Формулы Френе-Серре

Формулы дифференциальной геометрии

Пространственная кривая; векторы T , N и B ; и соприкасающаяся плоскость, образованная T и N.

В дифференциальной геометрии формулы Френе–Серре описывают кинематические свойства частицы, движущейся вдоль дифференцируемой кривой в трехмерном евклидовом пространстве , или геометрические свойства самой кривой независимо от какого-либо движения. Более конкретно, формулы описывают производные так называемых касательных, нормальных и бинормальных единичных векторов в терминах друг друга. Формулы названы в честь двух французских математиков, которые независимо друг от друга их открыли: Жана Фредерика Френе в его диссертации 1847 года и Жозефа Альфреда Серре в 1851 году. Векторная нотация и линейная алгебра, которые в настоящее время используются для записи этих формул, еще не были доступны во время их открытия. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Касательные, нормальные и бинормальные единичные векторы, часто называемые T , N и B , или совместно системой Френе-Серре ( система TNB или базис TNB ), вместе образуют ортонормированный базис и определяются следующим образом: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

• T — единичный вектор, касательный к кривой, указывающий направление движения.
• N — нормальный единичный вектор, производная T по параметру длины дуги кривой, деленная на ее длину.
• B — бинормальный единичный вектор, векторное произведение T и N.

Формулы Френе-Серре следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\{\frac {\mathrm {d} \mathbf {N} }{\mathrm {d} s}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\{\frac {\mathrm {d} \mathbf {B} }{\mathrm {d} s}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{aligned}}}$

где d / ds — производная по длине дуги, κ — кривизна , а τ — кручение пространственной кривой. (Интуитивно понятно, что кривизна измеряет неспособность кривой быть прямой линией, в то время как кручение измеряет неспособность кривой быть плоской.) Базис TNB в сочетании с двумя скалярами , κ и τ , совместно называется аппаратом Френе-Серре .

Определения

Векторы T и N в двух точках на плоской кривой, переведенная версия второго кадра (пунктирная) и изменение T : δ T' . δs — расстояние между точками. В пределе будет в направлении N , а кривизна описывает скорость вращения кадра. ${\displaystyle {\tfrac {d\mathbf {T} }{ds}}}$

Пусть r ( t ) — кривая в евклидовом пространстве , представляющая вектор положения частицы как функцию времени. Формулы Френе–Серре применяются к кривым, которые являются невырожденными , что примерно означает, что они имеют ненулевую кривизну . Более формально, в этой ситуации вектор скорости r ′( t ) и вектор ускорения r ′′( t ) должны быть не пропорциональны.

Пусть s ( t ) представляет собой длину дуги , которую частица прошла по кривой за время t . Величина s используется для придания кривой, вычерченной траекторией частицы, естественной параметризации длиной дуги (т.е. параметризации длины дуги ), поскольку множество различных траекторий частиц могут вычерчивать одну и ту же геометрическую кривую, пересекая ее с разной скоростью. В деталях s определяется как

${\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}\left\|\mathbf {r} '(\sigma )\right\|d\sigma .}$

Более того, поскольку мы предположили, что r ′ ≠ 0, то отсюда следует, что s ( t ) является строго монотонно возрастающей функцией. Следовательно, можно решить для t как функции s , и, таким образом, записать r ( s ) = r ( t ( s )). Таким образом, кривая параметризуется предпочтительным образом длиной дуги.

С помощью невырожденной кривой r ( s ), параметризованной длиной дуги, теперь можно определить систему координат Френе–Серре (или систему координат TNB ):

• Касательный единичный вектор T определяется как $${\displaystyle \mathbf {T} :={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} s}}.}$$
• Нормальный единичный вектор N определяется как , из которого следует, поскольку T всегда имеет единичную величину , что N (изменение T ) всегда перпендикулярно T , поскольку нет никакого изменения длины T . Обратите внимание, что, вызывая кривизну, мы автоматически получаем первое соотношение. $${\displaystyle \mathbf {N} :={{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}} \over \left\|{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}\right\|},}$$ ${\displaystyle \kappa =\left\|{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}\right\|}$

• Бинормальный единичный вектор B определяется как векторное произведение T и N : $${\displaystyle \mathbf {B} :=\mathbf {T} \times \mathbf {N} ,}$$

Рамка Френе-Серре, движущаяся по спирали . T представлена ​​синей стрелкой, N представлена ​​красной стрелкой, а B представлена ​​черной стрелкой.

