Фиктивная сила

Примените силу к объектам, движущимся в системе отсчета, которая вращается относительно инерциальной системы отсчета.

Фиктивная сила — это сила , которая, по-видимому, действует на массу, движение которой описывается с использованием неинерциальной системы отсчета , такой как линейно ускоряющаяся или вращающаяся система отсчета . ^[1] Для поддержания справедливости и, следовательно, использования второго закона движения Ньютона в системах отсчета, которые не являются инерциальными, используются фиктивные силы. ^[2]

Пассажиры в транспортном средстве, ускоряющемся в направлении вперед, могут почувствовать, что на них действует сила, перемещающая их, например, в направлении спинок сидений. Примером вращающейся системы отсчета может быть впечатление, что это сила, которая, кажется, перемещает объекты наружу к краю центрифуги или карусели.

Фиктивную силу, называемую псевдосилой, можно также назвать объемной силой . Это происходит из-за инерции объекта , когда система отсчета больше не движется по инерции, а начинает ускоряться относительно свободного объекта. На примере легкового автомобиля псевдосила кажется активной непосредственно перед тем, как тело касается спинки сиденья в автомобиле. Наклонившийся вперед человек в автомобиле сначала отодвигается немного назад по отношению к уже ускоряющемуся автомобилю, прежде чем коснуться спинки сиденья. Кажется, что движение в этот короткий период является результатом воздействия на человека силы; т.е. это псевдосила. Псевдосила не возникает в результате какого-либо физического взаимодействия между двумя объектами, такого как электромагнетизм или контактные силы. Это всего лишь следствие ускорения физического объекта, с которым связана неинерциальная система отсчета , то есть в данном случае транспортного средства. С точки зрения соответствующей ускоряющейся системы отсчета ускорение инертного объекта кажется присутствующим, очевидно, требующим «силы», чтобы это произошло.

Как заявил Иро: ^[3]

Такая дополнительная сила, возникающая из-за неравномерного относительного движения двух систем отсчета, называется псевдосилой .

-  Харальд Иро в «Современном подходе к классической механике » с. 180

Псевдосила, действующая на объект, возникает как воображаемое воздействие, когда система отсчета, используемая для описания движения объекта, ускоряется по сравнению с неускоряющейся системой отсчета. Псевдосила «объясняет», используя механику второго закона Ньютона, почему объект не подчиняется второму закону Ньютона и «плавает свободно», как будто невесомый. Как рамка может ускоряться любым произвольным образом, так и псевдосилы могут быть столь же произвольными (но только в прямой реакции на ускорение рамки). Примером псевдосилы, определенной Иро, является сила Кориолиса , которую, возможно, лучше называть эффектом Кориолиса. ^{[4] [5] [6]} Гравитационная сила также будет фиктивной силой (псевдосилой), основанной на модели поля, в которой частицы искажают пространство-время из-за своей массы, например, в общей теории относительности .

Если принять второй закон Ньютона в виде F  =  m a , то фиктивные силы всегда пропорциональны массе m .

Фиктивную силу, которая была названа силой инерции ^{[7] [8] [9],} также называют силой Даламбера , ^{[10] [11]} или иногда псевдосилой. ^[12] Принцип Даламбера — это всего лишь еще один способ формулировки второго закона движения Ньютона. Он определяет силу инерции как отрицательное произведение массы на ускорение, просто для упрощения вычислений.

(Силу Даламбера не следует путать с контактной силой , возникающей в результате физического взаимодействия между двумя объектами, которая является предметом третьего закона Ньютона – «действие есть противодействие ». ^{[13] [14]} В терминах примера В пассажирском автомобиле, изображенном выше, контактная сила возникает, когда тело пассажира касается спинки сиденья в автомобиле. Она присутствует до тех пор, пока автомобиль ускоряется.)

Для кадров, ускоренных обычными способами, были определены четыре фиктивные силы:

• вызванное любым ускорением относительно начала координат по прямой (прямолинейное ускорение ); ^[15]
• два, связанные с вращением: центробежная сила и эффект Кориолиса.
• и четвертая, называемая силой Эйлера , вызванная переменной скоростью вращения, если это произойдет.

Фон

Роль фиктивных сил в механике Ньютона описывает Тоннела : ^[16]

Для Ньютона появление ускорения всегда указывает на существование абсолютного движения – абсолютного движения материи, когда речь идет о реальных силах; абсолютное движение системы отсчета, когда речь идет о так называемых фиктивных силах, таких как силы инерции или силы Кориолиса.

-  Мария-Антуанетта Тоннела в «Принципах электромагнитной теории и теории относительности» , стр.113.

Фиктивные силы возникают в классической механике и специальной теории относительности во всех неинерциальных системах отсчета. Инерциальные системы отсчета имеют преимущество перед неинерциальными, поскольку в них нет физики, причины которой находятся вне системы, в отличие от неинерциальных систем. Фиктивные силы, или физика, причина которой находится вне системы, больше не нужны в общей теории относительности , поскольку эта физика объясняется геодезическими пространства - времени : «Поле всех возможных пространственно-временных нулевых геодезических или фотонных путей объединяет абсолютную локальную стандарт невращения в пространстве-времени.». ^[17]

На земле

Поверхность Земли представляет собой вращающуюся систему отсчета . Для решения задач классической механики именно в земной системе отсчёта необходимо ввести три фиктивные силы: силу Кориолиса , центробежную силу (описанную ниже) и силу Эйлера . Силой Эйлера обычно пренебрегают, поскольку изменения угловой скорости вращающейся поверхности Земли обычно незначительны. Обе другие фиктивные силы слабы по сравнению с большинством типичных сил повседневной жизни, но их можно обнаружить при определенных условиях. Например, Леон Фуко использовал свой маятник Фуко , чтобы показать, что сила Кориолиса возникает в результате вращения Земли. Если бы Земля вращалась в двадцать раз быстрее (чтобы каждый день длился всего ~72 минуты), у людей могло бы легко сложиться впечатление, что такие фиктивные силы тянут их, как вращающуюся карусель; людям в умеренных и тропических широтах фактически придется держаться, чтобы избежать запуска на орбиту центробежной силой.

