фонарь Шварц

Почти цилиндрический многогранник с большой площадью

Фонарь Шварца, экспонируемый в Немецком техническом музее в Берлине

В математике фонарь Шварца — это многогранное приближение к цилиндру , используемое в качестве патологического примера трудности определения площади гладкой (искривленной) поверхности как предела площадей многогранников. Он образован сложенными друг на друга кольцами равнобедренных треугольников , расположенных внутри каждого кольца по той же схеме, что и антипризма . Полученная форма может быть сложена из бумаги и названа в честь математика Германа Шварца и за ее сходство с цилиндрическим бумажным фонариком . ^[1] Он также известен как сапог Шварца , ^[2] многогранник Шварца , ^[3] или китайский фонарик . ^[4]

Как показал Шварц, для того, чтобы площадь поверхности многогранника сходилась к площади поверхности криволинейной поверхности, недостаточно просто увеличить число колец и число равнобедренных треугольников на кольцо. В зависимости от отношения числа колец к числу треугольников на кольцо, площадь фонаря может сходиться к площади цилиндра, к пределу, произвольно большему площади цилиндра, или к бесконечности — другими словами, площадь может расходиться. Фонарь Шварца демонстрирует, что выборка криволинейной поверхности близко расположенными точками и соединение их малыми треугольниками недостаточна для обеспечения точного приближения площади, в отличие от точного приближения длины дуги вписанными многоугольными цепями .

Явление, при котором близко расположенные точки могут приводить к неточным приближениям площади, называется парадоксом Шварца . ^{[5] [6]} Фонарь Шварца является поучительным примером в исчислении и подчеркивает необходимость осторожности при выборе триангуляции для приложений в компьютерной графике и методе конечных элементов .

История и мотивация

Парадокс лестницы : многоугольные цепи длины сходятся по расстоянию к диагональному отрезку длины , не сходясь при этом к той же длине. ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Архимед аппроксимировал окружность кругов длинами вписанных или описанных правильных многоугольников. ^{[7] [8]} В более общем смысле, длина любой гладкой или спрямляемой кривой может быть определена как супремум длин многоугольных цепей, вписанных в них. ^[1] Однако, чтобы это работало правильно, вершины многоугольных цепей должны лежать на данной кривой, а не просто рядом с ней. В противном случае, в контрпримере , иногда известном как парадокс лестницы , многоугольные цепи вертикальных и горизонтальных отрезков общей длины могут лежать сколь угодно близко к диагональному отрезку длины , сходясь по расстоянию к диагональному отрезку, но не сходясь к той же длине. Фонарь Шварца дает контрпример для площади поверхности , а не длины, ^[9] и показывает, что для площади требование, чтобы вершины лежали на аппроксимируемой поверхности, недостаточно для обеспечения точного приближения. ^[1] ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Герман Шварц

Немецкий математик Герман Шварц (1843–1921) разработал свою конструкцию в конце 19 века ^[a] как контрпример к ошибочному определению в книге JA Serret 1868 года Cours de calcul Differentiel et Integral ^[12] , в которой неверно утверждается, что:

Так что часть поверхности может закончиться по контуру ; ${\displaystyle C}$ nous nommerons aire de cette поверхность la limite vers laquelle, как правило, l'aire d'une поверхность полиэдрала inscrite formée des triangulaires et terminee по контуру многоугольника ayant pour limite le контур . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C}$

Il faut démontrer que la limite существование и qu'elle est indépendante de la loi suivant laquelle décroissent les face de la Surface Polyedrale Inscrite. ${\displaystyle S}$

Пусть часть криволинейной поверхности ограничена контуром ; мы определим площадь этой поверхности как предел, к которому стремится площадь вписанной многогранной поверхности, образованной треугольными гранями и ограниченной многоугольным контуром, пределом которого является контур . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C}$

Необходимо показать, что предел существует и что он не зависит от закона, по которому сокращаются грани вписанной многогранной поверхности. ${\displaystyle S}$

Независимо от Шварца, Джузеппе Пеано нашел тот же контрпример. ^[10] В то время Пеано был учеником Анджело Дженокки , который из общения со Шварцем уже знал о трудности определения площади поверхности. Дженокки сообщил об этом Шарлю Эрмиту , который использовал ошибочное определение Серрета в своем курсе. Эрмит попросил Шварца рассказать о деталях, пересмотрел свой курс и опубликовал пример во втором издании своих лекционных заметок (1883). ^[11] Оригинальная записка Шварца Эрмиту была опубликована только во втором издании собрания сочинений Шварца в 1890 году. ^{[13] [14]}

