Функция Доусона

Математическая функция

График интегральной функции Доусона F(z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

В математике функция Доусона или интеграл Доусона ^[1] (названный в честь Герберта Г. Доусона ^[2] ) представляет собой одностороннее синус-преобразование Фурье–Лапласа функции Гаусса.

Определение

Функция Доусона вокруг начала координат ${\displaystyle F(x)=D_{+}(x),}$

Функция Доусона вокруг начала координат ${\displaystyle D_{-}(x),}$

Функция Доусона определяется как: также обозначается как или или альтернативно $${\displaystyle D_{+}(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt,}$$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle D(x),}$ $${\displaystyle D_{-}(x)=e^{x^{2}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.\!}$$

Функция Доусона представляет собой одностороннее синус-преобразование Фурье–Лапласа функции Гаусса , $${\displaystyle D_{+}(x)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/4}\,\sin(xt)\,dt.}$$

Она тесно связана с функцией ошибок erf, так как

${\displaystyle D_{+}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\operatorname {erfi} (x)=-{i{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\operatorname {erf} (ix)}$

где erfi — мнимая функция ошибок, erfi( x ) = − i erf( ix ).
Аналогично, в терминах действительной функции ошибок, erf. $${\displaystyle D_{-}(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{x^{2}}\operatorname {erf} (x)}$$

В терминах функции erfi или Фаддеевой функция Доусона может быть расширена на всю комплексную плоскость : ^[3] что упрощается до для вещественных чисел ${\displaystyle w(z),}$ $${\displaystyle F(z)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-z^{2}}\operatorname {erfi} (z)={\frac {i{\sqrt {\pi }}}{2}}\left[e^{-z^{2}}-w(z)\right],}$$ $${\displaystyle D_{+}(x)=F(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {Im} [w(x)]}$$ $${\displaystyle D_{-}(x)=iF(-ix)=-{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\left[e^{x^{2}}-w(-ix)\right]}$$ ${\displaystyle x.}$

Для близких к нулю значений F ( x ) ≈ x . Для больших значений F ( x ) ≈ 1/(2 x ). Более конкретно, вблизи начала координат оно имеет разложение в ряд , а для больших — асимптотическое разложение ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle |x|}$ $${\displaystyle F(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\,2^{k}}{(2k+1)!!}}\,x^{2k+1}=x-{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {4}{15}}x^{5}-\cdots ,}$$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2x}}+{\frac {1}{4x^{3}}}+{\frac {3}{8x^{5}}}+\cdots .}$$

Точнее, где находится двойной факториал . $${\displaystyle \left|F(x)-\sum _{k=0}^{N}{\frac {(2k-1)!!}{2^{k+1}x^{2k+1}}}\right|\leq {\frac {C_{N}}{x^{2N+3}}}.}$$ ${\displaystyle n!!}$

${\displaystyle F(x)}$удовлетворяет дифференциальному уравнению с начальным условием Следовательно, оно имеет экстремумы при в результате чего x  = ±0,92413887... ( OEIS : A133841 ), F ( x ) = ±0,54104422... ( OEIS : A133842 ). $${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}+2xF=1\,\!}$$ ${\displaystyle F(0)=0.}$ $${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2x}},}$$

Точки перегиба следуют за x =  ±1,50197526... ( OEIS : A133843 ), F ( x ) = ±0,42768661... ( OEIS : A245262 ). (За исключением тривиальной точки перегиба в ) $${\displaystyle F(x)={\frac {x}{2x^{2}-1}},}$$ ${\displaystyle x=0,}$ ${\displaystyle F(x)=0.}$

Связь с преобразованием Гильберта гауссовой функции

Преобразование Гильберта гауссовского распределения определяется как $${\displaystyle H(y)=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}}{y-x}}\,dx}$$

PV обозначает главное значение Коши , и мы ограничиваемся действительным может быть связано с функцией Доусона следующим образом. Внутри интеграла главного значения мы можем рассматривать как обобщенную функцию или распределение и использовать представление Фурье ${\displaystyle y.}$ ${\displaystyle H(y)}$ ${\displaystyle 1/u}$ $${\displaystyle {1 \over u}=\int _{0}^{\infty }dk\,\sin ku=\int _{0}^{\infty }dk\,\operatorname {Im} e^{iku}.}$$

