Функция знака

Математическая функция, возвращающая -1, 0 или 1

Функция Signum ${\displaystyle y=\operatorname {sgn} x}$

В математике функция знака или функция знака (от signum , латинского «знак») — это функция , которая имеет значение −1 , +1 или 0 в зависимости от того, является ли знак данного действительного числа положительным или отрицательным, или само данное число равно нулю. В математической нотации функция знака часто представляется как или . ^[1] ${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$

Определение

Функция знака действительного числа является кусочной функцией, которая определяется следующим образом: ^[1] ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \operatorname {sgn} x:={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}$$

Закон трихотомии гласит, что каждое действительное число должно быть положительным, отрицательным или нулевым. Функция signum обозначает, к какой уникальной категории относится число, сопоставляя его с одним из значений −1 , +1 или 0, которые затем можно использовать в математических выражениях или дальнейших вычислениях.

Например: $${\displaystyle {\begin{array}{lcr}\operatorname {sgn}(2)&=&+1\,,\\\operatorname {sgn}(\pi )&=&+1\,,\\\operatorname {sgn}(-8)&=&-1\,,\\\operatorname {sgn}(-{\frac {1}{2}})&=&-1\,,\\\operatorname {sgn}(0)&=&0\,.\end{array}}}$$

Основные свойства

Любое действительное число можно выразить как произведение его абсолютного значения и его знаковой функции: $${\displaystyle x=|x|\operatorname {sgn} x\,.}$$

Отсюда следует, что всякий раз, когда не равно 0, мы имеем ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \operatorname {sgn} x={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}\,.}$$

Аналогично, для любого действительного числа , Мы также можем быть уверены, что: и так ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle |x|=x\operatorname {sgn} x\,.}$$ $${\displaystyle \operatorname {sgn}(xy)=(\operatorname {sgn} x)(\operatorname {sgn} y)\,,}$$ $${\displaystyle \operatorname {sgn}(x^{n})=(\operatorname {sgn} x)^{n}\,.}$$

Некоторые алгебраические тождества

Знак также можно записать с использованием скобочной записи Айверсона : $${\displaystyle \operatorname {sgn} x=-[x<0]+[x>0]\,.}$$

Знак также можно записать с использованием функций пола и абсолютного значения: Если принимается равным 1, знак также можно записать для всех действительных чисел как $${\displaystyle \operatorname {sgn} x={\Biggl \lfloor }{\frac {x}{|x|+1}}{\Biggr \rfloor }-{\Biggl \lfloor }{\frac {-x}{|x|+1}}{\Biggr \rfloor }\,.}$$ ${\displaystyle 0^{0}}$ $${\displaystyle \operatorname {sgn} x=0^{\left(-x+\left\vert x\right\vert \right)}-0^{\left(x+\left\vert x\right\vert \right)}\,.}$$

Свойства в математическом анализе

Разрыв в нуле

Функция знака не является непрерывной при . ${\displaystyle x=0}$

Хотя функция знака принимает значение −1, когда отрицательно, кольцевая точка (0, −1) на графике указывает, что это не так, когда . Вместо этого значение резко переходит в сплошную точку в точке (0, 0) , где . Затем происходит аналогичный скачок, когда положительно. Любой скачок наглядно демонстрирует, что функция знака разрывна в нуле, хотя она непрерывна в любой точке, где либо положительно, либо отрицательно. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=+1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$ ${\displaystyle x}$

Эти наблюдения подтверждаются любым из различных эквивалентных формальных определений непрерывности в математическом анализе . Функция , например, является непрерывной в точке , если значение может быть сколь угодно близко аппроксимировано последовательностью значений , где составляют любую бесконечную последовательность, которая становится сколь угодно близкой к , когда становится достаточно большой. В обозначениях математических пределов непрерывность при требует, чтобы для любой последовательности , для которой Символ стрелки можно прочитать как означающий приближается или стремится к , и он применяется к последовательности в целом. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x),}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(a_{1}),f(a_{2}),f(a_{3}),\dots ,}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(a_{n})\to f(a)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle a_{n}\to a.}$

Этот критерий не выполняется для знаковой функции при . Например, мы можем выбрать в качестве последовательности , которая стремится к нулю по мере увеличения к бесконечности. В этом случае, как и требуется, но и для каждого так, что . Этот контрпример более формально подтверждает разрыв в нуле, который виден на графике. ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle 1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\dots ,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}\to a}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(a)=0}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(a_{n})=+1}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(a_{n})\to 1\neq \operatorname {sgn}(a)}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$

Несмотря на то, что функция знака имеет очень простую форму, изменение шага в нуле вызывает трудности для традиционных методов исчисления , которые весьма строги в своих требованиях. Непрерывность является частым ограничением. Одним из решений может быть аппроксимация функции знака гладкой непрерывной функцией; другие могут включать менее строгие подходы, которые основываются на классических методах для размещения более крупных классов функций.