откуда следует, что B всегда перпендикулярен как T , так и N. Таким образом, три единичных вектора T , N и B перпендикулярны друг другу.

Формулы Френе-Серре следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\{\frac {\mathrm {d} \mathbf {N} }{\mathrm {d} s}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\{\frac {\mathrm {d} \mathbf {B} }{\mathrm {d} s}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{aligned}}}$

где - кривизна , а - кручение . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \tau }$

Формулы Френе–Серре также известны как теорема Френе–Серре и могут быть сформулированы более кратко с использованием матричной записи: ^[1]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {T'} \\\mathbf {N'} \\\mathbf {B'} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}$

Эта матрица кососимметрична .

Формулы внразмеры

Формулы Френе–Серре были обобщены на многомерные евклидовы пространства Камиллом Жорданом в 1874 году.

Предположим, что r ( s ) — гладкая кривая в , и что первые n производных r линейно независимы. ^[2] Векторы в системе Френе–Серре представляют собой ортонормированный базис, построенный путем применения процесса Грама-Шмидта к векторам ( r ′( s ), r ′′( s ), ..., r ^{( n )} ( s )). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Более подробно, единичный касательный вектор является первым вектором Френе e ₁ ( s ) и определяется как

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)\|}}}$

где

${\displaystyle {\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)=\mathbf {r} '(s)}$

Нормальный вектор , иногда называемый вектором кривизны , указывает на отклонение кривой от прямой линии. Он определяется как

${\displaystyle {\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)=\mathbf {r} ''(s)-\langle \mathbf {r} ''(s),\mathbf {e} _{1}(s)\rangle \,\mathbf {e} _{1}(s)}$

Его нормализованная форма, единичный нормальный вектор , является вторым вектором Френе e ₂ ( s ) и определяется как

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)\|}}}$

Касательная и нормальный вектор в точке s определяют соприкасающуюся плоскость в точке r ( s ).

Остальные векторы в системе координат (бинормаль, тринормаль и т.д.) определяются аналогично:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{j}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)\|}}{\mbox{, }}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)=\mathbf {r} ^{(j)}(s)-\sum _{i=1}^{j-1}\langle \mathbf {r} ^{(j)}(s),\mathbf {e} _{i}(s)\rangle \,\mathbf {e} _{i}(s).\end{aligned}}}$

Последний вектор в кадре определяется векторным произведением первых векторов: ${\displaystyle n-1}$

${\displaystyle {\mathbf {e} _{n}}(s)={\mathbf {e} _{1}}(s)\times {\mathbf {e} _{2}}(s)\times \dots \times {\mathbf {e} _{n-2}}(s)\times {\mathbf {e} _{n-1}}(s)}$

Действительные функции, используемые ниже χ _i ( s ), называются обобщенной кривизной и определяются как

${\displaystyle \chi _{i}(s)={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(s),\mathbf {e} _{i+1}(s)\rangle }{\|\mathbf {r} '(s)\|}}}$

Формулы Френе-Серре , изложенные на матричном языке, имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}'(s)\\\end{bmatrix}}=\\\end{aligned}}\|\mathbf {r} '(s)\|\cdot {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(s)&&0\\-\chi _{1}(s)&\ddots &\ddots &\\&\ddots &0&\chi _{n-1}(s)\\0&&-\chi _{n-1}(s)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}(s)\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что, как определено здесь, обобщенные кривизны и рамка могут немного отличаться от соглашения, найденного в других источниках. Верхняя кривизна (также называемая кручением, в этом контексте) и последний вектор в рамке , отличаются знаком ${\displaystyle \chi _{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{n}}$

${\displaystyle \operatorname {or} \left(\mathbf {r} ^{(1)},\dots ,\mathbf {r} ^{(n)}\right)}$

(ориентация базиса) от обычного кручения. Формулы Френе–Серре инвариантны относительно изменения знака как у , так и , и эта смена знака делает фрейм положительно ориентированным. Как определено выше, фрейм наследует свою ориентацию от струи . ${\displaystyle \chi _{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Доказательство формул Френе-Серре

Первая формула Френе-Серре верна по определению нормали N и кривизны κ, а третья формула Френе-Серре верна по определению кручения τ. Таким образом, нужно показать вторую формулу Френе-Серре.