Поучительный пример ценности тщательных определений в исчислении , ^[5] фонарь Шварца также подчеркивает необходимость осторожности при выборе триангуляции для приложений в компьютерной графике и для метода конечных элементов для научного и инженерного моделирования. ^{[6] [15]} В компьютерной графике сцены часто описываются триангулированными поверхностями, и точная визуализация освещения этих поверхностей зависит от направления нормалей поверхности . Неудачный выбор триангуляции, как в фонаре Шварца, может привести к образованию гармошкообразной поверхности, нормали которой далеки от нормалей аппроксимированной поверхности, а близко расположенные острые складки этой поверхности также могут вызывать проблемы с наложением спектров . ^[6]

Неспособность фонарей Шварца сходиться к площади цилиндра происходит только тогда, когда они включают в себя очень тупые треугольники с углами, близкими к 180°. В ограниченных классах фонарей Шварца, использующих углы, ограниченные 180°, площадь сходится к той же площади, что и цилиндр, когда число треугольников растет до бесконечности. Метод конечных элементов , в своей самой базовой форме, аппроксимирует гладкую функцию (часто, решение задачи физического моделирования в науке или технике) кусочно-линейной функцией на триангуляции. Пример фонаря Шварца показывает, что даже для простых функций, таких как высота цилиндра над плоскостью, проходящей через его ось, и даже когда значения функции вычисляются точно в вершинах триангуляции, триангуляция с углами, близкими к 180°, может давать очень неточные результаты моделирования. Это мотивирует методы генерации сеток , для которых все углы ограничены 180°, такие как нетупые сетки . ^[15]

Строительство

Антипризма на основе правильного 17-угольника. Исключение двух 17-угольников дает фонарь Шварца с параметрами и . Другие фонари Шварца с можно получить, накладывая копии этой антипризмы. ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle n=17}$ ${\displaystyle n=17}$ ${\displaystyle m}$

Дискретное многогранное приближение, рассмотренное Шварцем, может быть описано двумя параметрами: , числом колец треугольников в фонаре Шварца; и , половиной числа треугольников на кольцо. ^{[16] [b]} Для одного кольца ( ) результирующая поверхность состоит из треугольных граней антипризмы порядка . Для больших значений фонарь Шварца формируется путем наложения этих антипризм. ^[6] Чтобы построить фонарь Шварца, который аппроксимирует заданный прямой круговой цилиндр , цилиндр разрезается параллельными плоскостями на конгруэнтные цилиндрические кольца. Эти кольца имеют круговые границы — два на концах заданного цилиндра и больше там, где он был разрезан. В каждом круге вершины фонаря Шварца расположены одинаково, образуя правильный многоугольник . Эти многоугольники поворачиваются на угол от одной окружности к другой, так что каждое ребро из правильного многоугольника и ближайшая вершина на следующей окружности образуют основание и вершину равнобедренного треугольника. Эти треугольники сходятся ребром к ребру, образуя фонарь Шварца — многогранную поверхность , топологически эквивалентную цилиндру. ^[16] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle m-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi /n}$

Игнорируя верхнюю и нижнюю вершины, каждая вершина касается двух углов вершины и четырех углов основания конгруэнтных равнобедренных треугольников, как это было бы в мозаике плоскости треугольниками той же формы. В результате фонарь Шварца можно сложить из плоского листа бумаги, используя эту мозаику в качестве его рисунка сгиба . ^[18] Этот рисунок сгиба был назван рисунком Ёсимуры , ^[19] после работы Ёсимуры о рисунке выпучивания Ёсимуры цилиндрических поверхностей при осевом сжатии, который может быть похож по форме на фонарь Шварца. ^[20]

Область

Площадь фонаря Шварца для любого цилиндра и любого конкретного выбора параметров и может быть вычислена путем непосредственного применения тригонометрии . Цилиндр радиуса и длины имеет площадь . Для фонаря Шварца с параметрами и каждая полоса является более коротким цилиндром длины , аппроксимируемым равнобедренными треугольниками . Длина основания каждого треугольника может быть найдена из формулы для длины ребра правильного -угольника, а именно ^[16] Высота каждого треугольника может быть найдена путем применения теоремы Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному вершиной треугольника, серединой основания и серединой дуги окружности, ограниченной конечными точками основания. Две стороны этого прямоугольного треугольника - это длина цилиндрической полосы и стрела дуги, ^[c] что дает формулу ^[16] Объединение формулы для площади каждого треугольника с его основанием и высотой, а также общим числом треугольников дает фонарь Шварца общей площадью ^[16] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle 2\pi r\ell }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ell /m}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle 2r\sin {\frac {\pi }{n}}.}$$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \ell /m}$ $${\displaystyle h^{2}=\left({\frac {\ell }{m}}\right)^{2}+\left(r\left(1-\cos {\frac {\pi }{n}}\right)\right)^{2}.}$$ ${\displaystyle 2mn}$ $${\displaystyle A(m,n)=2mn\left(r\sin {\frac {\pi }{n}}\right){\sqrt {\left({\frac {\ell }{m}}\right)^{2}+r^{2}\left(1-\cos {\frac {\pi }{n}}\right)^{2}}}.}$$