Обнаружение неинерциальной системы отсчета

Наблюдатели внутри закрытого ящика, движущегося с постоянной скоростью , не могут обнаружить собственное движение; однако наблюдатели в ускоряющейся системе отсчета могут обнаружить, что они находятся в неинерциальной системе отсчета, по возникающим фиктивным силам. Например, для прямолинейного ускорения Владимир Арнольд представляет следующую теорему: ^[18]

В системе координат K , которая движется поступательно относительно инерциальной системы k , движение механической системы происходит так, как если бы система координат была инерциальной, но на каждую точку массы m действовала дополнительная «сила инерции»: F  = − m a , где a - ускорение системы K .

Другие ускорения также порождают фиктивные силы, математически описанные ниже. Физическое объяснение движений в инерциальной системе отсчета является самым простым и не требует фиктивных сил: фиктивные силы равны нулю, что дает возможность отличить инерциальные системы от других. ^[19]

Примером обнаружения неинерциальной вращающейся системы отсчета является прецессия маятника Фуко . В неинерциальной системе отсчета Земли для объяснения наблюдений необходима фиктивная сила Кориолиса . В инерциальной системе отсчета вне Земли такая фиктивная сила не нужна.

Пример, касающийся кругового движения

В инерциальной системе отсчета (верхняя часть изображения) черный шар движется прямолинейно. Однако наблюдатель (коричневая точка), который стоит во вращающейся/неинерциальной системе отсчета (нижняя часть изображения), видит, что объект следует по искривленной траектории из-за кориолиса или центробежных сил, присутствующих в этом кадре.

Эффект фиктивной силы возникает и при повороте автомобиля . При наблюдении из неинерциальной системы отсчета, прикрепленной к автомобилю, появляется фиктивная сила, называемая центробежной силой . Когда автомобиль входит в левый поворот, чемодан сначала на левом заднем сиденье соскальзывает на правое заднее сиденье, а затем продолжает движение до тех пор, пока не соприкоснется с закрытой дверью справа. Это движение отмечает фазу фиктивной центробежной силы, поскольку именно инерция чемодана играет роль в этом движении. Может показаться, что за это движение должна быть какая-то сила, но на самом деле это движение возникает из-за инерции чемодана, который (пока) является «свободным объектом» в уже ускоряющейся системе отсчета. После соприкосновения чемодана с закрытой дверью автомобиля ситуация с возникновением контактных сил становится актуальной. Центростремительная сила, действующая на автомобиль, теперь переносится и на чемодан, и в игру вступает ситуация третьего закона Ньютона, где центростремительная сила выступает в качестве части действия, а так называемая реактивная центробежная сила — в качестве части противодействия. Реактивная центробежная сила также возникает из-за инерции чемодана. Однако теперь инерция выступает в виде проявляющегося сопротивления изменению состояния своего движения. ^[20]

Предположим, что через несколько миль автомобиль снова и снова движется с постоянной скоростью по круговому перекрестку, тогда пассажиры будут чувствовать, как будто их выталкивает наружу автомобиля (реактивная) центробежная сила, в сторону от центра автомобиля. поворот.

Ситуацию можно рассматривать как с инерциальной, так и с неинерциальной системы координат.

• С точки зрения инерциальной системы отсчета, неподвижной относительно дороги, автомобиль ускоряется к центру круга. Он ускоряется, потому что направление скорости меняется, несмотря на то, что автомобиль имеет постоянную скорость. Это ускорение внутрь называется центростремительным ускорением . Для поддержания кругового движения требуется центростремительная сила . Эта сила действует на колеса со стороны земли, в данном случае за счет трения между колесами и дорогой. ^[21] Автомобиль ускоряется из-за неуравновешенной силы, которая заставляет его двигаться по кругу. (См. также поворот с креном .)
• С точки зрения вращающейся рамы, движущейся вместе с автомобилем, кажется, что присутствует фиктивная центробежная сила, толкающая автомобиль к внешней стороне дороги (и толкающая пассажиров к внешней стороне автомобиля). Центробежная сила уравновешивает трение между колесами и дорогой, делая автомобиль неподвижным в этой неинерциальной системе координат.

Классическим примером фиктивной силы в круговом движении является эксперимент с вращающимися сферами , связанными шнуром и вращающимися вокруг своего центра масс. В этом случае идентификация вращающейся неинерциальной системы отсчета может быть основана на исчезновении фиктивных сил. В инерциальной системе отсчета фиктивные силы не нужны для объяснения натяжения нити, соединяющей сферы. Во вращающейся системе отсчета необходимо ввести Кориолиса и центробежные силы, чтобы предсказать наблюдаемое напряжение.

Во вращающейся системе отсчета, воспринимаемой на поверхности Земли, центробежная сила уменьшает видимую силу тяжести примерно на одну тысячную, в зависимости от широты. Это снижение равно нулю на полюсах и максимально на экваторе .