Поскольку T , N и B являются ортогональными единичными векторами с B = T × N , то также имеем T = N × B и N = B × T. Дифференцирование последнего уравнения по s дает

∂ N / ∂s = (∂ B / ∂s) × T + B × (∂ T / ∂s)

Используя ∂ B / ∂s = -τ N и ∂ T / ∂s = κ N , это становится

∂ N / ∂s знак равно -τ ( N × Т ) + κ ( B × N )

= τ B - κ T

Это как раз вторая формула Френе-Серре.

Приложения и интерпретация

Кинематика рамы

Система отсчета Френе–Серре, движущаяся по винтовой линии в пространстве.

Система Френе–Серре, состоящая из касательной T , нормали N и бинормали B, совместно образует ортонормальный базис 3-мерного пространства. В каждой точке кривой это присоединяет систему отсчета или прямолинейную систему координат (см. изображение).

Формулы Френе–Серре допускают кинематическую интерпретацию. Представьте себе, что наблюдатель движется вдоль кривой во времени, используя прикрепленную в каждой точке систему координат. Формулы Френе–Серре означают, что эта система координат постоянно вращается по мере движения наблюдателя вдоль кривой. Следовательно, эта система координат всегда неинерциальна . Момент импульса системы координат наблюдателя пропорционален вектору Дарбу системы координат.

Волчок, ось которого расположена вдоль бинормали, вращается с угловой скоростью κ. Если ось расположена вдоль касательной, то вращается с угловой скоростью τ.

Конкретно, предположим, что наблюдатель несет (инерциальный) волчок ( или гироскоп ) с собой вдоль кривой. Если ось волчка указывает вдоль касательной к кривой, то будет наблюдаться его вращение вокруг своей оси с угловой скоростью -τ относительно неинерциальной системы координат наблюдателя. Если, с другой стороны, ось волчка указывает в бинормальном направлении, то будет наблюдаться его вращение с угловой скоростью -κ. Это легко визуализировать в случае, когда кривизна является положительной константой, а кручение исчезает. Тогда наблюдатель находится в равномерном круговом движении . Если волчок указывает в направлении бинормали, то в силу сохранения момента импульса он должен вращаться в направлении, противоположном круговому движению. В предельном случае, когда кривизна исчезает, нормаль наблюдателя прецессирует вокруг касательного вектора, и аналогично волчок будет вращаться в направлении, противоположном этой прецессии.

Ниже проиллюстрирован общий случай. Дополнительные иллюстрации можно найти на Wikimedia.

Приложения

Кинематика рамы имеет множество применений в науке.

• В науках о жизни , особенно в моделях движения микробов, рассмотрение системы Френе-Серре использовалось для объяснения механизма, посредством которого движущийся организм в вязкой среде изменяет свое направление. ^[3]
• В физике система Френе–Серре полезна, когда невозможно или неудобно назначить естественную систему координат для траектории. Так часто бывает, например, в теории относительности . В этой обстановке системы Френе–Серре использовались для моделирования прецессии гироскопа в гравитационном колодце. ^[4]

Графические иллюстрации

1. Пример движущегося базиса Френе ( T — синий, N — зеленый, B — фиолетовый) вдоль кривой Вивиани .

2. На примере торического узла показаны касательный вектор T , нормальный вектор N и бинормальный вектор B
   , а также кривизна κ(s) и кручение τ(s). На пиках функции кручения отчетливо видно вращение системы координат Френе–Серре ( T , N , B ) вокруг касательного вектора.

