Ext-функтор

Конструкция в гомологической алгебре

В математике функторы Ext являются производными функторами функтора Hom . Наряду с функтором Tor , Ext является одним из основных понятий гомологической алгебры , в которой идеи алгебраической топологии используются для определения инвариантов алгебраических структур. Когомологии групп , алгебр Ли и ассоциативных алгебр могут быть определены в терминах Ext. Название происходит от того факта, что первая группа Ext Ext ¹ классифицирует расширения одного модуля другим.

В частном случае абелевых групп Ext был введен Рейнхольдом Бэром (1934). Он был назван Сэмюэлем Эйленбергом и Сондерсом Маклейном (1942) и применен к топологии ( универсальная теорема коэффициентов для когомологий ). Для модулей над любым кольцом Ext был определен Анри Картаном и Эйленбергом в их книге 1956 года «Гомологическая алгебра» . ^[1]

Определение

Пусть R — кольцо, а R -Mod — категория модулей над R . (Можно понимать это как левые R -модули или правые R -модули.) Для фиксированного R -модуля A , пусть T ( B ) = Hom _R ( A , B ) для B в R -Mod. (Здесь Hom _R ( A , B ) — абелева группа R -линейных отображений из A в B ; это R -модуль, если R коммутативно .) Это точный слева функтор из R -Mod в категорию абелевых групп Ab, и поэтому он имеет правые производные функторы R ⁱ T . Группы Ext — это абелевы группы, определяемые формулой

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}T)(B),}$

для целого числа i . По определению это означает: взять любую инъективную резолюцию

${\displaystyle 0\to B\to I^{0}\to I^{1}\to \cdots ,}$

удалите член B и сформируйте коцепной комплекс :

${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\to \cdots .}$

Для каждого целого числа i , Ext^я
_Р( A , B ) — когомологии этого комплекса в позиции i . Она равна нулю для отрицательного i . Например, Ext⁰
_Р( A , B ) является ядром отображения Hom _R ( A , I ⁰ ) → Hom _R ( A , I ¹ ), которое изоморфно Hom _R ( A , B ).

Альтернативное определение использует функтор G ( A )=Hom _R ( A , B ) для фиксированного R -модуля B . Это контравариантный функтор, который можно рассматривать как левый точный функтор из противоположной категории ( R -Mod) ^op в Ab. Группы Ext определяются как правые производные функторы R ⁱ G :

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}G)(A).}$

То есть, выбираем любое проективное разрешение

${\displaystyle \cdots \to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0,}$

удалите член A и сформируйте коцепной комплекс:

${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{0},B)\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{1},B)\to \cdots .}$

Затем Доп.^я
_Р( A , B ) — когомологии этого комплекса в позиции i .

Можно задаться вопросом, почему выбор разрешения до сих пор оставался неопределенным. Фактически, Картан и Эйленберг показали, что эти конструкции не зависят от выбора проективного или инъективного разрешения, и что обе конструкции дают одни и те же группы Ext. ^[2] Более того, для фиксированного кольца R Ext является функтором по каждой переменной (контравариантным по A , ковариантным по B ).

Для коммутативного кольца R и R -модулей A и B , Ext^я
_Р( A , B ) является R -модулем (используя то, что Hom _R ( A , B ) является R -модулем в этом случае). Для некоммутативного кольца R , Ext^я
_Р( A , B ) — это всего лишь абелева группа, в общем случае. Если R — алгебра над кольцом S (что означает, в частности, что S коммутативно), то Ext^я
_Р( A , B ) является по крайней мере S -модулем.

Свойства Ext

Вот некоторые основные свойства и вычисления групп Ext. ^[3]

• Доп.⁰
  _Р( A , B ) ≅ Hom _R ( A , B ) для любых R -модулей A и B .

• Доп.^я
  _Р( A , B ) = 0 для всех i > 0, если R -модуль A проективен ( например , свободен ) или если B инъективен .

• Обратные утверждения также верны:
  • Если Внешн.¹
    _Р( A , B ) = 0 для всех B , тогда A проективен (и, следовательно, Ext^я
    _Р( А , В ) = 0 для всех i > 0).
  • Если Внешн.¹
    _Р( A , B ) = 0 для всех A , тогда B инъективен (и, следовательно, Ext^я
    _Р( А , В ) = 0 для всех i > 0).

• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{i}(A,B)=0}$для всех i ≥ 2 и всех абелевых групп A и B. ^[4 ]

• Обобщая предыдущий пример, для всех i ≥ 2, если R — область главных идеалов . ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=0}$

• Если R — коммутативное кольцо и u в R не является делителем нуля , то

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B[u]&i=0\\B/uB&i=1\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$

для любого R -модуля B . Здесь B [ u ] обозначает u -крученую подгруппу B , { x ∈ B : ux = 0}. Принимая R за кольцо целых чисел, это вычисление можно использовать для вычисления для любой конечно порождённой абелевой группы A . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,B)}$

• Обобщая предыдущий пример, можно вычислить группы Ext, когда первый модуль является фактором коммутативного кольца по любой регулярной последовательности , используя комплекс Кошуля . ^[5] Например, если R — кольцо многочленов k [ x ₁ ,..., x _n ] над полем k , то Ext^*
  _Р( k , k ) — внешняя алгебра S над k с n образующими в Ext ¹ . Более того, Ext^*
  _С( k , k ) — кольцо многочленов R ; это пример двойственности Кошуля .

• По общим свойствам производных функторов существуют две основные точные последовательности для Ext. ^[6] Во-первых, короткая точная последовательность 0 → K → L → M → 0 R -модулей индуцирует длинную точную последовательность вида

${\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} _{R}(A,K)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,L)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,M)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,K)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,L)\to \cdots ,}$

для любого R -модуля A. Кроме того, короткая точная последовательность 0 → K → L → M → 0 индуцирует длинную точную последовательность вида

${\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} _{R}(M,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(L,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(K,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(M,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(L,B)\to \cdots ,}$

для любого R - модуля B.

• Ext берет прямые суммы (возможно, бесконечные) по первой переменной и произведения по второй переменной в произведения. ^[7] То есть:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(M,\prod _{\alpha }N_{\alpha }\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,N_{\alpha })\end{aligned}}}$

• Пусть A — конечно порождённый модуль над коммутативным нётеровым кольцом R. Тогда Ext коммутирует с локализацией в том смысле, что для каждого мультипликативно замкнутого множества S в R , каждого R -модуля B и каждого целого числа i [ ^8]

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)\cong \operatorname {Ext} _{S^{-1}R}^{i}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right).}$

Расширения и расширения

Эквивалентность расширений

Группы Ext получили свое название из-за их связи с расширениями модулей. При наличии R - модулей A и B расширение A посредством B является короткой точной последовательностью R -модулей

${\displaystyle 0\to B\to E\to A\to 0.}$

Два расширения

${\displaystyle 0\to B\to E\to A\to 0}$

${\displaystyle 0\to B\to E'\to A\to 0}$

называются эквивалентными (как расширения A посредством B ), если существует коммутативная диаграмма :

Обратите внимание, что лемма Five подразумевает, что средняя стрелка является изоморфизмом. Расширение A посредством B называется расщепленным , если оно эквивалентно тривиальному расширению

${\displaystyle 0\to B\to A\oplus B\to A\to 0.}$

Существует взаимно-однозначное соответствие между классами эквивалентности расширений A посредством B и элементами Ext¹
_Р( A , B ). ^[9] Тривиальное расширение соответствует нулевому элементу Ext¹
_Р( А , Б ).

Сумма расширений Бэра

Сумма Бэра — это явное описание структуры абелевой группы на Ext¹
_Р( A , B ), рассматриваемое как множество классов эквивалентности расширений A посредством B . ^[10] А именно, если даны два расширения

${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow[{f}]{}}E{\xrightarrow[{g}]{}}A\to 0}$

и

${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow[{f'}]{}}E'{\xrightarrow[{g'}]{}}A\to 0,}$

сначала сформируйте откат , ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \Gamma =\left\{(e,e')\in E\oplus E'\;|\;g(e)=g'(e')\right\}.}$

Затем формируем частный модуль

${\displaystyle Y=\Gamma /\{(f(b),-f'(b))\;|\;b\in B\}.}$

Сумма Бэра E и E′ является расширением

${\displaystyle 0\to B\to Y\to A\to 0,}$

где первая карта и вторая . ${\displaystyle b\mapsto [(f(b),0)]=[(0,f'(b))]}$ ${\displaystyle (e,e')\mapsto g(e)=g'(e')}$

С точностью до эквивалентности расширений сумма Бэра коммутативна и имеет тривиальное расширение в качестве единичного элемента. Отрицательное расширение 0 → B → E → A → 0 — это расширение, включающее тот же модуль E , но с гомоморфизмом B → E, замененным на его отрицательное значение.

