Формулы Виета

Связь коэффициентов и корней многочлена

Франсуа Виет

В математике формулы Виета связывают коэффициенты многочлена с суммами и произведениями его корней . ^[1] Они названы в честь Франсуа Виета (чаще упоминаемого по латинизированной форме его имени, «Франциск Виета»).

Основные формулы

Любой общий многочлен степени n (с коэффициентами, являющимися действительными или комплексными числами, и a _n ≠ 0 ) имеет n (не обязательно различных) комплексных корней r ₁ , r ₂ , ..., r _n по основной теореме алгебры . Формулы Виета связывают коэффициенты многочлена со знаковыми суммами произведений корней r ₁ , r ₂ , ..., r _n следующим образом: $${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$$

Формулы Виета можно эквивалентно записать так для k = 1, 2, ..., n (индексы i _k отсортированы в порядке возрастания, чтобы гарантировать, что каждое произведение корней k используется ровно один раз). $${\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j=1}^{k}r_{i_{j}}\right)=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}$$

Левые части формул Виета представляют собой элементарные симметрические многочлены корней.

Система Виета (*) может быть решена методом Ньютона с помощью явной простой итерационной формулы, метода Дюрана-Кернера .

Обобщение на кольца

Формулы Виета часто используются с многочленами с коэффициентами в любой целочисленной области R. Тогда частные принадлежат полю дробей R (и, возможно, находятся в самом R , если оно обратимо в R ) , а корни берутся в алгебраически замкнутом расширении. Обычно R — это кольцо целых чисел , поле дробей — это поле рациональных чисел , а алгебраически замкнутое поле — это поле комплексных чисел . ${\displaystyle a_{i}/a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle r_{i}}$

Формулы Виета полезны, поскольку они обеспечивают соотношения между корнями без необходимости их вычисления.

Для многочленов над коммутативным кольцом , не являющимся областью целостности, формулы Виета справедливы только тогда, когда не является делителем нуля и разлагается на множители . Например, в кольце целых чисел по модулю 8 квадратный многочлен имеет четыре корня: 1, 3, 5 и 7. Формулы Виета не верны, если, скажем, и , поскольку . Однако разлагается на множители и также как , и формулы Виета верны, если мы положим либо и , либо и . ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\dots (x-r_{n})}$ ${\displaystyle P(x)=x^{2}-1}$ ${\displaystyle r_{1}=1}$ ${\displaystyle r_{2}=3}$ ${\displaystyle P(x)\neq (x-1)(x-3)}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle (x-1)(x-7)}$ ${\displaystyle (x-3)(x-5)}$ ${\displaystyle r_{1}=1}$ ${\displaystyle r_{2}=7}$ ${\displaystyle r_{1}=3}$ ${\displaystyle r_{2}=5}$

Пример

Формулы Виета, примененные к квадратным и кубическим многочленам:

Корни квадратного многочлена удовлетворяют ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ ${\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c}$ $${\displaystyle r_{1}+r_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}={\frac {c}{a}}.}$$

Первое из этих уравнений можно использовать для нахождения минимума (или максимума) P ; см. Квадратное уравнение § Формулы Виета .

Корни кубического многочлена удовлетворяют ${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3}}$ ${\displaystyle P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ $${\displaystyle r_{1}+r_{2}+r_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}={\frac {c}{a}},\quad r_{1}r_{2}r_{3}=-{\frac {d}{a}}.}$$

Доказательство

Прямое доказательство

Формулы Виета можно доказать , разложив равенство (что верно, поскольку являются всеми корнями этого многочлена), умножив множители в правой части и определив коэффициенты каждой степени $${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n})}$$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}$ ${\displaystyle x.}$

Формально, если разложить члены, то они будут точно такими, где либо 0, либо 1, соответственно, как включено в произведение или нет, а k — это число, которое включено, так что общее число факторов в произведении равно n ( с учетом кратности k ) — поскольку существует n бинарных выборов (включить или x ), есть члены — геометрически их можно понимать как вершины гиперкуба. Группировка этих членов по степени дает элементарные симметричные многочлены в — для x ^k , все различные k -кратные произведения ${\displaystyle (x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n}),}$ ${\displaystyle (-1)^{n-k}r_{1}^{b_{1}}\cdots r_{n}^{b_{n}}x^{k},}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle x^{k}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}.}$

В качестве примера рассмотрим квадратное уравнение $${\displaystyle f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{2}(x-r_{1})(x-r_{2})=a_{2}(x^{2}-x(r_{1}+r_{2})+r_{1}r_{2}).}$$

Сравнивая одинаковые степени , мы находим , и , с помощью которых мы можем, например, отождествить и , которые являются формулами Виета для . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a_{2}=a_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}=-a_{2}(r_{1}+r_{2})}$ ${\displaystyle a_{0}=a_{2}(r_{1}r_{2})}$ ${\displaystyle r_{1}+r_{2}=-a_{1}/a_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}r_{2}=a_{0}/a_{2}}$ ${\displaystyle n=2}$

Доказательство методом математической индукции

Формулы Виета можно также доказать методом индукции , как показано ниже.