3. Кинематическое значение кривизны лучше всего иллюстрируется на примере плоских кривых (имеющих постоянное кручение, равное нулю). См. страницу о кривизне плоских кривых .

Формулы Френе – Серре в исчислении

Формулы Френе-Серре часто вводятся в курсы по многомерному исчислению в качестве дополнения к изучению пространственных кривых, таких как спираль . Спираль может быть охарактеризована высотой 2π h и радиусом r одного витка. Кривизна и кручение спирали (с постоянным радиусом) определяются формулами

${\displaystyle \kappa ={\frac {r}{r^{2}+h^{2}}}}$

${\displaystyle \tau =\pm {\frac {h}{r^{2}+h^{2}}}.}$

Две спирали (слинки) в пространстве. (а) Более компактная спираль с большей кривизной и меньшим кручением. (б) Растянутая спираль с немного большей кручением, но меньшей кривизной.

Знак кручения определяется правым или левым направлением , в котором спираль закручивается вокруг своей центральной оси. Явно параметризация одного витка правой спирали с высотой 2π h и радиусом r имеет вид

x = r стоимость t

у = r sin t

z = h t

(0 ≤ t ≤ 2π)

и, для левой спирали,

x = r стоимость t

у = − r sin t

z = h t

(0 ≤ t ≤ 2π).

Обратите внимание, что это не параметризации длины дуги (в этом случае каждый из x , y и z необходимо будет разделить на ). ${\displaystyle {\sqrt {h^{2}+r^{2}}}}$

В своих пояснительных работах по геометрии кривых Руди Рукер ^[5] использует модель пружины- пружины , чтобы объяснить значение кручения и кривизны. Пружина-пружина, говорит он, характеризуется тем свойством, что величина

${\displaystyle A^{2}=h^{2}+r^{2}}$

остается постоянной, если пружину растянуть вертикально вдоль ее центральной оси. (Здесь 2π h — высота одного витка пружины, а r — радиус.) В частности, кривизна и кручение являются дополнительными в том смысле, что кручение можно увеличить за счет кривизны, растянув пружину.

разложение Тейлора

Многократное дифференцирование кривой и применение формул Френе-Серре дает следующую аппроксимацию Тейлора для кривой вблизи s  = 0, если кривая параметризована длиной дуги: ^[6]

${\displaystyle \mathbf {r} (s)=\mathbf {r} (0)+\left(s-{\frac {s^{3}\kappa ^{2}(0)}{6}}\right)\mathbf {T} (0)+\left({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)}{6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3}).}$

Для общей кривой с ненулевым кручением проекции кривой на различные координатные плоскости в системе координат T , N , B при s = 0 имеют следующие интерпретации:

• Соприкасающаяся плоскость — это плоскость, содержащая T и N . Проекция кривой на эту плоскость имеет вид: Это парабола с точностью до членов порядка , кривизна которой в точке 0 равна κ (0). Соприкасающаяся плоскость обладает особым свойством, заключающимся в том, что расстояние от кривой до соприкасающейся плоскости равно , в то время как расстояние от кривой до любой другой плоскости не лучше . Это можно увидеть из приведенного выше разложения Тейлора. Таким образом, в некотором смысле соприкасающаяся плоскость — это ближайшая плоскость к кривой в данной точке. $${\displaystyle \mathbf {r} (0)+s\mathbf {T} (0)+{\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}\mathbf {N} (0)+o(s^{2}).}$$ ${\displaystyle O(s^{2})}$ ${\displaystyle O(s^{3})}$ ${\displaystyle O(s^{2})}$
• Нормальная плоскость — это плоскость, содержащая N и B. Проекция кривой на эту плоскость имеет вид: которая является каспидальной кубикой порядка o ( s ³ ). $${\displaystyle \mathbf {r} (0)+\left({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)}{6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3})}$$
• Спрямляющая плоскость — это плоскость, содержащая T и B. Проекция кривой на эту плоскость: которая вычерчивает график кубического полинома порядка o ( s ³ ). $${\displaystyle \mathbf {r} (0)+\left(s-{\frac {s^{3}\kappa ^{2}(0)}{6}}\right)\mathbf {T} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3})}$$

Ленты и трубки

Лента, определяемая кривой постоянного кручения и сильно осциллирующей кривизной. Параметризация длины дуги кривой была определена посредством интегрирования уравнений Френе-Серре.