Пределы

Анимация сходимости (или отсутствия сходимости) Шварца-фонаря для различных соотношений между его двумя параметрами

Фонари Шварца для больших значений обоих параметров сходятся равномерно к цилиндру, который они аппроксимируют. ^[21] Однако, поскольку есть два свободных параметра и , предельная площадь фонаря Шварца, когда оба и становятся произвольно большими, может быть оценена в разных порядках, с разными результатами. Если фиксировано, а растет , и полученный предел затем оценивается для произвольно больших выборов , получается ^[16] правильная площадь для цилиндра. В этом случае внутренний предел уже сходится к тому же значению, а внешний предел избыточен. Геометрически замена каждой цилиндрической полосы полосой очень острых равнобедренных треугольников точно аппроксимирует ее площадь. ^[16] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }A(m,n)=2\pi r\ell ,}$$

С другой стороны, изменение порядка пределов дает ^[16] В этом случае для фиксированного выбора , по мере того как растет и длина каждой цилиндрической полосы становится произвольно малой, каждая соответствующая полоса равнобедренных треугольников становится почти плоской. Каждый треугольник приближается к треугольнику, образованному двумя последовательными ребрами правильного -угольника, а площадь всей полосы треугольников приближается к умноженному на площадь одного из этих плоских треугольников, конечному числу. Однако число этих полос растет произвольно большим; поскольку площадь фонаря растет приблизительно пропорционально , ​​она также становится произвольно большой. ^[16] $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }A(m,n)=\infty .}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \ell /m}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

Также возможно зафиксировать функциональную связь между и и исследовать предел, когда оба параметра растут одновременно, сохраняя это отношение. Различные выборы этого отношения могут привести к одному из двух описанных выше поведений: сходимости к правильной площади или расхождению к бесконечности. Например, установка (для произвольной константы ) и взятие предела для больших приводит к сходимости к правильной площади, в то время как установка приводит к расхождению. Третий тип предельного поведения получается путем установки . Для этого выбора, В этом случае площадь фонаря Шварца, параметризованная таким образом, сходится, но к большему значению, чем площадь цилиндра. Любая желаемая большая площадь может быть получена путем соответствующего выбора константы . [ ^16] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m=cn}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m=cn^{3}}$ ${\displaystyle m=cn^{2}}$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A(cn^{2},n)=2\pi r{\sqrt {\ell ^{2}+{\frac {r^{2}\pi ^{4}c^{2}}{4}}}}.}$$ ${\displaystyle c}$

Смотрите также

• Калейдоцикл , цепочка тетраэдров, соединенных ребром к ребру, как вырожденный фонарь Шварца с ${\displaystyle n=2}$
• Феномен Рунге , еще один пример нарушения конвергенции

Примечания

1. Гандон и Перрин (2009) датируют это время более точно началом 1890-х годов ^[10] , но это противоречит использованию Эрмитом этого примера в 1883 году. Кеннеди (1980) датирует сообщение Шварца Дженокки по этой теме 1880 годом, а повторное открытие Пеано — 1882 годом. ^[11]
2. Другие источники могут использовать другие параметризации; например, Дубровский (1991) использует вместо для обозначения числа цилиндров. ^[17] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$
3. Стрела дуги окружности — это расстояние от середины дуги до середины ее хорды.

