формула следа Сельберга

Математическая теорема

В математике формула следа Сельберга , введенная Сельбергом (1956), является выражением для характера унитарного представления группы Ли G ^на пространстве L2 (Γ\ G ) квадратично -интегрируемых функций , где Γ — кофинитная дискретная группа . Характер задается следом определенных функций на G.

Простейший случай — когда Γ кокомпактна , когда представление распадается на дискретные слагаемые. Здесь формула следа является расширением формулы Фробениуса для характера индуцированного представления конечных групп. Когда Γ — кокомпактная подгруппа Z действительных чисел G = R , формула следа Сельберга по сути является формулой суммирования Пуассона .

Случай, когда Γ\ G не компактен, сложнее, поскольку существует непрерывный спектр , описываемый с помощью рядов Эйзенштейна . Сельберг разработал некомпактный случай, когда G — это группа SL(2, R ) ; расширением на группы более высокого ранга является формула следа Артура–Сельберга .

Когда Γ является фундаментальной группой римановой поверхности , формула следа Сельберга описывает спектр дифференциальных операторов, таких как лапласиан, в терминах геометрических данных, включающих длины геодезических на римановой поверхности. В этом случае формула следа Сельберга формально похожа на явные формулы, связывающие нули дзета-функции Римана с простыми числами, причем нули дзета соответствуют собственным значениям лапласиана, а простые числа соответствуют геодезическим. Мотивированный аналогией, Сельберг ввел дзета-функцию Сельберга римановой поверхности, аналитические свойства которой кодируются формулой следа Сельберга.

Ранняя история

Случаи, представляющие особый интерес, включают те, для которых пространство является компактной римановой поверхностью S . Первоначальная публикация Атле Сельберга в 1956 году рассматривала этот случай, его дифференциальный оператор Лапласа и его степени. Следы степеней лапласиана могут быть использованы для определения дзета-функции Сельберга . Интерес этого случая заключался в аналогии между полученной формулой и явными формулами теории простых чисел . Здесь замкнутые геодезические на S играют роль простых чисел.

В то же время интерес к следам операторов Гекке был связан с формулой следа Эйхлера–Сельберга Сельберга и Мартина Эйхлера для оператора Гекке, действующего на векторном пространстве параболических форм заданного веса для заданной конгруэнц-подгруппы модулярной группы . Здесь следом тождественного оператора является размерность векторного пространства, т. е. размерность пространства модулярных форм заданного типа: величина, традиционно вычисляемая с помощью теоремы Римана–Роха .

Приложения

Формула следа имеет приложения к арифметической геометрии и теории чисел . Например, используя теорему о следе, Эйхлер и Шимура вычислили L-функции Хассе–Вейля , связанные с модулярными кривыми ; методы Горо Шимуры обошли анализ, задействованный в формуле следа. Развитие параболических когомологий (из когомологий Эйхлера ) предоставило чисто алгебраическую установку, основанную на групповых когомологиях , принимая во внимание каспы, характерные для некомпактных римановых поверхностей и модулярных кривых.

Формула следа имеет также чисто дифференциально-геометрические приложения. Например, по результату Бузера спектр длины римановой поверхности является изоспектральным инвариантом, по сути, по формуле следа.

Формула следа Сельберга для компактных гиперболических поверхностей

Компактную гиперболическую поверхность X можно записать как пространство орбит , где Γ — подгруппа PSL(2, R ) , а H — верхняя полуплоскость , и Γ действует на H посредством дробно-линейных преобразований . $${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbf {H} ,}$$

Формула следа Сельберга для этого случая проще, чем для общего случая, поскольку поверхность компактна, поэтому нет непрерывного спектра, а группа Γ не имеет параболических или эллиптических элементов (кроме единичного).

Тогда спектр оператора Лапласа–Бельтрами на X является дискретным и действительным, поскольку оператор Лапласа является самосопряженным с компактной резольвентой ; то есть , где собственные значения μ _n соответствуют Γ -инвариантным собственным функциям u в C ^∞ ( H ) лапласиана; другими словами $${\displaystyle 0=\mu _{0}<\mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \cdots }$$ $${\displaystyle {\begin{cases}u(\gamma z)=u(z),\qquad \forall \gamma \in \Gamma \\y^{2}\left(u_{xx}+u_{yy}\right)+\mu _{n}u=0.\end{cases}}}$$

Используя замену переменных, собственные значения помечаются $${\displaystyle \mu =s(1-s),\qquad s={\tfrac {1}{2}}+ir}$$ $${\displaystyle r_{n},n\geq 0.}$$

Тогда формула следа Сельберга имеет вид $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }h(r_{n})={\frac {\mu (X)}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }r\,h(r)\tanh(\pi r)\,dr+\sum _{\{T\}}{\frac {\log N(T_{0})}{N(T)^{\frac {1}{2}}-N(T)^{-{\frac {1}{2}}}}}g(\log N(T)).}$$

Правая часть — это сумма по классам сопряженности группы Γ , где первый член соответствует единичному элементу, а остальные члены образуют сумму по другим классам сопряженности { T  } (которые в данном случае все гиперболические). Функция h должна удовлетворять следующему:

