Формула Йенсена

Математическая формула в комплексном анализе

В комплексном анализе формула Йенсена связывает среднюю величину аналитической функции на окружности с числом ее нулей внутри окружности. Формула была введена Йоханом Йенсеном  (1899) и представляет собой важное утверждение в изучении целых функций .

Официальное заявление

Предположим, что — аналитическая функция в области комплексной плоскости , содержащей замкнутый круг радиуса вокруг начала координат, — нули внутри (повторяющиеся в соответствии с их соответствующей кратностью), и что . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {D} _{r}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {D} _{r}}$ ${\displaystyle f(0)\neq 0}$

Формула Йенсена утверждает, что ^[1]

${\displaystyle \log |f(0)|=-\sum _{k=1}^{n}\log \left({\frac {r}{|a_{k}|}}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta .}$

Эта формула устанавливает связь между модулями нулей внутри и средним значением на граничной окружности и может рассматриваться как обобщение свойства среднего значения гармонических функций . А именно, если не имеет нулей в , то формула Йенсена сводится к ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {D} _{r}}$ ${\displaystyle \log |f(z)|}$ ${\displaystyle |z|=r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {D} _{r}}$

${\displaystyle \log |f(0)|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta ,}$

что является свойством среднего значения гармонической функции . ${\displaystyle \log |f(z)|}$

Эквивалентное утверждение формулы Йенсена, которое часто используется, выглядит так:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta -\log |f(0)|=\int _{0}^{r}{\frac {n(t)}{t}}\,dt}$

где обозначает число нулей в круге радиуса с центром в начале координат. ${\displaystyle n(t)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$

Доказательство ^[1]

Достаточно доказать это . ${\displaystyle r=1}$

1. Если содержит нули на границе круга, то можно определить , где нули на границе круга. Поскольку мы свелись к доказательству теоремы для , то есть случая отсутствия нулей на границе круга. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g(z)={\frac {f(z)}{\prod _{k}(z-e^{i\theta _{k}})}}}$ ${\displaystyle e^{i\theta _{k}}}$ $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\ln |e^{i\theta }-e^{i\theta _{k}}|d\theta =2\int _{0}^{\pi }\ln(2\sin \theta )d\theta =0,}$$ ${\displaystyle g}$
2. Определим и заполним все устранимые особенности. Получим функцию , аналитическую в , и не имеющую корней в . $${\displaystyle F(z):={\frac {f(z)}{\prod _{k=1}^{n}(z-a_{k})}}}$$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B(0,1+\epsilon )}$ ${\displaystyle B(0,1)}$
3. Поскольку — гармоническая функция, мы можем применить к ней интегральную формулу Пуассона и получить, где можно записать как ${\displaystyle \log |F|=Re(\log F)}$ $${\displaystyle \log |F(0)|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |F(e^{i\theta })|\,d\theta ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(e^{i\theta })|\,d\theta -\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |e^{i\theta }-a_{k}|\,d\theta .}$$ ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\log |e^{i\theta }-a_{k}|\,d\theta }$ $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\log |e^{i\theta }-a_{k}|\,d\theta =\int _{0}^{2\pi }\log |1-a_{k}e^{-i\theta }|\,d\theta =Re\int _{0}^{2\pi }\log(1-a_{k}e^{-i\theta })\,d\theta .}$$
4. Теперь, является кратным контурного интеграла функции по окружности радиуса . Поскольку не имеет полюсов в , контурный интеграл равен нулю. ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\log(1-a_{k}e^{-i\theta })\,d\theta }$ ${\displaystyle \log(1-z)/z}$ ${\displaystyle |a_{k}|<1}$ ${\displaystyle \log(1-z)/z}$ ${\displaystyle B(0,|a_{k}|)}$

Приложения

Формула Йенсена может быть использована для оценки количества нулей аналитической функции в круге. А именно, если — функция аналитическая в круге радиуса с центром в точке и если ограничена на границе этого круга, то количество нулей в круге радиуса с центром в той же точке не превышает ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r<R}$ ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\log(R/r)}}\log {\frac {M}{|f(z_{0})|}}.}$

Формула Йенсена является важным утверждением в изучении распределения значений целых и мероморфных функций. В частности, она является отправной точкой теории Неванлинны и часто появляется в доказательствах теоремы Адамара о факторизации , которая требует оценки числа нулей целой функции.