С помощью мы используем экспоненциальное представление и дополняем квадрат относительно , ​​чтобы найти ${\displaystyle 1/u=1/(y-x),}$ ${\displaystyle \sin(ku)}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \pi H(y)=\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp[-k^{2}/4+iky]\int _{-\infty }^{\infty }dx\,\exp[-(x+ik/2)^{2}].}$$

Мы можем перенести интеграл на действительную ось, и это даст Таким образом ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi ^{1/2}.}$ $${\displaystyle \pi ^{1/2}H(y)=\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp[-k^{2}/4+iky].}$$

Дополняем квадрат относительно и получаем ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle \pi ^{1/2}H(y)=e^{-y^{2}}\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp[-(k/2-iy)^{2}].}$$

Мы меняем переменные на ${\displaystyle u=ik/2+y:}$ $${\displaystyle \pi ^{1/2}H(y)=-2e^{-y^{2}}\operatorname {Im} i\int _{y}^{i\infty +y}du\ e^{u^{2}}.}$$

Интеграл можно выполнить как контурный интеграл вокруг прямоугольника в комплексной плоскости. Взяв мнимую часть результата, получим где — функция Доусона, определенная выше. $${\displaystyle H(y)=2\pi ^{-1/2}F(y)}$$ ${\displaystyle F(y)}$

Преобразование Гильберта также связано с функцией Доусона. Мы видим это с помощью техники дифференцирования внутри знака интеграла. Пусть ${\displaystyle x^{2n}e^{-x^{2}}}$ $${\displaystyle H_{n}=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2n}e^{-x^{2}}}{y-x}}\,dx.}$$

Представлять $${\displaystyle H_{a}=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{e^{-ax^{2}} \over y-x}\,dx.}$$

Производная -я ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\partial ^{n}H_{a} \over \partial a^{n}}=(-1)^{n}\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2n}e^{-ax^{2}}}{y-x}}\,dx.}$$

Таким образом, мы находим $${\displaystyle \left.H_{n}=(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}H_{a}}{\partial a^{n}}}\right|_{a=1}.}$$

Сначала вычисляются производные, затем результат оценивается при Замена переменной также дает Так как мы можем записать, где и являются полиномами. Например, В качестве альтернативы можно вычислить с помощью рекуррентного соотношения (для ) ${\displaystyle a=1.}$ ${\displaystyle H_{a}=2\pi ^{-1/2}F(y{\sqrt {a}}).}$ ${\displaystyle F'(y)=1-2yF(y),}$ ${\displaystyle H_{n}=P_{1}(y)+P_{2}(y)F(y)}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}=-\pi ^{-1/2}y+2\pi ^{-1/2}y^{2}F(y).}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ $${\displaystyle H_{n+1}(y)=y^{2}H_{n}(y)-{\frac {(2n-1)!!}{{\sqrt {\pi }}2^{n}}}y.}$$

Смотрите также

• Список математических функций

Ссылки

1. Temme, NM (2010), «Функции ошибок, интегралы Доусона и Френеля», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
2. Доусон, Х. Г. (1897). «О численном значении ∫ 0 h exp ⁡ ( x 2 ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{0}^{h}\exp(x^{2})\,dx}». Труды Лондонского математического общества . s1-29 (1): 519–522. doi :10.1112/plms/s1-29.1.519.
3. Mofreh R. Zaghloul и Ahmed N. Ali, "Algorithm 916: Computing the Faddeyeva and Voigt Functions," ACM Trans. Math. Soft. 38 (2), 15 (2011). Препринт доступен по адресу arXiv:1106.0151.

Внешние ссылки

• gsl_sf_dawson в Научной библиотеке GNU
• libcerf, числовая библиотека C для сложных функций ошибок, предоставляет функцию voigt(x, sigma, gamma) с точностью приблизительно 13–14 цифр. Она основана на функции Faddeeva , реализованной в пакете MIT Faddeeva Package
• Интеграл Доусона (на Mathworld)
• Функции ошибок