• быть аналитической на |Im( r )| ≤ ⁠1/2⁠ + δ ;
• h (− r ) = h ( r ) ;
• существуют положительные константы δ и M такие, что: $${\displaystyle \vert h(r)\vert \leq M\left(1+\left|\operatorname {Re} (r)\right|\right)^{-2-\delta }.}$$

Функция g является преобразованием Фурье функции h , то есть, $${\displaystyle h(r)=\int _{-\infty }^{\infty }g(u)e^{iru}\,du.}$$

Общая формула следа Сельберга для кокомпактных факторов

Общее заявление

Пусть G — унимодулярная локально компактная группа, дискретная кокомпактная подгруппа G и компактная непрерывная функция на G. Формула следа в этом случае — это следующее равенство: где — множество классов сопряженности в , — унитарно сопряженный к G и: ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \sum _{\gamma \in \{\Gamma \}}a_{\Gamma }^{G}(\gamma )\int _{G^{\gamma }\setminus G}\phi (x^{-1}\gamma x)\,dx=\sum _{\pi \in {\widehat {G}}}a_{\Gamma }^{G}(\pi )\operatorname {tr} \pi (\phi )}$$ ${\displaystyle \{\Gamma \}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

• для элемента , с централизаторами в соответственно; ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ ${\displaystyle a_{\Gamma }^{G}(\gamma )={\text{volume}}(\Gamma ^{\gamma }\setminus G^{\gamma }).}$ ${\displaystyle G_{\gamma },\Gamma _{\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle G,\Gamma }$
• для неприводимого унитарного представления , является кратностью в правом представлении на в ), а является оператором ; ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a_{\Gamma }^{G}(\pi )}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \Gamma \backslash G}$ ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G}$ ${\displaystyle \pi (\phi )}$ ${\displaystyle \int _{G}\phi (g)\pi (g)dg}$
• все интегралы и объемы берутся относительно меры Хаара или ее частных. ${\displaystyle G}$

Левая часть формулы называется геометрической стороной , а правая — спектральной . Члены — орбитальные интегралы . ${\displaystyle \int _{G^{\gamma }\setminus G}\phi (x^{-1}\gamma x)\,dx}$

Доказательство

Определим следующий оператор на компактно поддерживаемых функциях на : Он непрерывно продолжается до и для мы имеем: после замены переменных. Предполагая, что является компактным, оператор является классом трассировки , а формула трассировки является результатом вычисления его трассировки двумя способами, как объяснено ниже. ^[1] ${\displaystyle \Gamma \backslash G}$ $${\displaystyle R(\phi )=\int _{G}\phi (x)R(x)\,dx,}$$ ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \setminus G)}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(\Gamma \setminus G)}$ $${\displaystyle (R(\phi )f)(x)=\int _{G}\phi (y)f(xy)\,dy=\int _{\Gamma \setminus G}\left(\sum _{\gamma \in \Gamma }\phi (x^{-1}\gamma y)\right)f(y)\,dy}$$ ${\displaystyle \Gamma \setminus G}$ ${\displaystyle R(\phi )}$

След можно выразить как интеграл ядра по диагонали, то есть: Пусть обозначает совокупность представителей классов сопряженности в , и и соответствующие централизаторы . Тогда указанный выше интеграл после преобразований можно записать Это дает геометрическую сторону формулы следа. ${\displaystyle R(\phi )}$ ${\displaystyle K(x,y)=\sum _{\gamma \in \Gamma }\phi (x^{-1}\gamma y)}$ $${\displaystyle \operatorname {tr} R(\phi )=\int _{\Gamma \setminus G}\sum _{\gamma \in \Gamma }\phi (x^{-1}\gamma x)\,dx.}$$ ${\displaystyle \{\Gamma \}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma ^{\gamma }}$ ${\displaystyle G^{\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle \operatorname {tr} R(\phi )=\sum _{\gamma \in \{\Gamma \}}a_{\Gamma }^{G}(\gamma )\int _{G^{\gamma }\setminus G}\phi (x^{-1}\gamma x)\,dx.}$$

Спектральная сторона формулы следа получается путем вычисления следа с использованием разложения регулярного представления на его неприводимые компоненты. Таким образом, где — множество неприводимых унитарных представлений (напомним, что положительное целое число — это кратность в унитарном представлении на ). ${\displaystyle R(\phi )}$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle \operatorname {tr} R(\phi )=\sum _{\pi \in {\hat {G}}}a_{\Gamma }^{G}(\pi )\operatorname {tr} \pi (\phi )}$$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a_{\Gamma }^{G}(\pi )}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \setminus G)}$

Случай полупростых групп Ли и симметричных пространств

Когда — полупростая группа Ли с максимальной компактной подгруппой , а — ассоциированное симметрическое пространство, классы сопряженности в можно описать в геометрических терминах с использованием компактного риманова многообразия (в более общем смысле — орбифолда) . Орбитальные интегралы и следы в неприводимых слагаемых затем можно вычислить дальше, и, в частности, таким образом можно восстановить случай формулы следа для гиперболических поверхностей. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X=G/K}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma \backslash X}$

