Функция Фаддеева

Функция Фаддеева на комплексной плоскости

Функция Фаддеева или функция Крампа — это масштабированная комплексная дополнительная функция ошибок ,

${\displaystyle w(z):=e^{-z^{2}}\operatorname {erfc} (-iz)=\operatorname {erfcx} (-iz)=e^{-z^{2}}\left(1+{\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{t^{2}}{\text{d}}t\right).}$

Он связан с интегралом Френеля , интегралом Доусона и функцией Фойгта .

Функция возникает в различных физических задачах, обычно связанных с электромагнитными реакциями в сложных средах.

• проблемы, связанные с волнами малой амплитуды, распространяющимися через максвелловскую плазму , и, в частности, проявляется в диэлектрической проницаемости плазмы , из которой выводятся дисперсионные соотношения , поэтому ее иногда называют функцией дисперсии плазмы ^{[1] [2]} (хотя это название иногда используется вместо нее для перемасштабированной функции Z ( z ) = i √ π w ( z ), определенной Фридом и Конте , 1961 ^{[1] [3]} ).
• инфракрасные функции диэлектрической проницаемости аморфных оксидов имеют резонансы (из-за фононов ), которые иногда слишком сложны для подгонки с использованием простых гармонических осцилляторов. Модель осциллятора Бренделя-Бормана использует бесконечную суперпозицию осцилляторов, имеющих немного разные частоты, с гауссовым распределением. ^[4] Интегральный отклик можно записать в терминах функции Фаддеева.
• Функция Фаддеева также используется при анализе электромагнитных волн того типа, который используется в AM-радио. ^{[ требуется ссылка ]} Земные волны — это вертикально поляризованные волны, распространяющиеся по почве с потерями, конечным удельным сопротивлением и диэлектрической проницаемостью.
• Функция Фаддеева также описывает изменения нейтронных сечений материалов при изменении температуры. ^[5]

Характеристики

Действительная и мнимая части

Разложение на действительную и мнимую части обычно записывается

${\displaystyle w(x+iy)=V(x,y)+iL(x,y)}$,

где V и L называются действительной и мнимой функциями Фойгта , поскольку V(x,y) является профилем Фойгта (с точностью до префакторов).

Инверсия знака

Для аргументов с инвертированным знаком применимы следующие условия:

${\displaystyle w(-z)=2e^{-z^{2}}-w(z)}$

и

${\displaystyle w(-z)=w\left(z^{*}\right)^{*}}$

где * обозначает комплексное сопряжение.

Связь с дополнительной функцией ошибок

Функция Фаддеева, вычисленная по мнимым аргументам, равна масштабированной дополнительной функции ошибок ( ): ${\displaystyle \mathrm {erfcx} }$

${\displaystyle w(iz)=\mathrm {erfcx} (z)=e^{z^{2}}\mathrm {erfc} (z)}$,

где erfc — дополнительная функция ошибок . Для больших действительных x :

${\displaystyle \mathrm {erfcx} (x)\approx {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}x}}}$

Производный

В некоторых приложениях необходимо знать не только исходные значения функции Фаддеева, но и ее производную (например, в нелинейной регрессии наименьших квадратов в спектроскопии ). Ее производная определяется по формуле: ^{[6] [7]}

${\displaystyle {\frac {dw\left(z\right)}{dz}}={\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}-2\cdot z\cdot w\left(z\right)}$

Это выражение также может быть разбито далее с точки зрения изменений в действительной и мнимой части функции Фаддеевой и . По сути, это требует знания о действительной и мнимой части произведения . Используя приведенное выше определение , производная может быть разбита на частные производные по и следующим образом: ${\displaystyle \Re \left(w\left(z\right)\right)=\Re _{w}}$ ${\displaystyle \Im \left(w\left(z\right)\right)=\Im _{w}}$ ${\displaystyle z\cdot w\left(z\right)}$ ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {d\Re _{w}}{dx}}=2\cdot \left(y\cdot \Im _{w}-x\cdot \Re _{w}\right)={\frac {d\Im _{w}}{dy}}}$      и       ${\displaystyle {\frac {d\Re _{w}}{dy}}=-2\cdot \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}-x\cdot \Im _{w}-y\cdot \Re _{w}\right)=-{\frac {d\Im _{w}}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {d\Im _{w}}{dx}}=2\cdot \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}-x\cdot \Im _{w}-y\cdot \Re _{w}\right)=-{\frac {d\Re _{w}}{dy}}}$      и       ${\displaystyle {\frac {d\Im _{w}}{dy}}=2\cdot \left(y\cdot \Im _{w}-x\cdot \Re _{w}\right)={\frac {d\Re _{w}}{dx}}}$

Практический пример использования этих частных производных можно найти здесь .

Интегральное представление

Функция Фаддеева имеет вид

${\displaystyle w(z)={\frac {i}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{z-t}}\,\mathrm {d} t={\frac {2iz}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{z^{2}-t^{2}}}\,\mathrm {d} t,\qquad \operatorname {Im} z>0}$

это означает, что это свертка гауссианы с простым полюсом.

История

Функция была табулирована Верой Фаддеевой и Н. Н. Терентьевым в 1954 году. ^[8] Она появляется как безымянная функция w(z) у Абрамовица и Стегуна (1964), формула 7.1.3. Функция имени Фаддеевой, очевидно, была введена GPM Poppe и CMJ Wijers в 1990 году; ^{[9] [ нужен лучший источник ]} ранее она была известна как функция Крампа (вероятно, в честь Кристиана Крампа ). ^[10]

Ранние реализации использовали методы Вальтера Гаучи (1969–70; ACM Algorithm 363) ^[11] или Дж. Хумличека (1982). ^[12] Более эффективный алгоритм был предложен Поппе и Виерсом (1990; ACM Algorithm 680). ^[13] Дж. А. К. Вейдеман (1994) предложил особенно короткий алгоритм, который занимает не более восьми строк кода MATLAB . ^[14] Заглул и Али указали на недостатки предыдущих алгоритмов и предложили новый (2011; ACM Algorithm 916). ^[2] Другой алгоритм был предложен М. Абраровым и Б. М. Куайном (2011/2012). ^[15]

Реализации

Две программные реализации, которые бесплатны только для некоммерческого использования, ^[16] были опубликованы в ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS) как Algorithm 680 (на Fortran , ^[17] позже переведенный на C ) ^[18] и Algorithm 916 Заглулом и Али (в MATLAB ). ^[19]

Бесплатная и открытая реализация на C или C++, полученная из комбинации алгоритма 680 и алгоритма 916 (использующая разные алгоритмы для разных z ), также доступна по лицензии MIT ^[20] и поддерживается как библиотечный пакет libcerf ^[21] . Эта реализация также доступна как плагин для Matlab ^[20] , GNU Octave ^[20] и в Python через Scipy как scipy.special.wofz(который изначально был кодом TOMS 680, но был заменен из-за проблем с авторскими правами ^[22] ).

Для быстрого, но все же точного расчета функции дисперсии плазмы , приближение Паде с J-полюсом оказывается полезным, ^[23] т.е., ${\displaystyle Z(z)}$

${\displaystyle Z(z)=\sum _{j=1}^{J}{\frac {b_{j}}{z-c_{j}}}.}$

Для J=8 можно использовать b1= -0,017340112270401 - 0,046306439626294i; b2= -0,739917811220052 + 0,839518284620274i; b3= 5,840632105105495 ​​+ 0,953602751322040i; b4= -5,583374181615043 -11,208550459628098i; c1= 2,237687725134293 - 1,625941024120362i; c2= 1,465234091939142 - 1,789620299603315i; c3= 0,839253966367922 - 1,891995211531426i; c4= 0,273936218055381 - 1,941787037576095i; b(5:8)=(b(1:4))*; c(5:8)=-(c(1:4))*,

где * обозначает комплексно сопряженное. Приведенное выше приближение справедливо для верхней плоскости. Для слабо близко к действительной оси, т. е. недалеко от действительной оси нижней плоскости, приведенное выше приближение также справедливо. Для точного расчета можно использовать ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle Im(z)}$ ${\displaystyle Im(z)<0}$

${\displaystyle Z(z)=[Z(z^{*})]^{*}+2i{\sqrt {\pi }}\exp[-z^{2}].}$

Кодирование вышеуказанного подхода J-полюса и сравнение с точной функцией дисперсии плазмы можно найти здесь. ^[24] Также доступны комплексные коэффициенты для быстрого вычисления функции дисперсии плазмы с рациональным и многополюсным приближением. ^[25]