Аппарат Френе-Серре позволяет определить некоторые оптимальные ленты и трубки, центрированные вокруг кривой. Они имеют разнообразные приложения в материаловедении и теории упругости , ^[7] а также в компьютерной графике . ^[8]

Лента Френе ^[9] вдоль кривой C — это поверхность, вычерченная путем заметания отрезка [− N , N ], образованного единичной нормалью вдоль кривой. Эту поверхность иногда путают с развертывающейся касательной , которая является огибающей E соприкасающихся плоскостей C . Возможно, это связано с тем, что и лента Френе, и E демонстрируют схожие свойства вдоль C . А именно, касательные плоскости обоих листов E , вблизи особого места C , где эти листы пересекаются, приближаются к соприкасающимся плоскостям C ; касательные плоскости ленты Френе вдоль C равны этим соприкасающимся плоскостям. Лента Френе в общем случае не является развертывающейся.

Совпадение кривых

В классической евклидовой геометрии изучается свойство фигур на плоскости, которое инвариантно относительно конгруэнтности, так что если две фигуры конгруэнтны, то они должны иметь те же свойства. Аппарат Френе-Серре представляет кривизну и кручение как числовые инварианты пространственной кривой.

Грубо говоря, две кривые C и C ′ в пространстве конгруэнтны , если одну можно жестко переместить в другую. Жесткое движение состоит из комбинации переноса и вращения. Перенос перемещает одну точку C в точку C ′. Затем вращение изменяет ориентацию кривой C так, чтобы она совпадала с ориентацией C ′. Такая комбинация переноса и вращения называется евклидовым движением . В терминах параметризации r ( t ), определяющей первую кривую C , общее евклидово движение C является составной частью следующих операций:

• ( Перевод ) r ( t ) → r ( t ) + v , где v — постоянный вектор.
• ( Вращение ) r ( t ) + v → M ( r ( t ) + v ), где M — матрица вращения.

Система Френе–Серре особенно хорошо себя ведет в отношении евклидовых движений. Во-первых, поскольку T , N и B могут быть заданы как последовательные производные параметризации кривой, каждая из них нечувствительна к добавлению постоянного вектора к r ( t ). Интуитивно, система TNB, прикрепленная к r ( t ), совпадает с системой TNB , прикрепленной к новой кривой r ( t ) + v .

Остается рассмотреть только вращения. Интуитивно, если мы применим вращение M к кривой, то система TNB также повернется. Точнее, матрица Q , строки которой являются векторами TNB системы Френе–Серре, изменяется на матрицу вращения

${\displaystyle Q\rightarrow QM.}$

Тем более , матрица ⁠дК/дс⁠ Q ^T не подвержен влиянию вращения:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (QM)}{\mathrm {d} s}}(QM)^{\top }={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} s}}MM^{\top }Q^{\top }={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} s}}Q^{\top }}$

поскольку MM ^T = I для матрицы вращения.

Отсюда записи κ и τ из ⁠дК/дс⁠ Q ^T являются инвариантами кривой относительно евклидовых движений: если к кривой применить евклидово движение, то полученная кривая имеет ту же кривизну и кручение.

Более того, используя систему Френе–Серре, можно доказать и обратное: любые две кривые, имеющие одинаковые функции кривизны и кручения, должны быть конгруэнтны относительно евклидова движения. Грубо говоря, формулы Френе–Серре выражают производную Дарбу системы TNB . Если производные Дарбу двух систем равны, то версия фундаментальной теоремы исчисления утверждает, что кривые конгруэнтны. В частности, кривизна и кручение являются полным набором инвариантов для кривой в трех измерениях.

Другие выражения кадра

Формулы, приведенные выше для T , N и B, зависят от кривой, заданной в терминах параметра длины дуги. Это естественное предположение в евклидовой геометрии , поскольку длина дуги является евклидовым инвариантом кривой. В терминологии физики параметризация длины дуги является естественным выбором калибровки . Однако на практике с ней может быть неудобно работать. Доступно множество других эквивалентных выражений.