Более поздняя работа

Общая теория рядов Эйзенштейна была во многом мотивирована необходимостью выделить непрерывный спектр , что характерно для некомпактного случая. ^[2]

Формула следа часто приводится для алгебраических групп над аделями, а не для групп Ли, поскольку это превращает соответствующую дискретную подгруппу Γ в алгебраическую группу над полем, с которым технически проще работать. Случай SL ₂ ( C ) обсуждается в работах Гельфанда, Граева и Пятецкого-Шапиро (1990) и Элстродта, Груневальда и Меннике (1998). Гельфанд и др. также рассматривают SL ₂ ( F ), где F — локально компактное топологическое поле с ультраметрической нормой , то есть конечное расширение p -адических чисел Q _p или формального ряда Лорана F _q (( T )); они также рассматривают адельный случай в характеристике 0, объединяя все пополнения R и Q _p рациональных чисел Q .

Современными преемниками теории являются формула следа Артура–Сельберга, применяемая к случаю общего полупростого G , и многочисленные исследования формулы следа в философии Ленглендса (занимающиеся техническими вопросами, такими как эндоскопия ). Формула следа Сельберга может быть выведена из формулы следа Артура–Сельберга с некоторыми усилиями.

Смотрите также

• Переписка Жаке–Лэнглендса

Примечания

1. Эта презентация взята из книги Артура (1989). "Формула следа и операторы Гекке". Теория чисел, формулы следа и дискретные группы . Academic Press.
2. Лакс и Филлипс 1980

Ссылки

• Борель, Арманд (1997). Автоморфные формы на SL2(R). Cambridge Tracts in Mathematics. Том 130. Cambridge University Press . ISBN 0-521-58049-8. МР  1482800.
• Chavel, Isaac; Randol, Burton (1984). "XI. Формула следа Сельберга". Собственные значения в римановой геометрии . Чистая и прикладная математика. Том 115. Academic Press. ISBN 0-12-170640-0. МР  0768584.
• Эльстродт, Юрген (1981). «Die Selbergsche Spurformel für kompakte Riemannsche Flächen» (PDF) . Яресбер. немецкий. Math.-Verein. (на немецком языке). 83 . Билефельд: Deutsche Mathematiker-Vereinigung : 45–77. МР  0612411.
• Elstrodt, J.; Grunewald, F.; Mennicke, J. (1998). Группы, действующие в гиперболическом пространстве: гармонический анализ и теория чисел . Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag . ISBN 3-540-62745-6. МР  1483315.
• Фишер, Юрген (1987), Подход к формуле следа Сельберга с помощью дзета-функции Сельберга , Lecture Notes in Mathematics, т. 1253, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0077696, ISBN 978-3-540-15208-8, МР  0892317
• Гельфанд, И.М.; Граев, М.И.; Пятецкий-Шапиро, И.И. (1990), Теория представлений и автоморфные функции , Обобщенные функции, т. 6, Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-279506-0, МР  1071179
• Godement, Roger (1966). "Разложение L ² (G/Γ) для Γ=SL(2,Z)". Алгебраические группы и разрывные подгруппы . Proc. Sympos. Pure Math. Providence: American Mathematical Society . стр. 211–224. MR  0210827.
• Хейхал, Деннис А. (1976), «Формула следа Сельберга и дзета-функция Римана», Duke Mathematical Journal , 43 (3): 441–482, doi :10.1215/S0012-7094-76-04338-6, ISSN  0012-7094, MR  0414490
• Hejhal, Dennis A. (1976), Формула следа Сельберга для PSL(2,R). Том I , Lecture Notes in Mathematics, том 548, том 548, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi :10.1007/BFb0079608, ISBN 978-3-540-07988-0, МР  0439755
• Hejhal, Dennis A. (1983), Формула следа Сельберга для PSL(2,R). Том 2 , Lecture Notes in Mathematics, том 1001, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi :10.1007/BFb0061302, ISBN 978-3-540-12323-1, МР  0711197
• Iwaniec, Henryk (2002). Спектральные методы автоморфных форм . Graduate Studies in Mathematics. Vol. 53 (Второе издание). American Mathematical Society . ISBN 0-8218-3160-7. МР  1942691.
• Лакс, Питер Д .; Филлипс, Ральф С. (1980). "Теория рассеяния для автоморфных функций" (PDF) . Bull. Amer. Math. Soc. 2 : 261–295. MR  0555264.
• МакКин, Х. П. (1972), «Формула следа Сельберга в применении к компактной римановой поверхности», Сообщения по чистой и прикладной математике , 25 (3): 225–246, doi :10.1002/cpa.3160250302, ISSN  0010-3640, MR  0473166
• Сельберг, Атле (1956), «Гармонический анализ и разрывные группы в слабо симметричных римановых пространствах с приложениями к рядам Дирихле», J. Indian Math. Soc. , New Series, 20 : 47–87, MR  0088511
• Сунады, Тошикадзу (1991), Формулы следов в спектральной геометрии , Труды ICM-90 Киото, Springer-Verlag, стр. 577–585

Внешние ссылки

• Страница с ресурсами формулы следа Сельберга