Построение Ext в абелевых категориях

Нобуо Ёнеда определил абелевы группы Ext^н
_С( A , B ) для объектов A и B в любой абелевой категории C ; это согласуется с определением в терминах резолюций, если C имеет достаточно проективных или достаточно инъективных . Во-первых, Ext⁰
_С( A , B ) = Hom _C ( A , B ). Далее, Ext¹
_С( A , B ) — это множество классов эквивалентности расширений A с помощью B , образующих абелеву группу относительно суммы Бэра. Наконец, высшие группы Ext Ext^н
_С( A , B ) определяются как классы эквивалентности n-расширений , которые являются точными последовательностями

${\displaystyle 0\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0,}$

в соответствии с отношением эквивалентности, порожденным отношением, которое идентифицирует два расширения

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi :0&\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0\\\xi ':0&\to B\to X'_{n}\to \cdots \to X'_{1}\to A\to 0\end{aligned}}}$

если существуют отображения для всех m из {1, 2, ..., n }, такие, что каждый результирующий квадрат коммутирует , то есть если существует цепное отображение , которое является тождественным на A и B . ${\displaystyle X_{m}\to X'_{m}}$ $${\displaystyle {\begin{array}{cc cc cc c cc cc cc}0&\longrightarrow &B&\longrightarrow &X_{n}&\longrightarrow &\dots &\longrightarrow &X_{1}&\longrightarrow &A&\longrightarrow &0\\&&{\Bigg \Vert }&&{\Bigg \downarrow }\iota _{n}\!&&&&{\Bigg \downarrow }\iota _{1}&&{\Bigg \Vert }&&\\0&\longrightarrow &B&\longrightarrow &X'_{n}&\longrightarrow &\dots &\longrightarrow &X'_{1}&\longrightarrow &A&\longrightarrow &0\end{array}}}$$ ${\displaystyle \iota \colon \xi \to \xi '}$

Сумма Бэра двух n -расширений , как указано выше, образуется, если позволить быть оттягиванием и над A , а быть выталкиванием и под B. ^[11] Тогда сумма Бэра расширений равна ${\displaystyle X''_{1}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X'_{1}}$ ${\displaystyle X''_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X'_{n}}$

${\displaystyle 0\to B\to X''_{n}\to X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\to \cdots \to X_{2}\oplus X'_{2}\to X''_{1}\to A\to 0.}$

Производная категория и продукт Йонеды

Важным моментом является то, что группы Ext в абелевой категории C можно рассматривать как наборы морфизмов в категории, связанной с C , производной категории D ( C ). ^[12] Объекты производной категории являются комплексами объектов в C . В частности, имеется

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)=\operatorname {Hom} _{D({\mathbf {C} })}(A,B[i]),}$

где объект C рассматривается как комплекс, сосредоточенный в степени ноль, а [ i ] означает сдвиг комплекса на i шагов влево. Из этой интерпретации следует билинейное отображение , иногда называемое произведением Йонеды :

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)\times \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{j}(B,C)\to \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i+j}(A,C),}$

что является просто композицией морфизмов в производной категории.

Продукт Йонеды можно также описать в более элементарных терминах. Для i = j = 0 продукт является композицией отображений в категории C. В общем случае продукт можно определить путем сращивания двух расширений Йонеды.

В качестве альтернативы, произведение Йонеды можно определить в терминах резолюций. (Это близко к определению производной категории.) Например, пусть R — кольцо с R -модулями A , B , C , и пусть P , Q и T — проективные резольвенты A , B , C. Тогда Ext^я
_Р( A , B ) можно отождествить с группой цепных гомотопических классов цепных отображений P → Q [ i ]. Произведение Йонеды задается путем составления цепных отображений:

${\displaystyle P\to Q[i]\to T[i+j].}$

Согласно любой из этих интерпретаций, произведение Йонеды ассоциативно. В результате, является градуированным кольцом для любого R -модуля A . Например, это дает кольцевую структуру на групповых когомологиях, поскольку это можно рассматривать как . Также по ассоциативности произведения Йонеды: для любых R -модулей A и B , является модулем над . ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)}$ ${\displaystyle H^{*}(G,\mathbb {Z} ),}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)}$

