фактор Лоренца

Величина в релятивистской физике

Определение фактора Лоренца γ

Фактор Лоренца или член Лоренца (также известный как гамма-фактор ^[1] ) — это величина, выражающая, насколько сильно изменяются измерения времени, длины и других физических свойств объекта при его движении. Выражение появляется в нескольких уравнениях специальной теории относительности и возникает при выводе преобразований Лоренца . Название происходит от его более раннего появления в лоренцевской электродинамике — названной в честь голландского физика Хендрика Лоренца . ^[2]

Обычно обозначается как γ (греческая строчная буква гамма ). Иногда (особенно при обсуждении сверхсветового движения ) фактор записывается как Γ (греческая заглавная -гамма), а не как γ .

Определение

Фактор Лоренца γ определяется как ^[3], где: $${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\sqrt {\frac {c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}}={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }},}$$

• v — относительная скорость между инерциальными системами отсчета,
• c — скорость света в вакууме,
• β — отношение v к c ,
• t — координатное время ,
• τ — собственное время для наблюдателя (измерение интервалов времени в собственной системе отсчета наблюдателя).

Это наиболее часто используемая на практике форма, хотя и не единственная (альтернативные формы см. ниже).

Чтобы дополнить определение, некоторые авторы определяют обратную величину ^[4] см. формулу сложения скоростей . $${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\gamma }}={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\ ={\sqrt {1-{\beta }^{2}}};}$$

Происшествие

Ниже приведен список формул из специальной теории относительности, в которых γ используется в качестве сокращения: ^{[3] [5]}

• Преобразование Лоренца : простейший случай — это усиление в направлении x (более общие формы, включая произвольные направления и вращения, здесь не перечисленные), которое описывает, как пространственно-временные координаты изменяются от одной инерциальной системы отсчета с использованием координат ( x , y , z , t ) к другой ( x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) с относительной скоростью v : $${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\tfrac {vx}{c^{2}}}\right),\\[1ex]x'&=\gamma \left(x-vt\right).\end{aligned}}}$$

Следствиями вышеприведенных преобразований являются результаты:

• Замедление времени : время ( ∆ t ′ ) между двумя тиками, измеренное в системе отсчета, в которой движутся часы, больше, чем время ( ∆ t ) между этими тиками, измеренное в системе отсчета, в которой часы находятся в состоянии покоя: $${\displaystyle \Delta t'=\gamma \Delta t.}$$
• Сокращение длины : длина ( ∆ x ′ ) объекта, измеренная в системе, в которой он движется, короче его длины ( ∆ x ) в его собственной системе отсчета покоя: $${\displaystyle \Delta x'=\Delta x/\gamma .}$$

Применение закона сохранения импульса и энергии приводит к следующим результатам:

• Релятивистская масса : масса m движущегося объекта зависит оти массы покоя m 0 _: ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle m=\gamma m_{0}.}$$
• Релятивистский импульс : соотношение релятивистского импульса принимает ту же форму, что и для классического импульса, но с использованием указанной выше релятивистской массы: $${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}=\gamma m_{0}{\vec {v}}.}$$
• Релятивистская кинетическая энергия : Соотношение релятивистской кинетической энергии принимает слегка измененную форму:Посколькуявляется функцией, нерелятивистский предел дает, как и ожидалось из ньютоновских соображений. $${\displaystyle E_{k}=E-E_{0}=(\gamma -1)m_{0}c^{2}}$$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\tfrac {v}{c}}}$ ${\textstyle \lim _{v/c\to 0}E_{k}={\tfrac {1}{2}}m_{0}v^{2}}$

Числовые значения

Фактор Лоренца γ как функция доли заданной скорости и скорости света. Его начальное значение равно 1 (когда v = 0 ); и по мере приближения скорости к скорости света ( v → c ) γ неограниченно возрастает ( γ → ∞).

α (обратный фактор Лоренца) как функция скорости — дуга окружности

В таблице ниже левый столбец показывает скорости как различные доли скорости света (т.е. в единицах c ). Средний столбец показывает соответствующий фактор Лоренца, последний является обратной величиной. Значения, выделенные жирным шрифтом, являются точными.

Альтернативные представления

Существуют и другие способы записи фактора. Выше использовалась скорость v , но связанные переменные, такие как импульс и быстрота, также могут быть удобными.

Импульс

Решение предыдущего уравнения релятивистского импульса для γ приводит к Эта форма используется редко, хотя она появляется в распределении Максвелла-Юттнера . ^[6] $${\displaystyle \gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}\,.}$$

Быстрота

Применение определения скорости как гиперболического угла : ^[7] также приводит к γ (используя гиперболические тождества ): ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle \tanh \varphi =\beta }$$ $${\displaystyle \gamma =\cosh \varphi ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\varphi }}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.}$$

Используя свойство преобразования Лоренца , можно показать, что быстрота аддитивна, полезное свойство, которого нет у скорости. Таким образом, параметр быстроты образует однопараметрическую группу , основу для физических моделей.