Фиктивная сила Кориолиса , которая наблюдается во вращательных кадрах, обычно видна только в очень крупномасштабном движении, таком как движение снаряда дальнобойных орудий или циркуляция земной атмосферы (см. число Россби ). Если пренебречь сопротивлением воздуха, объект, сброшенный с 50-метровой башни на экваторе, упадет на 7,7 миллиметра к востоку от места падения из-за силы Кориолиса. ^[22]

Фиктивные силы и работа

Фиктивные силы можно считать совершающими работу при условии, что они перемещают объект по траектории , меняющей его энергию с потенциальной на кинетическую . Например, представьте себе людей, сидящих на вращающихся стульях и держащих в вытянутых руках гирю. Если они потянут руку внутрь, к своему телу с точки зрения вращающейся системы отсчета, они совершят работу против центробежной силы. Когда груз отпускается, он самопроизвольно вылетает наружу относительно вращающейся системы отсчета, поскольку центробежная сила действует на объект, преобразуя его потенциальную энергию в кинетическую. С инерционной точки зрения, конечно, объект улетает от них, потому что ему внезапно позволено двигаться по прямой. Это показывает, что совершенная работа, как и полная потенциальная и кинетическая энергия объекта, может быть разной в неинерциальной системе отсчета, чем в инерциальной.

Гравитация как фиктивная сила

Понятие «фиктивной силы» также возникает в общей теории относительности Эйнштейна . ^{[23] [24]} Все фиктивные силы пропорциональны массе объекта, на который они действуют, что также верно и для гравитации . ^{[25] [26]} Это заставило Альберта Эйнштейна задаться вопросом, можно ли смоделировать гравитацию как фиктивную силу. Он отметил, что свободно падающий наблюдатель в закрытом ящике не сможет обнаружить силу гравитации; следовательно, свободнопадающие системы отсчета эквивалентны инерциальным системам отсчета ( принцип эквивалентности ). Развивая это понимание, Эйнштейн сформулировал теорию, рассматривающую гравитацию как фиктивную силу, и объяснил кажущееся ускорение силы тяжести искривлением пространства - времени . Эта идея лежит в основе общей теории относительности Эйнштейна . См. эксперимент Этвёша .

Математический вывод фиктивных сил

Рисунок 2: Объект, расположенный в точке x _A в инерциальной системе отсчета A , находится в точке x _B в ускоряющейся системе отсчета B. Начало кадра B находится в точке _XAB в кадре A. Ориентация кадра B определяется единичными векторами вдоль его координатных направлений u _j с j = 1, 2, 3. Используя эти оси, координаты объекта согласно кадру B равны x _B = ( x ₁ , x ₂ , х ₃ ).

Общий вывод

Многие задачи требуют использования неинерциальных систем отсчета, например, связанные со спутниками ^{[28] [29]} и ускорителями частиц. ^[30] На рисунке 2 показана частица с массой m и вектором положения x _A ( t ) в определенной инерциальной системе отсчета A. Рассмотрим неинерциальную систему отсчета B, начало координат которой относительно инерциальной задается X _AB ( t ). Пусть положение частицы в системе B будет x _B ( t ). Какова сила, действующая на частицу, выраженная в системе координат B? ^{[31] [32]}

Чтобы ответить на этот вопрос, пусть ось координат в B будет представлена ​​единичными векторами u _j с j любым из { 1, 2, 3 } для трех координатных осей. Затем

${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {B} }=\sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}\,.}$

Интерпретация этого уравнения заключается в том, что x _B — векторное смещение частицы, выраженное через координаты в системе отсчета B в момент времени t . В кадре А частица находится по адресу:

${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {A} }=\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}\,.}$

Кроме того, единичные векторы {  u _j  } не могут изменить величину, поэтому производные этих векторов выражают только вращение системы координат B. С другой стороны, вектор X _AB просто определяет начало координат B относительно кадра A, и поэтому не может включать вращение кадра B.

Взяв производную по времени, скорость частицы составит:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}={\frac {d\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx_{j}}{dt}}\mathbf {u} _{j}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}\,.}$

Суммирование второго члена представляет собой скорость частицы, скажем, v _B , измеренную в системе отсчета B. То есть:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}=\mathbf {v} _{\mathrm {AB} }+\mathbf {v} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}.}$

Интерпретация этого уравнения заключается в том, что скорость частицы, видимая наблюдателями в системе отсчета A, состоит из того, что наблюдатели в системе отсчета B называют скоростью, а именно v _B , плюс два дополнительных члена, связанных со скоростью изменения координатных осей системы B. . Одна из них — это просто скорость движущегося начала координат v _AB . Другой - это вклад в скорость из-за того, что разные места в неинерциальной системе отсчета имеют разные кажущиеся скорости из-за вращения системы отсчета; точка, видимая из вращающейся системы отсчета, имеет вращательную составляющую скорости, которая тем больше, чем дальше точка находится от начала координат.

Чтобы найти ускорение, необходимо еще одно дифференцирование по времени:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+{\frac {d\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx_{j}}{dt}}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}.}$

Используя ту же формулу, которая уже использовалась для производной по времени x _B , производная скорости справа равна:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{dt}}=\sum _{j=1}^{3}{\frac {dv_{j}}{dt}}\mathbf {u} _{j}+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}.}$

Следовательно,

Интерпретация этого уравнения следующая: ускорение частицы в системе отсчета A состоит из того, что наблюдатели в системе отсчета B называют ускорением частицы a _B , но, кроме того, существуют три члена ускорения, связанные с движением координаты системы отсчета B. оси: один член, относящийся к ускорению начала координат B, а именно a _AB , и два члена, относящиеся к вращению системы B. Следовательно, наблюдатели в B будут видеть движение частицы как обладающее «дополнительным» ускорением, которое они будут приписывают «силам», действующим на частицу, но которые, по мнению наблюдателей в системе А, являются «фиктивными» силами, возникающими просто потому, что наблюдатели в системе B не осознают неинерциальную природу системы B.

Двойной коэффициент силы Кориолиса возникает из-за двух равных вкладов: (i) кажущегося изменения инерционно постоянной скорости со временем, поскольку при вращении кажется, что направление скорости меняется (член a d v B _/ d t ) и ( ii) кажущееся изменение скорости объекта при изменении его положения, приближая его к оси вращения или удаляя его от нее (изменение из-за _{изменения} xj ) . ${\textstyle \sum x_{j}\,d\mathbf {u} _{j}/dt}$

Говоря языком сил, ускорения умножаются на массу частицы:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {A} }=\mathbf {F} _{\mathrm {B} }+m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+2m\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+m\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\ .}$

Сила, наблюдаемая в системе B, F _B = m a _B , связана с фактической силой, действующей на частицу, F _A , соотношением

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {B} }=\mathbf {F} _{\mathrm {A} }+\mathbf {F} _{\mathrm {fictitious} },}$

где:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fictitious} }=-m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }-2m\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}-m\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\,.}$

Таким образом, проблемы в системе B можно решить, если предположить, что выполняется второй закон Ньютона (относительно величин в этой системе отсчета) и рассматривать F _{фиктивную} как дополнительную силу. ^{[18] [33] [34]}

Ниже приведен ряд примеров применения этого результата для фиктивных сил. Больше примеров можно найти в статье о центробежной силе .

Вращающиеся системы координат

Обычная ситуация, в которой полезны неинерциальные системы отсчета, — это когда система отсчета вращается. Поскольку такое вращательное движение является неинерционным, из-за ускорения, присутствующего в любом вращательном движении, всегда можно вызвать фиктивную силу, используя вращательную систему отсчета. Несмотря на эту сложность, использование фиктивных сил часто упрощает необходимые расчеты.

Для вывода выражений для фиктивных сил необходимы производные кажущейся во времени скорости изменения векторов, учитывающие изменение во времени осей координат. Если вращение системы «B» представлено вектором Ω , направленным вдоль оси вращения с ориентацией, заданной правилом правой руки , и с величиной, заданной выражением

${\displaystyle |{\boldsymbol {\Omega }}|={\frac {d\theta }{dt}}=\omega (t),}$

тогда производная по времени любого из трех единичных векторов, описывающих кадр B, равна ^{[33] [35]}

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{j}(t)}{dt}}={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t),}$

и

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}(t)}{dt^{2}}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\frac {d\mathbf {u} _{j}(t)}{dt}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)\right],}$

что проверяется с использованием свойств векторного векторного произведения . Эти производные формулы теперь применяются к взаимосвязи между ускорением в инерциальной системе координат и в системе координат, вращающейся с изменяющейся во времени угловой скоростью ω( t ). Из предыдущего раздела, где индекс A относится к инерциальной системе отсчета, а B — к вращающейся системе отсчета, установка _AB = 0 для удаления любого поступательного ускорения и сосредоточение внимания только на вращательных свойствах (см. уравнение 1):

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2\sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} _{\mathrm {A} }&=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+\ 2\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}\ +\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)\right]\\&=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}v_{j}\mathbf {u} _{j}(t)+{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}(t)\right].\end{aligned}}}$

Собирая члены, результатом является так называемая формула преобразования ускорения : ^[36]

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {A} }=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }+{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }\right)\,.}$

Физическое ускорение a _A , обусловленное тем, что наблюдатели в инерциальной системе отсчета A называют реальными внешними силами, действующими на объект, является, следовательно, не просто ускорением a _B , наблюдаемым наблюдателями во вращательной системе B, но имеет несколько дополнительных членов геометрического ускорения, связанных с вращение B. Как видно из системы вращения, ускорение a _B частицы определяется перестановкой приведенного выше уравнения как:

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {B} }=\mathbf {a} _{\mathrm {A} }-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.}$

Чистая сила, действующая на объект по мнению наблюдателей во вращающейся системе отсчета, равна F _B = m a _B. Если их наблюдения должны привести к правильному воздействию силы на объект при использовании законов Ньютона, они должны учитывать, что присутствует дополнительная сила F _{fict , поэтому конечный результат равен} F _B = F _A + F _fict . Таким образом, фиктивная сила, которую используют наблюдатели в B, чтобы получить правильное поведение объекта по законам Ньютона, равна:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.}$

Здесь первый член — это сила Кориолиса , ^[37] второй член — центробежная сила , ^[38] и третий член — сила Эйлера . ^{[39] [40]}

Орбитальные системы координат

Рисунок 3: Вращающаяся система координат B с фиксированной ориентацией , показанная в три разных момента времени. Орты u _j , j = 1, 2, 3 не вращаются, а сохраняют фиксированную ориентацию, а начало системы координат B движется с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной оси Ω . Ось Ω проходит через начало инерциальной системы отсчета A , поэтому начало системы B находится на фиксированном расстоянии R от начала инерциальной системы отсчета A.

В качестве связанного примера предположим, что движущаяся система координат B вращается с постоянной угловой скоростью ω по кругу радиуса R вокруг фиксированного начала инерциальной системы отсчета A , но сохраняет свои оси координат фиксированными в ориентации, как на рисунке 3. Ускорение наблюдаемое тело сейчас (см. уравнение 1):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{A}}{dt^{2}}}&=\mathbf {a} _{AB}+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\\&=\mathbf {a} _{AB}\ +\mathbf {a} _{B}\ ,\end{aligned}}}$

где суммы равны нулю, поскольку единичные векторы не зависят от времени. Начало системы B расположено согласно системе координат A по адресу:

${\displaystyle \mathbf {X} _{AB}=R\left(\cos(\omega t),\ \sin(\omega t)\right)\ ,}$

что приводит к скорости начала координат B как:

${\displaystyle \mathbf {v} _{AB}={\frac {d}{dt}}\mathbf {X} _{AB}=\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\ ,}$

что приводит к ускорению возникновения B , определяемому формулой:

${\displaystyle \mathbf {a} _{AB}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {X} _{AB}=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)=-\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\,.}$

Поскольку первый член, который

$${\displaystyle \mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)\,,}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\,,}$$

B

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=m\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\,,}$

и по величине:

${\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }|=m\omega ^{2}R\,.}$

Эта «центробежная сила» имеет отличия от случая вращающейся рамы. Во вращающейся системе отсчета центробежная сила связана с расстоянием объекта от начала системы B , тогда как в случае орбитальной системы отсчета центробежная сила не зависит от расстояния объекта от начала системы B , но вместо этого зависит от расстояния начала координат B от его центра вращения, что приводит к одной и той же центробежной фиктивной силе для всех объектов, наблюдаемых в кадре B.

На орбите и вращении

Рисунок 4: Орбитальная система координат B, аналогичная рисунку 3, но в которой единичные векторы u _j , j = 1, 2, 3 вращаются по направлению к оси вращения, а начало системы координат B движется с постоянной угловой скоростью ω вокруг фиксированная ось Ω .

В качестве примера комбинации на рисунке 4 показана система координат B , которая вращается вокруг инерциальной системы отсчета A , как на рисунке 3, но оси координат в системе координат B поворачиваются, поэтому единичный вектор u ₁ всегда указывает на центр вращения. Этот пример можно применить к пробирке в центрифуге, где вектор u ₁ направлен вдоль оси пробирки к ее верхнему отверстию. Это также напоминает систему Земля-Луна, где Луна всегда обращена к Земле одной и той же стороной. ^[41] В этом примере единичный вектор u ₃ сохраняет фиксированную ориентацию, в то время как векторы u ₁ , u ₂ вращаются с той же скоростью, что и начало координат. То есть,

${\displaystyle \mathbf {u} _{1}=(-\cos \omega t,\ -\sin \omega t)\ ;\ }$  ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}=(\sin \omega t,\ -\cos \omega t)\,.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {u} _{1}=\mathbf {\Omega \times u_{1}} =\omega \mathbf {u} _{2}\ ;}$  ${\displaystyle \ {\frac {d}{dt}}\mathbf {u} _{2}=\mathbf {\Omega \times u_{2}} =-\omega \mathbf {u} _{1}\ \ .}$

Следовательно, ускорение движущегося объекта выражается как (см. уравнение 1):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{A}}{dt^{2}}}&=\mathbf {a} _{AB}+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\ \sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ \mathbf {\Omega \times u_{j}} \ +\ \sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}\right)\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\ \ +\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times } (\mathbf {X} _{AB}+\mathbf {x} _{B})\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\ \,,\end{aligned}}}$

где член углового ускорения равен нулю для постоянной скорости вращения. Поскольку первый член, который

$${\displaystyle \mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times } (\mathbf {X} _{AB}+\mathbf {x} _{B})\right)\,,}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\,,}$$

Х _АБрx _BФ _фик² RR^{[42] [43]}

Кроме того, пробирка ограничивает движение в направлении вниз по длине пробирки, поэтому v _B противоположно u ₁ , а сила Кориолиса противоположна u ₂ , то есть направлена ​​против стенки пробирки. Если трубку вращать достаточно долго, скорость v _B упадет до нуля, поскольку вещество придет к равновесному распределению. Подробнее см. статьи о седиментации и уравнении Ламма .

С этим связана проблема центробежных сил для системы Земля-Луна-Солнце, где возникают три вращения: суточное вращение Земли вокруг своей оси, лунно-месячное вращение системы Земля-Луна вокруг ее центра масс и годовое обращение системы Земля-Луна вокруг Солнца. Эти три движения влияют на приливы и отливы . ^[44]

Пересечение карусели

Рисунок 5: При пересечении вращающейся карусели, идущей с постоянной скоростью от центра карусели к ее краю, в инерциальной системе отсчета прослеживается спираль, а в системе отсчета карусели виден простой прямой радиальный путь.

На рисунке 5 показан еще один пример сравнения наблюдений инерционного наблюдателя с наблюдениями наблюдателя на вращающейся карусели . ^[45] Карусель вращается с постоянной угловой скоростью, представленной вектором Ω с величиной ω , направленным вверх в соответствии с правилом правой руки . Водитель на карусели идет по ней радиально с постоянной скоростью, и пешеходу кажется, что это прямая линия, наклоненная под углом 45° на рисунке 5. Однако для неподвижного наблюдателя пешеход движется по спиральной траектории. Точки, указанные на обоих маршрутах на рисунке 5, соответствуют одним и тем же моментам времени, расположенным через равные промежутки времени. Мы спрашиваем, как два наблюдателя, один на карусели, а другой в инерциальной системе отсчета, формулируют то, что они видят, используя законы Ньютона.