Важные особые случаи

• Групповые когомологии определяются формулой , где G — группа, M — представление G над целыми числами, а — групповое кольцо G. ${\displaystyle H^{*}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,M)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

• Для алгебры A над полем k и A - бимодуля M когомологии Хохшильда определяются формулой

${\displaystyle HH^{*}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}^{*}(A,M).}$

• Когомологии алгебры Ли определяются соотношением , где — алгебра Ли над коммутативным кольцом k , M — -модуль, а — универсальная обертывающая алгебра . ${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{*}(k,M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$

• Для топологического пространства X когомологии пучков можно определить как Здесь Ext берется в абелевой категории пучков абелевых групп на X и представляет собой пучок локально постоянных -значных функций. ${\displaystyle H^{*}(X,A)=\operatorname {Ext} ^{*}(\mathbb {Z} _{X},A).}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{X}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Для коммутативного нётерова локального кольца R с полем вычетов k , является универсальной обертывающей алгеброй градуированной алгебры Ли π*( R ) над k , известной как гомотопическая алгебра Ли R . (Точнее, когда k имеет характеристику 2, π*( R ) следует рассматривать как «упорядоченную алгебру Ли». ^[13] ) Существует естественный гомоморфизм градуированных алгебр Ли из когомологий Андре–Квиллена D *( k / R , k ) в π*( R ), который является изоморфизмом, если k имеет характеристику ноль. ^[14] ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(k,k)}$

Смотрите также

• глобальное измерение
• разрешение бара
• Группа Гротендик
• Локальная двойственность Гротендика

Примечания

1. Вейбель (1999); Картан и Эйленберг (1956), раздел VI.1.
2. Вайбель (1994), разделы 2.4 и 2.5 и теорема 2.7.6.
3. Вайбель (1994), главы 2 и 3.
4. Вейбейл (1994), Лемма 3.3.1.
5. Вайбель (1994), раздел 4.5.
6. Вейбель (1994), Определение 2.1.1.
7. Вейбель (1994), Предложение 3.3.4.
8. Вейбель (1994), Предложение 3.3.10.
9. Вейбель (1994), Теорема 3.4.3.
10. Вайбель (1994), Следствие 3.4.5.
11. Weibel (1994), Vists 3.4.6. Некоторые незначительные исправления в списке опечаток.
12. Вайбель (1994), разделы 10.4 и 10.7; Гельфанд и Манин (2003), глава III.
13. Сьёдин (1980), обозначение 14.
14. Аврамов (2010), раздел 10.2.

Ссылки

• Аврамов, Лучезар (2010), «Бесконечные свободные резолюции», Шесть лекций по коммутативной алгебре , Биркхойзер , стр. 1–108, doi :10.1007/978-3-0346-0329-4_1, ISBN 978-3-7643-5951-5, г-н  2641236
• Баер, Рейнхольд (1934), «Erweiterung von Gruppen und ihren Isomorphismen», Mathematische Zeitschrift , 38 (1): 375–416, doi : 10.1007/BF01170643, Zbl  0009.01101
• Картан, Анри ; Эйленберг, Сэмюэл (1999) [1956], Гомологическая алгебра , Принстон: Princeton University Press , ISBN 0-691-04991-2, МР  0077480
• Эйленберг, Сэмюэл ; Маклейн, Сондерс (1942), «Расширения групп и гомологии», Annals of Mathematics , 43 (4): 757–931, doi :10.2307/1968966, JSTOR  1968966, MR  0007108
• Гельфанд Сергей Иванович; Манин, Юрий Иванович (2003), Методы гомологической алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-12492-5, ISBN 978-3-540-43583-9, МР  1950475
• Сьёдин, Гуннар (1980), «Алгебры Хопфа и дифференцирования», Journal of Algebra , 64 : 218–229, doi : 10.1016/0021-8693(80)90143-X , MR  0575792
• Weibel, Charles A. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324. OCLC  36131259.
• Вайбель, Чарльз А. (1999), «История гомологической алгебры» (PDF) , История топологии , Амстердам: Северная Голландия, стр. 797–836, ISBN 9780444823755, г-н  1721123