова — 100 лет спустя». Журнал IMA по математическому управлению и информации . 9 (4): 275–303. doi :10.1093/imamci/9.4.275.
• Слотин, Жан-Жак Э.; Вэйпин Ли (1991). Прикладное нелинейное управление . Нью-Джерси: Прентис Холл.
• Тешль, Г. (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Виггинс, С. (2003). Введение в прикладные нелинейные динамические системы и хаос (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN 978-0-387-00177-7.

В данной статье использованы материалы из asymptotically stable на PlanetMath , которые лицензированы в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .