Основная лемма об инкременте

В дифференциальном исчислении с одной переменной фундаментальная лемма об инкременте является непосредственным следствием определения производной функции в точке : ${\textstyle f'(a)}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle a}$

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

Лемма утверждает, что существование этой производной подразумевает существование функции такой, что ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\varphi (h)=0\qquad {\text{and}}\qquad f(a+h)=f(a)+f'(a)h+\varphi (h)h}$

для достаточно малого, но не равного нулю . Для доказательства достаточно определить ${\textstyle h}$

${\displaystyle \varphi (h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}-f'(a)}$

и убедитесь, что это соответствует требованиям. ${\displaystyle \varphi }$

Лемма утверждает, что, по крайней мере, когда достаточно близко к нулю, разностное отношение ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

можно записать как производную f' плюс погрешность , которая исчезает при . ${\displaystyle \varphi (h)}$ ${\displaystyle h=0}$

Т.е. один имеет,

${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=f'(a)+\varphi (h).}$

Дифференцируемость в высших измерениях

В том смысле, что существование однозначно характеризует число , можно сказать, что фундаментальная лемма об инкременте характеризует дифференцируемость функций одной переменной. По этой причине обобщение леммы может быть использовано в определении дифференцируемости в многомерном исчислении . В частности, предположим, что f отображает некоторое подмножество в . Тогда f называется дифференцируемой в точке a, если существует линейная функция ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle M:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

и функция

${\displaystyle \Phi :D\to \mathbb {R} ,\qquad D\subseteq \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus \{\mathbf {0} \},}$

такой что

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to 0}\Phi (\mathbf {h} )=0\qquad {\text{and}}\qquad f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-f(\mathbf {a} )=M(\mathbf {h} )+\Phi (\mathbf {h} )\cdot \Vert \mathbf {h} \Vert }$

для ненулевого h достаточно близкого к 0 . В этом случае M является уникальной производной (или полной производной , чтобы отличать ее от направленной и частной производной ) f в точке a . Примечательно, что M задается матрицей Якоби f , вычисленной в точке a .

Мы можем записать приведенное выше уравнение в терминах частных производных как ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$

${\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-f(\mathbf {a} )=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f(a)}{\partial x_{i}}}+\Phi (\mathbf {h} )\cdot \Vert \mathbf {h} \Vert }$

Смотрите также

• Обобщения производной

Ссылки

• Talman, Louis (2007-09-12). "Differentiability for Multivariable Functions" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2010-06-20 . Получено 2012-06-28 .
• Стюарт, Джеймс (2008). Calculus (7-е изд.). Cengage Learning. стр. 942. ISBN 978-0538498845.
• Фолланд, Джеральд. «Производные и линейная аппроксимация» (PDF) .