Формула Йенсена также используется для доказательства обобщения теоремы Пэли-Винера для квазианалитических функций с . ^[2] В области теории управления (в частности: методы спектральной факторизации ) это обобщение часто называют условием Пэли-Винера . ^[3] ${\displaystyle r\rightarrow 1}$

Обобщения

Формулу Йенсена можно обобщить для функций, которые просто мероморфны на . А именно, предположим, что ${\displaystyle \mathbb {D} _{r}}$

${\displaystyle f(z)=z^{l}{\frac {g(z)}{h(z)}},}$

где и являются аналитическими функциями, имеющими нули при и соответственно, то формула Йенсена для мероморфных функций утверждает, что ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \mathbb {D} _{r}}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {D} _{r}\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{m}\in \mathbb {D} _{r}\setminus \{0\}}$

${\displaystyle \log \left|{\frac {g(0)}{h(0)}}\right|=\log \left|r^{m-n-l}{\frac {a_{1}\ldots a_{n}}{b_{1}\ldots b_{m}}}\right|+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta .}$

Формула Йенсена является следствием более общей формулы Пуассона–Йенсена , которая в свою очередь следует из формулы Йенсена путем применения преобразования Мёбиуса к . Она была введена и названа Рольфом Неванлинной . Если — функция, аналитическая в единичном круге, с нулями, расположенными внутри единичного круга, то для каждого в единичном круге формула Пуассона–Йенсена утверждает, что ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle z_{0}=r_{0}e^{i\varphi _{0}}}$

${\displaystyle \log |f(z_{0})|=\sum _{k=1}^{n}\log \left|{\frac {z_{0}-a_{k}}{1-{\bar {a}}_{k}z_{0}}}\right|+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r_{0}}(\varphi _{0}-\theta )\log |f(e^{i\theta })|\,d\theta .}$

Здесь,

${\displaystyle P_{r}(\omega )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }r^{|n|}e^{in\omega }}$

— ядро ​​Пуассона на единичном круге. Если функция не имеет нулей на единичном круге, формула Пуассона-Йенсена сводится к ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \log |f(z_{0})|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r_{0}}(\varphi _{0}-\theta )\log |f(e^{i\theta })|\,d\theta ,}$

что является формулой Пуассона для гармонической функции . ${\displaystyle \log |f(z)|}$

Смотрите также

• Теорема Пэли–Винера

Ссылки

1. Ahlfors, Lars V. (1979). "5.3.1, Формула Йенсена". Комплексный анализ: введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000657-1. OCLC  4036464.
2. Пейли и Винер 1934, стр. 14–20.
3. Сайед и Кайлат 2001, стр. 469–470.

Источники

• Альфорс, Ларс В. (1979), Комплексный анализ. Введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной , Международная серия по чистой и прикладной математике (3-е изд.), Дюссельдорф: McGraw–Hill, ISBN 0-07-000657-1, ЗБЛ  0395.30001
• Йенсен, Дж. (1899), «Sur un nouvel et Важной теории функций», Acta Mathematica (на французском языке), 22 (1): 359–364, doi : 10.1007/BF02417878 , ISSN  0001-5962, JFM  30.0364.02, МР  1554908
• Paley, Raymond EAC ; Wiener, Norbert (1934). Преобразования Фурье в комплексной области . Providence, RI: American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1019-4.
• Рэнсфорд, Томас (1995), Теория потенциала на комплексной плоскости , Лондонское математическое общество, студенческие тексты, т. 28, Кембридж: Cambridge University Press , ISBN 0-521-46654-7, ЗБЛ  0828.31001
• Сайед, AH; Кайлат, T. (2001). «Обзор спектральных методов факторизации». Численная линейная алгебра с приложениями . 8 (6–7): 467–496. doi :10.1002/nla.250. ISSN  1070-5325.