Формула Клейна–Нишины

Распределение Клейна–Нишины сечений углов рассеяния в диапазоне часто встречающихся энергий.

Сечение рассеяния электронов и фотонов

В физике элементарных частиц формула Клейна–Нишины дает дифференциальное сечение (т. е. «вероятность» и угловое распределение) фотонов , рассеянных одним свободным электроном , вычисленное в низшем порядке квантовой электродинамики . Впервые она была выведена в 1928 году Оскаром Клейном и Ёсио Нишиной , что является одним из первых успешных применений уравнения Дирака . ^[1] Формула описывает как томсоновское рассеяние фотонов низкой энергии (например, видимого света ), так и комптоновское рассеяние фотонов высокой энергии (например, рентгеновских лучей и гамма-лучей ), показывая, что полное сечение и ожидаемый угол отклонения уменьшаются с увеличением энергии фотона.

Формула

Для падающего неполяризованного фотона с энергией дифференциальное сечение равно: ^[2] ${\displaystyle E_{\gamma }}$

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {1}{2}}r_{e}^{2}\left({\frac {\lambda }{\lambda '}}\right)^{2}\left[{\frac {\lambda }{\lambda '}}+{\frac {\lambda '}{\lambda }}-\sin ^{2}(\theta )\right]}$

где

• ${\displaystyle r_{e}}$классический радиус электрона (~2,82 фм , около 7,94 × 10−30 ^м 2 ^или 79,4 мб ) ${\displaystyle r_{e}^{2}}$
• ${\displaystyle \lambda /\lambda '}$это отношение длин волн падающего и рассеянного фотонов
• ${\displaystyle \theta }$— угол рассеяния (0 для неотклоненного фотона).

Угловая зависимость отношения длин волн фотона (или энергии, или частоты) составляет

${\displaystyle {\frac {\lambda }{\lambda '}}={\frac {E_{\gamma '}}{E_{\gamma }}}={\frac {\omega '}{\omega }}={\frac {1}{1+\epsilon (1-\cos \theta )}}}$

как того требует закон сохранения релятивистской энергии и импульса (см. Комптоновское рассеяние ). Безразмерная величина выражает энергию падающего фотона через энергию покоя электрона (~511 кэВ ), а также может быть выражена как , где — комптоновская длина волны электрона (~2,42 пм). Обратите внимание, что коэффициент рассеяния монотонно увеличивается с углом отклонения, от (рассеяние вперед, передача энергии отсутствует) до (обратное рассеяние на 180 градусов, максимальная передача энергии). ${\displaystyle \epsilon =E_{\gamma }/m_{e}c^{2}}$ ${\displaystyle \epsilon =\lambda _{c}/\lambda }$ ${\displaystyle \lambda _{c}=h/m_{e}c}$ ${\displaystyle \lambda '/\lambda }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1+2\epsilon }$

В некоторых случаях удобно выразить классический радиус электрона через длину волны Комптона: , где — постоянная тонкой структуры (~1/137), а — приведенная комптоновская длина волны электрона (~0,386 пм), так что константа в поперечном сечении может быть задана как: ${\displaystyle r_{e}=\alpha {\bar {\lambda }}_{c}=\alpha \lambda _{c}/2\pi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\bar {\lambda }}_{c}=\hbar /m_{e}c}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}r_{e}^{2}={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}{\bar {\lambda }}_{c}^{2}={\frac {\alpha ^{2}\lambda _{c}^{2}}{8\pi ^{2}}}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m_{e}^{2}c^{2}}}}$

Поляризованные фотоны

Если входящий фотон поляризован, рассеянный фотон больше не изотропен по отношению к азимутальному углу. Для линейно поляризованного фотона, рассеянного свободным электроном в состоянии покоя, дифференциальное сечение вместо этого определяется как:

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {1}{2}}r_{e}^{2}\left({\frac {\lambda }{\lambda '}}\right)^{2}\left[{\frac {\lambda }{\lambda '}}+{\frac {\lambda '}{\lambda }}-2\sin ^{2}(\theta )\cos ^{2}(\phi )\right]}$

где — азимутальный угол рассеяния. Обратите внимание, что неполяризованное дифференциальное сечение можно получить путем усреднения по . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \cos ^{2}(\phi )}$

Пределы

Низкое потребление энергии

Для фотонов с низкой энергией сдвиг длины волны становится незначительным ( ), и формула Клейна–Нишины сводится к классическому выражению Томсона : ${\displaystyle \lambda /\lambda '\approx 1}$

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}\approx {\frac {1}{2}}r_{e}^{2}\left(1+\cos ^{2}(\theta )\right)\qquad (\epsilon \ll 1)}$

которая симметрична по углу рассеяния, т. е. фотон с одинаковой вероятностью будет рассеиваться назад и вперед. С ростом энергии эта симметрия нарушается, и фотон становится более склонен рассеиваться вперед.