Плавные приближения и ограничения

Функция знака совпадает с пределами и , а также, $${\displaystyle \operatorname {sgn} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-2^{-nx}}{1+2^{-nx}}}\,.}$$ $${\displaystyle \operatorname {sgn} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{\pi }}{\rm {arctan}}(nx)\,=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{\pi }}\tan ^{-1}(nx)\,.}$$

$${\displaystyle \operatorname {sgn} x=\lim _{n\to \infty }\tanh(nx)\,.}$$Здесь — гиперболический тангенс , а верхний индекс -1 над ним — это сокращенное обозначение функции, обратной тригонометрической функции , тангенса. ${\displaystyle \tanh(x)}$

Для гладкой аппроксимацией знаковой функции является Другая аппроксимация — которая становится более точной при ; обратите внимание, что это производная от . Это навеяно тем фактом, что вышеприведенное в точности равно для всех ненулевых значений , если , и имеет преимущество простого обобщения на более многомерные аналоги знаковой функции (например, частные производные от ). ${\displaystyle k>1}$ $${\displaystyle \operatorname {sgn} x\approx \tanh kx\,.}$$ $${\displaystyle \operatorname {sgn} x\approx {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+\varepsilon ^{2}}}}\,.}$$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+\varepsilon ^{2}}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

См. ступенчатую функцию Хевисайда § Аналитические приближения .

Дифференциация и интеграция

Функция signum дифференцируема всюду, за исключением случая, когда Ее производная равна нулю, когда не равна нулю: ${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$ ${\displaystyle x=0.}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\frac {{\text{d}}\,(\operatorname {sgn} x)}{{\text{d}}x}}=0\qquad {\text{for }}x\neq 0\,.}$$

Это следует из дифференцируемости любой постоянной функции , для которой производная всегда равна нулю в ее области определения. Знак действует как постоянная функция, когда он ограничен отрицательной открытой областью, где он равен -1 . Его можно также рассматривать как постоянную функцию в положительной открытой области , где соответствующая константа равна +1. Хотя это две разные постоянные функции, их производная равна нулю в каждом случае. ${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$ ${\displaystyle x<0,}$ ${\displaystyle x>0,}$

Невозможно определить классическую производную в , поскольку там есть разрыв. Тем не менее, функция signum имеет определенный интеграл между любой парой конечных значений a и b , даже когда интервал интегрирования включает ноль. Результирующий интеграл для a и b тогда равен разности между их абсолютными значениями: ${\displaystyle x=0}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}(\operatorname {sgn} x)\,{\text{d}}x=|b|-|a|\,.}$$

Наоборот, функция знака является производной функции абсолютного значения, за исключением случаев, когда есть резкое изменение градиента до и после нуля: $${\displaystyle {\frac {{\text{d}}|x|}{{\text{d}}x}}=\operatorname {sgn} x\qquad {\text{for }}x\neq 0\,.}$$

Мы можем понять это, как и прежде, рассмотрев определение абсолютного значения в отдельных областях и Например, функция абсолютного значения идентична в области , производная которой является постоянным значением +1 , что равно значению там. ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle x<0.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x>0,}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$

Поскольку абсолютное значение является выпуклой функцией , в каждой точке, включая начало координат, существует по крайней мере одна субпроизводная . Везде, кроме нуля, результирующий субдифференциал состоит из одного значения, равного значению функции знака. Напротив, в нуле имеется много субпроизводных, и только одна из них принимает значение . Значение субпроизводной 0 возникает здесь, поскольку функция абсолютного значения находится в минимуме. Полное семейство действительных субпроизводных в нуле составляет интервал субдифференциала , который можно неформально рассматривать как «заполнение» графика функции знака вертикальной линией, проходящей через начало координат, что делает его непрерывным как двумерную кривую. ${\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0}$ ${\displaystyle [-1,1]}$

В теории интегрирования функция signum является слабой производной функции абсолютного значения. Слабые производные эквивалентны, если они равны почти всюду , что делает их непроницаемыми для изолированных аномалий в одной точке. Это включает в себя изменение градиента функции абсолютного значения в нуле, что запрещает существование классической производной.