Инерционный наблюдатель

Наблюдатель в состоянии покоя описывает путь, по которому идет идущий, как спираль. Приняв систему координат, показанную на рисунке 5, траектория описывается r ( t ):

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=R(t)\mathbf {u} _{R}={\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R(t)\cos(\omega t+\pi /4)\\R(t)\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}},}$

где добавленное π/4 устанавливает начальный угол пути равным 45° (просто произвольный выбор направления), u _R — единичный вектор в радиальном направлении, указывающий от центра карусели к ходунку в момент времени t . Радиальное расстояние R ( t ) постепенно увеличивается со временем согласно:

${\displaystyle R(t)=st,}$

со скоростью ходьбы. Согласно простой кинематике, скорость является первой производной траектории:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (t)&={\frac {dR}{dt}}{\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}+\omega R(t){\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}\\&={\frac {dR}{dt}}\mathbf {u} _{R}+\omega R(t)\mathbf {u} _{\theta },\end{aligned}}}$

где u _θ - единичный вектор, перпендикулярный u _R в момент времени t (что можно проверить, заметив, что скалярное произведение вектора с радиальным вектором равно нулю) и указывающий в направлении движения. Ускорение является первой производной скорости:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (t)&={\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}{\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}+2{\frac {dR}{dt}}\omega {\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}-\omega ^{2}R(t){\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}\\&=2s\omega {\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}-\omega ^{2}R(t){\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}\\&=2s\ \omega \ \mathbf {u} _{\theta }-\omega ^{2}R(t)\ \mathbf {u} _{R}\,.\end{aligned}}}$

Последний член ускорения направлен внутрь по величине ω ² R , что, следовательно, представляет собой мгновенное центростремительное ускорение кругового движения . ^[46] Первый член перпендикулярен радиальному направлению и указывает в направлении движения. Его величина равна 2 sω и представляет собой ускорение пешехода по мере приближения к краю карусели, а дуга круга, пройденного за фиксированное время, увеличивается, о чем можно судить по увеличению расстояния между точками для равных шагов по времени. на спирали на рисунке 5 при приближении к внешнему краю карусели.

Применяя законы Ньютона, умножая ускорение на массу шагохода, инерционный наблюдатель приходит к выводу, что на шагоход действуют две силы: центростремительная сила, направленная внутрь радиально, и другая сила, перпендикулярная радиальному направлению, которая пропорциональна скорости шагохода. .

Вращающийся наблюдатель

Вращающийся наблюдатель видит, что ходунок движется по прямой линии от центра карусели к периферии, как показано на рисунке 5. Более того, вращающийся наблюдатель видит, что ходунок движется с постоянной скоростью в одном и том же направлении, поэтому применяя закон Ньютона инерция, сила, действующая на ходунка, равна нулю . Эти выводы не согласуются с инерционным наблюдателем. Чтобы добиться согласия, вращающийся наблюдатель должен ввести фиктивные силы, которые кажутся существующими во вращающемся мире, даже если для них нет видимой причины, никакой видимой гравитационной массы, электрического заряда или чего-то еще, что могло бы объяснить эти фиктивные силы. .

Чтобы согласиться с инерционным наблюдателем, силы, приложенные к ходунку, должны быть именно такими, как указано выше. Их можно соотнести с уже выведенными общими формулами, а именно:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.}$

В этом примере скорость, наблюдаемая во вращающейся системе отсчета, равна:

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B} }=s\mathbf {u} _{R},}$

где u _R - единичный вектор в радиальном направлении. Положение ходунка, как видно на карусели:

${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {B} }=R(t)\mathbf {u} _{R},}$

и производная по времени Ω равна нулю для равномерного углового вращения. Заметив, что

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{R}=\omega \mathbf {u} _{\theta }}$

и

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{\theta }=-\omega \mathbf {u} _{R}\,,}$

мы нашли:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m\omega s\mathbf {u} _{\theta }+m\omega ^{2}R(t)\mathbf {u} _{R}.}$

Чтобы получить прямолинейное движение во вращающемся мире, должна быть приложена сила, точно противоположная по знаку фиктивной силе, чтобы уменьшить чистую силу, действующую на ходунка, до нуля, поэтому закон инерции Ньютона предсказывает прямолинейное движение, согласно с тем, что видит вращающийся наблюдатель. Фиктивные силы, с которыми необходимо бороться, — это сила Кориолиса (первый член) и центробежная сила (второй член). (Эти термины являются приблизительными. ^[47] ) Применяя силы для противодействия этим двум фиктивным силам, вращающийся наблюдатель в конечном итоге применяет к ходунку точно такие же силы, которые, по предсказанию инерционного наблюдателя, были необходимы.

Поскольку они различаются только постоянной скоростью ходьбы, ходок и наблюдатель вращения видят одинаковые ускорения. С точки зрения пешехода, фиктивная сила воспринимается как реальная, и борьба с этой силой необходима, чтобы оставаться на прямолинейном радиальном пути, сохраняя постоянную скорость. Это все равно, что бороться с боковым ветром, когда тебя отбрасывает на край карусели. ^[48]

Наблюдение

Обратите внимание, что это обсуждение кинематики не углубляется в механизм возникновения необходимых сил. Это предмет кинетики . В случае с каруселью кинетическое обсуждение, возможно, будет включать изучение обуви ходока и трения, которое они должны создавать о пол карусели, или, возможно, динамику катания на скейтборде, если ходок переключится на путешествие на скейтборде. Какими бы ни были средства передвижения по карусели, должны быть реализованы рассчитанные выше силы. Очень грубая аналогия с отоплением вашего дома: чтобы вам было комфортно, у вас должна быть определенная температура, но еще одна проблема, отапливаете ли вы газом или углем. Кинематика устанавливает термостат, кинетика разжигает печь.