Функция Бесселя

Тождество Банни представляет фактор Лоренца в терминах бесконечного ряда функций Бесселя : ^[8] $${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left(J_{m-1}^{2}(m\beta )+J_{m+1}^{2}(m\beta )\right)={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.}$$

Расширение ряда (скорость)

Фактор Лоренца имеет ряд Маклорена : который является частным случаем биномиального ряда . $${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\dfrac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\[1ex]&=\sum _{n=0}^{\infty }\beta ^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)\\[1ex]&=1+{\tfrac {1}{2}}\beta ^{2}+{\tfrac {3}{8}}\beta ^{4}+{\tfrac {5}{16}}\beta ^{6}+{\tfrac {35}{128}}\beta ^{8}+{\tfrac {63}{256}}\beta ^{10}+\cdots ,\end{aligned}}}$$

Приближение может быть использовано для расчета релятивистских эффектов на малых скоростях. Оно выполняется с погрешностью 1% для v  < 0,4  c ( v  < 120 000 км/с) и с погрешностью 0,1% для v  < 0,22  c ( v  < 66 000 км/с). ${\textstyle \gamma \approx 1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}}$

Усеченные версии этой серии также позволяют физикам доказать, что специальная теория относительности сводится к ньютоновской механике на низких скоростях. Например, в специальной теории относительности справедливы следующие два уравнения:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &=\gamma m\mathbf {v} ,\\E&=\gamma mc^{2}.\end{aligned}}}$$

Для и , соответственно, они сводятся к своим ньютоновским эквивалентам: ${\displaystyle \gamma \approx 1}$ ${\textstyle \gamma \approx 1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &=m\mathbf {v} ,\\E&=mc^{2}+{\tfrac {1}{2}}mv^{2}.\end{aligned}}}$$

Уравнение фактора Лоренца также можно инвертировать, чтобы получить: Оно имеет асимптотическую форму $${\displaystyle \beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}.}$$ $${\displaystyle \beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots \,.}$$

Первые два члена иногда используются для быстрого вычисления скоростей из больших значений γ . Приближение выполняется с точностью 1% для γ > 2 и с точностью 0,1% для γ > 3,5 . ${\textstyle \beta \approx 1-{\frac {1}{2}}\gamma ^{-2}}$

Применение в астрономии

Стандартная модель длительных гамма-всплесков (GRB) утверждает, что эти взрывы являются ультрарелятивистскими (начальный γ больше примерно 100), что привлекается для объяснения так называемой проблемы «компактности»: в отсутствие этого ультрарелятивистского расширения выбросы были бы оптически толстыми для образования пар при типичных пиковых спектральных энергиях в несколько сотен кэВ, тогда как мгновенное излучение, как наблюдается, является нетепловым. ^[9]

Мюоны , субатомные частицы, движутся с такой скоростью, что имеют относительно высокий фактор Лоренца и, следовательно, испытывают экстремальное замедление времени . Поскольку среднее время жизни мюонов составляет всего 2,2  мкс , мюоны, образующиеся в результате столкновений космических лучей на высоте 10 км (6,2 мили) в атмосфере Земли, не должны обнаруживаться на земле из-за скорости их распада. Однако примерно 10% мюонов от этих столкновений все еще обнаруживаются на поверхности, тем самым демонстрируя влияние замедления времени на скорость их распада. ^[10]

Смотрите также

• Инерциальная система отсчета
• Правильная скорость
• Псевдобыстрота

Ссылки

1. "Гамма-фактор". webs.morningside.edu . Получено 2024-01-14 .
2. Тайсон, Нил Деграсс ; Лю, Чарльз Цун-Чу ; Ирион, Роберт. «Специальная теория относительности». Одна Вселенная . Национальные академии наук, инженерии и медицины . Архивировано из оригинала 25.07.2021 . Получено 06.01.2024 .
3. Forshaw, Jeffrey; Smith, Gavin (2014). Динамика и теория относительности. John Wiley & Sons . ISBN 978-1-118-93329-9.
4. Яаков Фридман, Физические применения однородных шаров , Progress in Mathematical Physics 40 Birkhäuser, Бостон, 2004, страницы 1-21.
5. Янг; Фридман (2008). Университетская физика Сирса и Земанского (12-е изд.). Pearson Ed. & Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-50130-1.
6. Синг, Дж. Л. (1957). Релятивистский газ. Серия по физике. Северная Голландия. LCCN 57-003567
7. Кинематика. Архивировано 21 ноября 2014 г. на Wayback Machine , автор JD Jackson . Определение скорости см. на стр. 7.
8. Кэмерон Р. Д. Банни и Йорма Луко, класс 2023 года. Квантовая гравитация. 40 155001
9. Cenko, SB; et al. (2015). "iPTF14yb: Первое открытие послесвечения гамма-всплеска, независимого от высокоэнергетического триггера". Astrophysical Journal Letters . 803 (L24): 803. arXiv : 1504.00673 . Bibcode :2015ApJ...803L..24C. ​​doi :10.1088/2041-8205/803/2/L24.
10. "Мюонный эксперимент в теории относительности". HyperPhysics.Phy-Astr.GSU.edu . Получено 2024-01-06 .

Внешние ссылки

• Меррифилд, Майкл. "γ – Лоренц-фактор (и замедление времени)". Шестьдесят символов . Брэди Харан для Ноттингемского университета .
• Меррифилд, Майкл. «γ2 – Gamma Reloaded». Шестьдесят символов . Брэди Харан для Ноттингемского университета .