Хотя она не дифференцируема в обычном смысле, в рамках обобщенного понятия дифференциации в теории распределений производная функции signum в два раза больше дельта-функции Дирака . Это можно продемонстрировать с помощью тождества ^[2] где — ступенчатая функция Хевисайда, используя стандартный формализм. Используя это тождество, легко вывести производную распределения: ^[3] ${\displaystyle x=0}$ $${\displaystyle \operatorname {sgn} x=2H(x)-1\,,}$$ ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle H(0)={\frac {1}{2}}}$ $${\displaystyle {\frac {{\text{d}}\operatorname {sgn} x}{{\text{d}}x}}=2{\frac {{\text{d}}H(x)}{{\text{d}}x}}=2\delta (x)\,.}$$

преобразование Фурье

Преобразование Фурье функции signum равно ^[4], где означает принятие главного значения Коши . $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(\operatorname {sgn} x)e^{-ikx}{\text{d}}x=PV{\frac {2}{ik}},}$$ ${\displaystyle PV}$

Обобщения

Комплексный знак

Функция signum может быть обобщена на комплексные числа следующим образом: для любого комплексного числа, кроме . Signum данного комплексного числа — это точка на единичной окружности комплексной плоскости , которая является ближайшей к . Тогда для , где — функция комплексного аргумента . $${\displaystyle \operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z\neq 0}$ $${\displaystyle \operatorname {sgn} z=e^{i\arg z}\,,}$$ ${\displaystyle \arg }$

По соображениям симметрии и для того, чтобы сохранить это как надлежащее обобщение знаковой функции на действительные числа, также в комплексной области обычно определяют для : ${\displaystyle z=0}$ $${\displaystyle \operatorname {sgn}(0+0i)=0}$$

Другим обобщением знаковой функции для действительных и комплексных выражений является , ^[5] которое определяется как: где — действительная часть , а — мнимая часть . ${\displaystyle {\text{csgn}}}$ $${\displaystyle \operatorname {csgn} z={\begin{cases}1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)>0,\\-1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)<0,\\\operatorname {sgn} \mathrm {Im} (z)&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)=0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle {\text{Re}}(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\text{Im}}(z)}$ ${\displaystyle z}$

Тогда мы имеем (для ): ${\displaystyle z\neq 0}$ $${\displaystyle \operatorname {csgn} z={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}.}$$

Полярное разложение матриц

Благодаря теореме о полярном разложении матрица ( и ) может быть разложена в виде произведения , где — унитарная матрица, а — самосопряженная, или эрмитова, положительно определенная матрица, обе в . Если обратимо, то такое разложение единственно и играет роль сигнатуры ' . Двойственная конструкция задается разложением , где — унитарно, но в общем случае отличается от . Это приводит к тому, что каждая обратимая матрица имеет уникальную левую и правую сигнатуры . ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {K} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {P}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {R}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$

В частном случае, когда и (обратимая) матрица , которая отождествляется с (ненулевым) комплексным числом , то матрицы знаков удовлетворяют и отождествляются с комплексным знаком , . В этом смысле полярное разложение обобщает на матрицы разложение знака по модулю комплексных чисел. ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\ n=2,}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}=\left[{\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}}\right]}$ ${\displaystyle a+\mathrm {i} b=c}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {P}}=\left[{\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}}\right]/|c|}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} c=c/|c|}$

Signum как обобщенная функция

При действительных значениях можно определить обобщенную функцию –версию функции signum, такую, что всюду, в том числе и в точке , в отличие от , для которой . Этот обобщенный signum позволяет построить алгебру обобщенных функций , но ценой такого обобщения является потеря коммутативности . В частности, обобщенный signum антикоммутирует с дельта-функцией Дирака ^{[6] ,} кроме того, не может быть оценен при ; и специальное название необходимо, чтобы отличать ее от функции . ( не определена, но .) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon (x)}$ ${\displaystyle \varepsilon (x)^{2}=1}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ ${\displaystyle (\operatorname {sgn} 0)^{2}=0}$ $${\displaystyle \varepsilon (x)\delta (x)+\delta (x)\varepsilon (x)=0\,;}$$ ${\displaystyle \varepsilon (x)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ ${\displaystyle \varepsilon (0)}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} 0=0}$

Смотрите также

• Абсолютное значение
• Ступенчатая функция Хевисайда
• Отрицательное число
• Прямоугольная функция
• Сигмовидная функция ( жесткая сигмовидная )
• Ступенчатая функция ( кусочно-постоянная функция )
• Трехстороннее сравнение
• Переход через ноль
• Полярное разложение

Примечания

1. "Функция Signum - Меккес" . www.maeckes.nl .
2. Вайсштейн, Эрик В. «Знак». MathWorld .
3. Вайсштейн, Эрик В. «Ступенчатая функция Хевисайда». MathWorld .
4. Burrows, BL; Colwell, DJ (1990). «Преобразование Фурье единичной ступенчатой ​​функции». Международный журнал математического образования в науке и технике . 21 (4): 629–635. doi :10.1080/0020739900210418.
5. Документация Maple V. 21 мая 1998 г.
6. Ю.М.Широков (1979). «Алгебра одномерных обобщенных функций». Теоретическая и математическая физика . 39 (3): 471–477. Bibcode :1979TMP....39..471S. doi :10.1007/BF01017992. Архивировано из оригинала 2012-12-08.