Смотрите также

• Список математических функций

Ссылки

1. Lehtinen, Николай Г. (23 апреля 2010 г.). "Error functions" (PDF) . Веб-страница Lehtinen - Стэнфордский университет . Получено 8 октября 2019 г. .
2. MR Zaghloul и AN Ali, ACM Transactions on Mathematical Software 38(2)15 (2011)
3. Ричард Фицпатрик, Функция дисперсии плазмы, заметки лекций по физике плазмы , Техасский университет в Остине (31.03.2011).
4. Брендель, Р.; Борман, Д. (1992). "Модель инфракрасной диэлектрической функции для аморфных твердых тел". Журнал прикладной физики . 71 (1): 1. Bibcode : 1992JAP....71....1B. doi : 10.1063/1.350737. ISSN  0021-8979.
5. "OpenMC Windowed Multipole". 2020-06-01 . Получено 2020-12-20 .
6. Аветисов, Слава (1995). Метод наименьших квадратов для спектрального анализа прямых и частотно-модулированных линейных форм (PDF) (Отчет). Физический факультет, Лундский университет.
7. "Функция Фаддеевой (или Фаддеевой) - 7.10 Производные". Цифровая библиотека математических функций . Национальный институт стандартов и технологий. 2010. Получено 23 июня 2022 г.
8. В. Н. Фаддеева и Н. Н. Терентьев: Таблицы значений функции комплексного аргумента. Гос. изд-во Тех.-Теор. лит. , М., 1954; англ. пер., Pergamon Press, Нью-Йорк, 1961. Непроверенная цитата, скопирована из Poppe and Wijers (1990). ${\displaystyle w(z)=\exp(-z^{2})(1+2i/{\sqrt {\pi }}\textstyle \int _{0}^{z}\exp(t^{2}){\text{d}}t)}$
9. Самый ранний результат поиска в Google Scholar по состоянию на октябрь 2012 г.
10. Например, в Al'pert, Space Science Reviews 6, 781 (1967), формула (3.13), со ссылкой на Фаддееву и Терентьева.
11. См. ссылки 3 и 4 в Poppe and Wijers (1990).
12. J. Humlicek, J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 27, 437-444 (1982).
13. GPM Poppe и CMJ Wijers, ACM Transactions on Mathematical Software 16, 38-46 (1990).
14. JAC Weideman, SIAM J. Numer. Анальный. 31, 1497–1518 (1994).
15. SM Abrarov и BM Quine, Appl. Math. Comp. 218, 1894-1902 (2011) и arXiv:1205.1768v1 (2012).
16. «Уведомление об авторских правах на программное обеспечение».; следовательно, они не являются свободными в смысле свободного и открытого программного обеспечения
17. http://www.cs.kent.ac.uk/people/staff/trh/CALGO/680.gz ^{[ мертвая ссылка ]}
18. "Формулы столкновений". NASA . Получено 10 апреля 2023 г.
19. Mofreh R. Zaghloul и Ahmed N. Ali, "Algorithm 916: Computing the Faddeyeva and Voigt Functions," ACM Trans. Math. Soft. 38 (2), 15 (2011). Препринт доступен по адресу arXiv:1106.0151.
20. Faddeeva, бесплатная/открытая реализация C++, доступ 13 октября 2012 г.
21. "Libcerf [MLZ Scientific Computing Group]".
22. «Сложный код erf в SciPy не является бесплатным/не имеет открытого исходного кода? (Trac #1741) · Issue #2260 · scipy/scipy». GitHub .
23. Xie, Hua-sheng (ноябрь 2019 г.). «BO: унифицированный инструмент для анализа плазменных волн и неустойчивостей». Computer Physics Communications . 244 : 343–371. arXiv : 1901.06902 . doi : 10.1016/j.cpc.2019.06.014. ISSN  0010-4655.
24. Се, Хуа-шэн (14 апреля 2024 г.), hsxie/gpdf , получено 15 апреля 2024 г.
25. Xie, Huasheng (2024-07-01). "Быстрое вычисление функции дисперсии плазмы: рациональное и многополюсное приближение и улучшенная точность". AIP Advances . 14 (7). arXiv : 2404.18719 . doi : 10.1063/5.0216433. ISSN  2158-3226.