Предположим, что кривая задана r ( t ), где параметр t больше не должен быть длиной дуги. Тогда единичный касательный вектор T может быть записан как

${\displaystyle \mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{\|\mathbf {r} '(t)\|}}}$

Нормальный вектор N принимает вид

${\displaystyle \mathbf {N} (t)={\frac {\mathbf {T} '(t)}{\|\mathbf {T} '(t)\|}}={\frac {\mathbf {r} '(t)\times \left(\mathbf {r} ''(t)\times \mathbf {r} '(t)\right)}{\left\|\mathbf {r} '(t)\right\|\,\left\|\mathbf {r} ''(t)\times \mathbf {r} '(t)\right\|}}}$

Тогда бинормаль B равна

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=\mathbf {T} (t)\times \mathbf {N} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)}{\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|}}}$

Альтернативный способ получить те же выражения — взять первые три производные кривой r ′( t ), r ′′( t ), r ′′′( t ) и применить процесс Грама-Шмидта . Полученный упорядоченный ортонормированный базис — это в точности TNB- фрейм. Эта процедура также обобщается для создания фреймов Френе в более высоких измерениях.

В терминах параметра t формулы Френе-Серре получают дополнительный множитель || r ′( t )|| из-за цепного правила :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}=\|\mathbf {r} '(t)\|{\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}}$

Явные выражения для кривизны и кручения могут быть вычислены. Например,

${\displaystyle \kappa ={\frac {\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|}{\|\mathbf {r} '(t)\|^{3}}}}$

Кручение можно выразить с помощью скалярного тройного произведения следующим образом:

${\displaystyle \tau ={\frac {[\mathbf {r} '(t),\mathbf {r} ''(t),\mathbf {r} '''(t)]}{\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|^{2}}}}$

Особые случаи

Если кривизна всегда равна нулю, то кривая будет прямой линией. Здесь векторы N , B и кручение не определены.

Если кручение всегда равно нулю, то кривая будет лежать в плоскости.

Кривая может иметь ненулевую кривизну и нулевое кручение. Например, окружность радиуса R , заданная формулой r ( t )=( R cos t , R sin t , 0) в плоскости z = 0, имеет нулевое кручение и кривизну, равную 1/ R . Обратное, однако, неверно. То есть, регулярная кривая с ненулевым кручением должна иметь ненулевую кривизну. Это просто контрапозитив того факта, что нулевая кривизна подразумевает нулевое кручение.

Спираль имеет постоянную кривизну и постоянное кручение .

Плоские кривые

Если кривая содержится в -плоскости, то ее касательный вектор и главный единичный нормальный вектор также будут лежать в -плоскости. В результате единичный бинормальный вектор перпендикулярен плоскости и, таким образом, должен быть либо , либо . По правилу правой руки будет , если при взгляде сверху траектория кривой поворачивает влево, и будет , если она поворачивает вправо. В результате кручение всегда будет равно нулю, а формула для кривизны станет ${\displaystyle {\bf {r}}(t)=\langle x(t),y(t),0\rangle }$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle {\displaystyle {\bf {T}}={\frac {{\bf {r}}'(t)}{||{\bf {r}}'(t)||}}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle {\bf {N}}={\frac {{\bf {T}}'(t)}{||{\bf {T}}'(t)||}}}}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle {\bf {B}}={\bf {T}}\times {\bf {N}}}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle \langle 0,0,1\rangle }$ ${\displaystyle \langle 0,0,-1\rangle }$ ${\displaystyle {\bf {B}}}$ ${\displaystyle \langle 0,0,1\rangle }$ ${\displaystyle \langle 0,0,-1\rangle }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\frac {||{\bf {r}}'(t)\times {\bf {r}}''(t)||}{||{\bf {r}}'(t)||^{3}}}}$ ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \kappa ={\frac {|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{((x'(t))^{2}+(y'(t))^{2})^{3/2}}}}$