Ссылки

1. Макаров, Борис; Подкорытов, Анатолий (2013). "Раздел 8.2.4". Действительный анализ: меры, интегралы и приложения . Universitext. Берлин: Springer-Verlag. С. 415–416. doi :10.1007/978-1-4471-5122-7. ISBN 978-1-4471-5121-0. МР  3089088.
2. Бернштейн, Д. (март–апрель 1991 г.). «Магазин игрушек: латинские треугольники и модная обувь» (PDF) . Квант: Журнал математики и науки . Т. 1, № 4. С. 64.
3. Уэллс, Дэвид (1991). «Многогранник Шварца». Словарь Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry . Нью-Йорк: Penguin Books. С. 225–226. ISBN 978-0-14-011813-1.
4. Бергер, Марсель (1987). Геометрия I. Universitext. Берлин: Springer-Verlag. С. 263–264. doi :10.1007/978-3-540-93815-6. ISBN 978-3-540-11658-5. МР  2724360.
5. Atneosen, Gail H. (март 1972 г.). «Парадокс Шварца: интересная проблема для студента-первокурсника, изучающего исчисление». The Mathematics Teacher . 65 (3): 281–284. doi :10.5951/MT.65.3.0281. JSTOR  27958821.
6. Glassner, A. (1997). «Опасности проблемной параметризации». IEEE Computer Graphics and Applications . 17 (5): 78–83. doi :10.1109/38.610212.
7. Трауб, Гилберт (1984). Развитие математического анализа длины кривой от Архимеда до Лебега (докторская диссертация). Нью-Йоркский университет. стр. 470. MR  2633321. ProQuest  303305072.
8. Броди, Скотт Э. (1980). «Аксиомы Архимеда для длины дуги и площади». Mathematics Magazine . 53 (1): 36–39. doi :10.1080/0025570X.1980.11976824. JSTOR  2690029. MR  0560018.
9. Огилви, К. Стэнли (1962). «Примечание к странице 7». Завтрашняя математика: нерешенные проблемы для любителей . Oxford University Press. С. 155–161.
10. Гандон, Себастьян; Перрен, Иветт (2009). «Проблема определения l'aire d'une Surface Gauche: Peano et Lebesgue» (PDF) . Архив истории точных наук (на французском языке). 63 (6): 665–704. дои : 10.1007/s00407-009-0051-4. JSTOR  41134329. MR  2550748. S2CID  121535260.
11. Kennedy, Hubert C. (1980). Peano: Жизнь и творчество Джузеппе Пеано. Исследования по истории современной науки. Том 4. Дордрехт и Бостон: D. Reidel Publishing Co. стр. 9–10. ISBN 90-277-1067-8. МР  0580947.
12. Серрет, JA (1868). Cours de Calcul différentiel et integral, второй том: Calcul intégral (на французском языке). Париж: Готье-Виллар. п. 296.
13. Шварц, HA (1890). «Sur une définition erronée de l'aire d'une Surface Courbe». Gesammelte Mathematische Abhandlungen von HA Schwarz (на французском языке). Верлаг фон Юлиуса Шпрингера. стр. 309–311.
14. Арчибальд, Томас (2002). «Шарль Эрмит и немецкая математика во Франции». В Parshall, Карен Хангер ; Райс, Адриан К. (ред.). Математика без границ: эволюция международного математического исследовательского сообщества, 1800–1945. Доклады Международного симпозиума, состоявшегося в Университете Вирджинии, Шарлоттсвилль, Вирджиния, 27–29 мая 1999 г. История математики. Том 23. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 123–137. MR  1907173.См. сноску 60, стр. 135.
15. Берн, М.; Митчелл, С.; Рупперт, Дж. (1995). «Линейная нетупая триангуляция многоугольников». Дискретная и вычислительная геометрия . 14 (4): 411–428. doi : 10.1007/BF02570715 . MR  1360945. S2CID  120526239.
16. Замес, Фрида (сентябрь 1977 г.). «Площадь поверхности и парадокс площади цилиндра». The Two-Year College Mathematics Journal . 8 (4): 207–211. doi :10.2307/3026930. JSTOR  3026930.
17. Дубровский, Владимир (март–апрель 1991 г.). «В поисках определения площади поверхности» (PDF) . Квант: Журнал математики и науки . Т. 1, № 4. С. 6–9.
18. Лэмб, Эвелин (30 ноября 2013 г.). «Контрпримеры в оригами». Корни единства. Scientific American .
19. Миура, Корё ; Тачи, Томохиро (2010). «Синтез жёстких складных цилиндрических многогранников» (PDF) . Симметрия: искусство и наука, 8-й конгресс и выставка ISIS . Гмюнд.
20. Ёсимура, Ёсимару (июль 1955 г.). О механизме выпучивания круглой цилиндрической оболочки при осевом сжатии. Технический меморандум 1390. Национальный консультативный комитет по аэронавтике.
21. Polthier, Konrad (2005). "Computational aspects of discret minimum surfaces" (PDF) . В Hoffman, David (ed.). Global theory of minimum surfaces: Proceedings of the Clay Mathematical Institute Summer School, проводившейся в Беркли, Калифорния, 25 июня – 27 июля 2001 г. Clay Mathematics Proceedings. Vol. 2. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. pp. 65–111. doi :10.1016/j.cagd.2005.06.010. MR  2167256.

Внешние ссылки

• Богомольный, Александр. «Объяснение фонаря Шварца». Cut-the-knot .
• Маркс, Жан-Пьер (17 сентября 2016 г.). «Фонарь Шварца». Математические контрпримеры .