Смотрите также

• Аналитическая механика
• Прикладная механика
• Центробежная сила
• Центростремительная сила
• Круговое движение
• Классическая механика
• сила Кориолиса
• Криволинейные координаты § Фиктивные силы в общих криволинейных координатах
• Принцип инерционных сил Даламбера
• Динамика (физика)
• Уравнение свободного движения
• Формулы Френе – Серре
• Общая теория относительности
• Обобщенные координаты
• Обобщенная сила
• Сила тяжести
• Инерциальная система отсчета
• Кинематика
• Кинетика (физика)
• Законы движения Ньютона
• Неинерциальная система отсчета
• Ортогональные координаты
• Вращающаяся система отсчета
• Статика
• Равномерное круговое движение

• Физический портал

Примечания

1. «Что такое «фиктивная сила»?» Научный американец . Проверено 14 декабря 2021 г.
2. "Фиктивная сила - Британника" .
3. Харальд Иро (2002). Современный подход к классической механике. Всемирная научная. п. 180. ИСБН 981-238-213-5.
4. Британника, «Сила Кориолиса».
5. Демонстрация лекции Гарвардского университета «Сила Кориолиса».
6. Веб-сайт ThoughtCo, «Эффект Кориолиса».
7. "Сила инерции - Британника".
8. Макс Борн; Гюнтер Лейбфрид (1962). Теория относительности Эйнштейна . Нью-Йорк: Публикации Courier Dover. стр. 76–78. ISBN 0-486-60769-0. инерционные силы.
9. Примечания НАСА: (23) Ускоренные системы отсчета: силы инерции
10. Корнелиус Ланцос (1986). Вариационные принципы механики. Нью-Йорк: Публикации Courier Dover. п. 100. ИСБН 0-486-65067-7.
11. Селигман, Кортни. «Фиктивные силы» . Проверено 3 сентября 2007 г.
12. Лекции Фейнмана по физике Том. Я Ч. 12-5: Псевдосилы
13. Физический форум, «Инерция и третий закон Ньютона». 3 марта 2021 г.
14. Обмен стеками физики, «о третьем законе Ньютона».
15. Термин сила Даламбера часто ограничивается этим случаем. См., например, Ланцоша.
16. Мария-Антуанетта Тоннела (2002). Принципы электромагнитной теории и теории относительности. Спрингер. п. 113. ИСБН 90-277-0107-5.
17. Гилсон, Джеймс Г. (1 сентября 2004 г.), Принцип Маха II, стр.1, стр.9 , arXiv : физика/0409010 , Бибкод : 2004физика...9010G
18. Владимир Игоревич Арнольд (1989). Математические методы классической механики. Берлин: Шпрингер. стр. §27 стр. 129 и далее. ISBN 0-387-96890-3.
19. В рамках требования простоты, чтобы быть инерциальной системой отсчета, во всех остальных структурах, отличающихся только одинаковой скоростью трансляции, описание должно быть одинаковой формы. Однако в системе Ньютона эти системы отсчёта соединяет преобразование Галилея , а в специальной теории относительности — преобразование Лоренца . Эти два преобразования соответствуют скорости перемещения, намного меньшей скорости света .
20. Наука о повседневных вещах, «Центростремительная сила, стр. 48-49».
21. Сила в этом примере известна как реакция земли , и она может существовать даже без трения, например, при движении саней по повороту бобслейной трассы.
22. Дэниел Клеппнер; Роберт Дж. Коленков (1973). Введение в механику. МакГроу-Хилл. п. 363. ИСБН 0-07-035048-5.
23. Фриц Рорлих (2007). Вымышленные силы и кажущиеся гравитационные поля. Сингапур: World Scientific. п. 40. ИСБН 978-981-270-004-9.
24. Ганс Стефани (2004). Введение в специальную и общую теорию относительности – геодезическое отклонение с. 104-105. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. п. 105. ИСБН 0-521-01069-1.
25. Экспериментально обнаружено, что гравитационная и инертная массы равны друг другу в пределах экспериментальной ошибки.
26. Моц и Уивер, Мотц, Ллойд; Уивер, Джефферсон Хейн (11 ноября 2013 г.). Пример поезда и гравитации, стр. 101. Springer. ISBN 9781489963338.
27. Эдвин Ф. Тейлор и Джон Арчибальд Уиллер (2000) Исследование черных дыр (Аддисон Уэсли Лонгман, Нью-Йорк) ISBN 0-201-38423-X 
28. Альберто Исидори; Лоренцо Маркони; Андреа Серрани (2003). Надежное автономное управление: подход внутренней модели. Спрингер. п. 61. ИСБН 1-85233-695-1.
29. Шу-Цзин Ин (1997). Продвинутая динамика . Рестон В.А.: Американский институт аэронавтики и астронавтики. п. 172. ИСБН 1-56347-224-4. Орбитальная система координат.
30. Филип Дж. Брайант; Кьелл Джонсен (1993). Принципы работы круговых ускорителей и накопителей. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. п. XVIII. ISBN 0-521-35578-8.
31. Александр Л. Феттер; Джон Д. Валека (2003). Теоретическая механика частиц и сплошных сред. Публикации Courier Dover. стр. 33–39. ISBN 0-486-43261-0.
32. Юн-го Лим; Юань-ци Цян (2001). Проблемы и решения по механике: крупные американские университеты, доктор философии. Квалификационные вопросы и решения. Сингапур: World Scientific. п. 183. ИСБН 981-02-1298-4.
33. Джон Роберт Тейлор (2004). Классическая механика. Саусалито, Калифорния: Университетские научные книги. стр. 343–344. ISBN 1-891389-22-Х.
34. Клеппнер, страницы 62–63.
35. См., например, JL Synge; Б. А. Гриффит (1949). Принципы механики (2-е изд.). МакГроу-Хилл. стр. 348–349.
36. Р. Дуглас Грегори (2006). Классическая механика: учебник для студентов. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. стр. Уравнение (17.16), с. 475. ИСБН 0-521-82678-0.