Высокая энергия

Для фотонов высокой энергии полезно различать рассеяние на малые и большие углы. Для больших углов, где , коэффициент рассеяния большой и ${\displaystyle \epsilon (1-\cos \theta )\gg 1}$ ${\displaystyle \lambda '/\lambda }$

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}\approx {\frac {1}{2}}r_{e}^{2}{\frac {\lambda }{\lambda '}}\approx {\frac {1}{2}}r_{e}^{2}{\frac {1}{1+\epsilon (1-\cos \theta )}}\qquad (\epsilon \gg 1,\theta \gg \epsilon ^{-1/2})}$

показывая, что дифференциальное сечение (большого угла) обратно пропорционально энергии фотона.

Дифференциальное сечение имеет постоянный пик в прямом направлении:

${\displaystyle \left({\frac {d\sigma }{d\Omega }}\right)_{\theta =0}=r_{e}^{2}}$

независимо от . Из анализа больших углов следует, что этот пик может простираться только до примерно . Таким образом, прямой пик ограничен малым телесным углом примерно , и мы можем заключить, что полное малоугловое поперечное сечение уменьшается с . ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \theta _{c}\approx \epsilon ^{-1/2}}$ ${\displaystyle \pi \theta _{c}^{2}}$ ${\displaystyle \epsilon ^{-1}}$

Полное поперечное сечение

Дифференциальное сечение можно интегрировать для нахождения полного сечения :

${\displaystyle \sigma =2\pi r_{e}^{2}{\Biggl [}{\frac {1+\epsilon }{\epsilon ^{3}}}{\Biggl (}{\frac {2\epsilon (1+\epsilon )}{1+2\epsilon }}-\ln {(1+2\epsilon )}{\Biggr )}+{\frac {\ln {(1+2\epsilon )}}{2\epsilon }}-{\frac {1+3\epsilon }{(1+2\epsilon )^{2}}}{\Biggr ]}}$

В пределе низких энергий зависимость от энергии отсутствует, и мы восстанавливаем сечение Томсона (~66,5 Фм ² ):

${\displaystyle \sigma \approx {\frac {8}{3}}\pi r_{e}^{2}\qquad (E_{\gamma }\ll m_{e}c^{2})}$

История

Формула Клейна–Нишины была выведена в 1928 году Оскаром Клейном и Ёсио Нишиной и стала одним из первых результатов, полученных при изучении квантовой электродинамики . Учёт релятивистских и квантово-механических эффектов позволил разработать точное уравнение для рассеяния излучения от электрона-мишени. До этого вывода сечение электрона было классически выведено британским физиком и открывателем электрона Дж . Дж. Томсоном . Однако эксперименты по рассеянию показали значительные отклонения от результатов, предсказанных сечением Томсона. Дальнейшие эксперименты по рассеянию прекрасно согласовались с предсказаниями формулы Клейна–Нишины. ^{[ необходима цитата ]}

Смотрите также

• Синхротронное излучение
• Ёсио Нишина
• Оскар Кляйн

Ссылки

1. Кляйн, О; Нишина, Ю (1929). «Über die Streuung von Strahlung durch freeie Elektronen nach der neuen relativistischen Quantendynamic von Dirac». З. Физ . 52 (11–12): 853 и 869. Бибкод : 1929ZPhy...52..853K. дои : 10.1007/BF01366453. S2CID  123905506.
2. Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей . Т. I. С. 362–9.

Дальнейшее чтение

• Эванс, РД (1955). Атомное ядро . Нью-Йорк: McGraw-Hill. С. 674–676. OCLC  542611.
• Мелиссинос, AC (1966). Эксперименты в современной физике . Нью-Йорк: Academic Press. С. 252–265. ISBN 0-12-489850-5.
• Klein, O.; Nishina, Y. (1994). «О рассеянии излучения свободными электронами в соответствии с новой релятивистской квантовой динамикой Дирака». В Ekspong, Gösta (ред.). Лекции памяти Оскара Клейна, т. 2: Лекции Ганса А. Бете и Алана Х. Гута с переведенными репринтами Оскара Клейна . Сингапур: World Scientific. стр. 113–139. Bibcode :1994okml.book.....E.