Индуктивная гипотеза:

Пусть будет многочленом степени , с комплексными корнями и комплексными коэффициентами, где . Тогда индуктивная гипотеза заключается в том, что ${\displaystyle {P(x)}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {r_{1}},{r_{2}},{\dots },{r_{n}}}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle {a_{n}}\neq 0}$ $${\displaystyle {P(x)}={a_{n}}{x^{n}}+{{a_{n-1}}{x^{n-1}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}={{a_{n}}{x^{n}}}-{a_{n}}{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{(a_{n})}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}}$$

Базовый случай (квадратичный): ${\displaystyle n=2}$

Пусть будут коэффициентами квадратного уравнения, а будет свободным членом. Аналогично, пусть будут корнями квадратного уравнения: Разложим правую часть, используя распределительное свойство : Соберем подобные члены : Снова применим распределительное свойство: Индуктивная гипотеза теперь доказана верной для . ${\displaystyle {a_{2}},{a_{1}}}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle {r_{1}},{r_{2}}}$ $${\displaystyle {a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={a_{2}}{(x-r_{1})(x-r_{2})}}$$ $${\displaystyle {a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={a_{2}}{({x^{2}}-{r_{1}x}-{r_{2}x}+{r_{1}}{r_{2}})}}$$ $${\displaystyle {a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={a_{2}}{({x^{2}}-{({r_{1}}+{r_{2}}){x}}+{r_{1}}{r_{2}})}}$$ $${\displaystyle {a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={{a_{2}}{x^{2}}-{{a_{2}}({r_{1}}+{r_{2}}){x}}+{a_{2}}{({r_{1}}{r_{2}})}}}$$ ${\displaystyle n=2}$

Шаг индукции:

Предполагая, что индуктивная гипотеза верна для всех , она должна быть верна для всех . По теореме о факторах , можно вынести за скобки, оставив остаток 0. Обратите внимание, что корни многочлена в квадратных скобках : Вынесем за скобки , старший коэффициент , из многочлена в квадратных скобках: Для простоты обозначим коэффициенты и константу многочлена как : Используя индуктивную гипотезу, многочлен в квадратных скобках можно переписать как: Используя дистрибутивное свойство: После расширения и приведения подобных членов: Индуктивная гипотеза верна для , поэтому она должна быть верна ${\displaystyle n\geqslant 2}$ ${\displaystyle n+1}$ $${\displaystyle {P(x)}={a_{n+1}}{x^{n+1}}+{{a_{n}}{x^{n}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}}$$ ${\displaystyle {(x-r_{n+1})}}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},\cdots ,r_{n}}$ $${\displaystyle {P(x)}={(x-r_{n+1})}{[{\frac {{a_{n+1}}{x^{n+1}}+{{a_{n}}{x^{n}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}}{x-r_{n+1}}}]}}$$ ${\displaystyle a_{n+1}}$ ${\displaystyle P(x)}$ $${\displaystyle {P(x)}={(a_{n+{1}})}{(x-r_{n+1})}{[{\frac {{x^{n+1}}+{\frac {{a_{n}}{x^{n}}}{(a_{n+{1}})}}+{\cdots }+{{\frac {a_{1}}{(a_{n+{1}})}}{x}}+{\frac {a_{0}}{(a_{n+{1}})}}}{x-r_{n+1}}}]}}$$ ${\displaystyle \zeta }$ $${\displaystyle P(x)={(a_{n+1})}{(x-r_{n+1})}{[{x^{n}}+{\zeta _{n-1}x^{n-1}}+{\cdots }+{\zeta _{0}}]}}$$ $${\displaystyle P(x)={(a_{n+1})}{(x-r_{n+1})}{[{x^{n}}-{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}]}}$$ $${\displaystyle P(x)={(a_{n+1})}{({x}{[{x^{n}}-{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}]}{-r_{n+1}}{[{x^{n}}-{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}]})}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{P(x)}={{a_{n+1}}{x^{n+1}}}-{a_{n+1}}{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}+{r_{n+1}}){x^{n}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n+1}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}}{r_{n+1}})}}\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }$

Вывод: Разделив обе части на , мы доказываем справедливость формулы Виета. $${\displaystyle {a_{n}}{x^{n}}+{{a_{n-1}}{x^{n-1}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}={{a_{n}}{x^{n}}}-{a_{n}}{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}}$$ ${\displaystyle a_{n}}$

История

Как отражено в названии, формулы были открыты французским математиком XVI века Франсуа Виетом для случая положительных корней.

По мнению британского математика XVIII века Чарльза Хаттона , которого цитирует Фанкхаузер ^[2], общий принцип (не ограничивающийся положительными действительными корнями) был впервые понят французским математиком XVII века Альбером Жираром :

...[Жирар] был первым, кто понял общую доктрину образования коэффициентов степеней из суммы корней и их произведений. Он был первым, кто открыл правила суммирования степеней корней любого уравнения.

Смотрите также

• Математический портал

• Содержание (алгебра)
• Правило знаков Декарта
• Тождества Ньютона
• Теорема Гаусса–Лукаса
• Свойства корней полинома
• Теорема о рациональном корне
• Симметричный многочлен и элементарный симметричный многочлен

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. (2024-06-22). «Формулы Виета». MathWorld — веб-ресурс Wolfram .
2. (Фанкхаузер 1930)

• «Теорема Виета», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Фанкхаузер, Х. Грей (1930), «Краткий отчет об истории симметричных функций корней уравнений», American Mathematical Monthly , 37 (7), Математическая ассоциация Америки: 357–365, doi : 10.2307/2299273, JSTOR  2299273
• Винберг, ЭБ (2003), Курс алгебры , Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, ISBN 0-8218-3413-4
• Джукич, Душан и др. (2006), Сборник задач ММО: сборник задач, предложенных для Международных математических олимпиад 1959–2004 гг. , Springer, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, ISBN 0-387-24299-6