Модуль частного

Алгебраическая конструкция

В алгебре , если заданы модуль и подмодуль , можно построить их фактор-модуль . ^{[1] [2]} Эта конструкция, описанная ниже, очень похожа на конструкцию фактор-векторного пространства . ^[3] Она отличается от аналогичных фактор-конструкций колец и групп тем, что в этих случаях подпространство , которое используется для определения фактора, не имеет той же природы, что и объемлющее пространство (то есть фактор-кольцо является фактором кольца по идеалу , а не подкольцу , а фактор-группа является фактором группы по нормальной подгруппе , а не по общей подгруппе ).

Если задан модуль A над кольцом R и подмодуль B модуля A , то факторпространство A / B определяется отношением эквивалентности

${\displaystyle a\sim b}$ если и только если ${\displaystyle b-a\in B,}$

для любых a, b из A. ^[4] Элементы A / B являются классами эквивалентности . Функция , переводящая a из A в его класс эквивалентности a + B, называется отображением факторизации или отображением проекции и является гомоморфизмом модулей . ${\displaystyle [a]=a+B=\{a+b:b\in B\}.}$ ${\displaystyle \pi :A\to A/B}$

Операция сложения на A / B определяется для двух классов эквивалентности как класс эквивалентности суммы двух представителей из этих классов; и скалярное умножение элементов A / B на элементы R определяется аналогично. Обратите внимание, что необходимо показать, что эти операции корректно определены . Тогда A / B сам становится R -модулем, называемым фактором-модулем . В символах для всех a, b в A и r в R :

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a+B)+(b+B):=(a+b)+B,\\&r\cdot (a+B):=(r\cdot a)+B.\end{aligned}}}$

Примеры

Рассмотрим кольцо многочленов , ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ с действительными коэффициентами , и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ -модуль . Рассмотрим подмодуль ${\displaystyle A=\mathbb {R} [X],}$

${\displaystyle B=(X^{2}+1)\mathbb {R} [X]}$

A , то есть подмодуль всех многочленов, делящихся на X ² + 1 . Отсюда следует , что отношение эквивалентности, определяемое этим модулем, будет

P ( X ) ~ Q ( X ) тогда и только тогда, когда P ( X ) и Q ( X ) дают одинаковый остаток при делении на ^X2 + 1 .

Следовательно, в фактор-модуле A / B , X ² + 1 равно 0; поэтому можно рассматривать A / B как полученное из ⁠ ⁠, ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ установив X ² + 1 = 0. Этот фактор-модуль изоморфен комплексным числам , рассматриваемым как модуль над действительными числами ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Смотрите также

• Факторная группа
• Кольцо-частное
• Частное (универсальная алгебра)

Ссылки

1. Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9.
2. Ланг, Серж (2002). Алгебра . Выпускные тексты по математике . Springer . ISBN 0-387-95385-X.
3. Роман, Стивен (2008). Расширенная линейная алгебра (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer Science + Business Media. стр. 117. ISBN 978-0-387-72828-5.
4. Роман 2008, стр. 118 Теорема 4.7