37. Георг Йоос; Ира М. Фриман (1986). Теоретическая физика. Нью-Йорк: Публикации Courier Dover. п. 233. ИСБН 0-486-65227-0.
38. Перси Ф. Смит и Уильям Рэймонд Лонгли (1910). Теоретическая механика. Бостон: Джин. п. 118. Теоретическая центробежная сила.
39. Корнелиус Ланцос (1986). Вариационные принципы механики. Нью-Йорк: Публикации Courier Dover. п. 103. ИСБН 0-486-65067-7.
40. Джерольд Э. Марсден; Тюдор.С. Ратиу (1999). Введение в механику и симметрию: базовое изложение классических механических систем: Тексты по прикладной математике, 17 (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. п. 251. ИСБН 0-387-98643-Х.
41. Однако система Земля-Луна вращается вокруг своего барицентра , а не вокруг центра Земли; см. Саймон Ньюкомб (2007). Популярная астрономия. Читать книги. п. 307. ИСБН 978-1-4067-4574-0.
42. Беа К. Лалмахомед; Сара Спрингман; Бхавани Сингх (2002). Конституционное и центрифужное моделирование: две крайности. Тейлор и Фрэнсис. п. 82. ИСБН 90-5809-361-1.
43. Раймонд Нен (1986). Консолидация почв: испытания и оценка: симпозиум. АСТМ Интернешнл. п. 590. ИСБН 0-8031-0446-4.
44. Д. Эпплтон (1877). Научно-популярный ежемесячник. п. 276.
45. Аналогичный пример см. в Роне Шмитте (2002). Справочник по беспроводной/радиочастотной связи, ЭМС и высокоскоростной электронике, часть серии EDN для инженеров-конструкторов. Ньюнес. стр. 60–61. ISBN 0-7506-7403-2.и Дуглас К. Джанколи (2007). Физика для ученых и инженеров с современной физикой. Пирсон Прентис-Холл. п. 301. ИСБН 978-0-13-149508-1.
46. Примечание : Здесь есть тонкость: расстояние R — это мгновенное расстояние от оси вращения карусели . Однако это не радиус кривизны траектории шагающего , которую видит инерционный наблюдатель, и единичный вектор u _R не перпендикулярен траектории. Таким образом, обозначение «центростремительное ускорение» является приблизительным использованием этого термина. См., например, Говард Д. Кертис (2005). Орбитальная механика для студентов-инженеров . Баттерворт-Хайнеманн. п. 5. ISBN 0-7506-6169-0.и С.Ю. Ли (2004). Физика ускорителей (2-е изд.). Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific. п. 37. ИСБН 981-256-182-Х.
47. Окружность вокруг оси вращения не является окружностью, соприкасающейся с траекторией ходунка, поэтому термины «центробежный» и «Кориолис» являются приблизительными значениями этих терминов. Смотрите примечание.
48. В этой связи можно отметить, что изменение системы координат, например, с декартовой на полярную, если оно осуществляется без изменения относительного движения, не вызывает появления фиктивных вращательных сил, несмотря на то, что форма законов движения меняется от одного типа криволинейной системы координат к другому в зависимости от (чисто пространственной) дельта-кривизны: , где – контравариантные составляющие силы на единицу массы, – символы Кристоффеля второго рода, см., например: Дэвид, Кей, Тензорное исчисление (1988), ISBN McGraw-Hill Book Company 0-07-033484-6 , раздел 11.4; или: Адлер Р., Базен М. и Шиффер М. Введение в общую теорию относительности (Нью-Йорк, 1965). Это могло быть первым намеком на кризис нерелятивистской физики: в «неинерциальных» системах с использованием неевклидовой, а не плоской метрики фиктивные силы трансформируются в силу, обмениваемую с «объектами», которые не следуют геодезической траектории ( просто с относительной скоростью, уважайте это). В любом случае этот обобщенный «второй закон Ньютона» должен дождаться, пока общая теория относительности получит кривизну в пространстве-времени в соответствии с тензором напряжения-энергии с помощью уравнений поля Эйнштейна и форму пространства-времени, которая использует тензор плотности четырех сил , полученный из ковариантной дивергенции. тензора энергии-импульса. ${\displaystyle {\ddot {x}}^{j}+\Gamma ^{j}{}_{lk}{\dot {x}}^{l}{\dot {x}}^{k}=F^{j}}$ ${\displaystyle F^{j}}$ ${\displaystyle \Gamma ^{j}{}_{lk}}$ 

дальнейшее чтение

• Лев Д. Ландау и Е. М. Лифшиц (1976). Механика. Курс теоретической физики . Том. 1 (3-е изд.). Баттерворт-Хейненан. стр. 128–130. ISBN 0-7506-2896-0.
• Кейт Саймон (1971). Механика (3-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-07392-7.
• Джерри Б. Мэрион (1970). Классическая динамика частиц и систем. Академическая пресса. ISBN 0-12-472252-0.
• Марсель Дж. Сиди (1997). Динамика и управление космическим кораблем: практический инженерный подход. Издательство Кембриджского университета. Глава 4.8. ISBN 0-521-78780-7.

Внешние ссылки

• Вопросы и ответы от Ричарда С. Брилла, Общественный колледж Гонолулу
• Дэвид Стерн из НАСА: Планы уроков для учителей № 23 по силам инерции
• Сила Кориолиса
• Движение по плоской поверхности Java-физлет Брайана Фидлера, иллюстрирующий вымышленные силы. Фислет показывает перспективу как с вращающейся, так и с невращающейся точки зрения.
• Движение по параболической поверхности Java-физлет Брайана Фидлера, иллюстрирующий вымышленные силы. Фислет показывает перспективу как с вращающейся, так и с невращающейся точки зрения.