Смотрите также

• Математический портал

• Аффинная геометрия кривых
• Дифференцируемая кривая
• Рамка Дарбу
• Кинематика
• Движущаяся рамка
• Тангенциальные и нормальные компоненты
• Радиальный, поперечный, нормальный

Примечания

1. Кюнель 2002, §1.9
2. Только первые n  − 1 фактически должны быть линейно независимыми, так как последний оставшийся вектор кадра e _n может быть выбран как единичный вектор, ортогональный к размаху остальных, так что результирующий кадр будет положительно ориентирован.
3. Креншоу (1993).
4. Айер и Вишвешвара (1993).
5. Ракер, Руди (1999). «Наблюдение за полетом мух: кривые пространства Каппатау». Университет штата Сан-Хосе. Архивировано из оригинала 15 октября 2004 г.
6. Кюнель 2002, стр. 19
7. Горели и др. (2006).
8. Хансон.
9. Терминологию см. в Sternberg (1964). Lectures on Differential Geometry . Englewood Cliffs, NJ, Prentice-Hall. стр. 252-254. ISBN 9780135271506..

Ссылки

• Креншоу, ХК; Эдельштейн-Кешет, Л. (1993), «Ориентация с помощью винтового движения II. Изменение направления оси движения», Бюллетень математической биологии , 55 (1): 213–230, doi :10.1016/s0092-8240(05)80070-9, S2CID  50734771
• Этген, Гаррет; Хилле, Эйнар; Салас, Сатурнино (1995), Исчисление Саласа и Хилле — одна и несколько переменных (7-е изд.), John Wiley & Sons, стр. 896
• Френе, Ф. (1847), Sur les Courbes à Double Courbure (PDF) , Тез, Тулуза. Аннотация в Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 17 , 1852 г.
• Goriely, A.; Robertson-Tessi, M.; Tabor, M.; Vandiver, R. (2006), "Модели упругого роста", BIOMAT-2006 (PDF) , Springer-Verlag, архивировано из оригинала (PDF) 29.12.2006.
• Гриффитс, Филлип (1974), «О методе Картана групп Ли и подвижных фреймов в применении к вопросам единственности и существования в дифференциальной геометрии», Duke Mathematical Journal , 41 (4): 775–814, doi :10.1215/S0012-7094-74-04180-5, S2CID  12966544.
• Гуггенхаймер, Генрих (1977), Дифференциальная геометрия , Дувр, ISBN 0-486-63433-7
• Хансон, А. Дж. (2007), «Кватернионные рамки Френе: создание оптимальных трубок и лент из кривых» (PDF) , Технический отчет Университета Индианы
• Айер, BR; Вишвешвара, CV (1993), «Описание гироскопической прецессии по Френе-Серре», Phys. Rev. , D, 48 (12): 5706–5720, arXiv : gr-qc/9310019 , Bibcode : 1993PhRvD..48.5706I, doi : 10.1103/physrevd.48.5706, PMID  10016237, S2CID  119458843
• Джордан, Камилла (1874), «Сюр-ла-теория курбов в пространстве n измерений», CR Acad. наук. Париж , 79 : 795–797 .
• Кюнель, Вольфганг (2002), Дифференциальная геометрия , Студенческая математическая библиотека, т. 16, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2656-0, г-н  1882174
• Серре, Ж. А. (1851), «Sur quelques formules родственники à la theorie des Courbes à Double Courbure» (PDF) , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 16.
• Спивак, Майкл (1999), Всеобъемлющее введение в дифференциальную геометрию (том второй) , Publish or Perish, Inc..
• Штернберг, Шломо (1964), Лекции по дифференциальной геометрии , Прентис-Холл
• Struik, Dirk J. (1961), Лекции по классической дифференциальной геометрии , Чтение, Массачусетс: Addison-Wesley.

Внешние ссылки

• Создайте собственные анимированные иллюстрации движущихся рамок Френе-Серре, функций кривизны и кручения ( рабочий лист Maple )
• Статья Руди Ракера «KappaTau».
• Очень хорошее визуальное представление трехгранника.