Действие (физика)

Физическая величина размерной энергии × время

В физике действие — это скалярная величина , которая описывает, как баланс кинетической и потенциальной энергии физической системы меняется в зависимости от траектории. Действие важно, потому что оно является вкладом в принцип стационарного действия — подход к классической механике, который проще для нескольких объектов. ^[1] Действие и вариационный принцип используются в квантовой механике Фейнмана ^[2] и в общей теории относительности. ^[3] Для систем с малыми значениями действия, подобными постоянной Планка, квантовые эффекты значительны. ^[4]

В простом случае, когда одна частица движется с постоянной скоростью (тем самым испытывая равномерное линейное движение ), действие представляет собой импульс частицы, умноженный на расстояние, которое она перемещает, сложенный по ее пути; эквивалентно, действие — это разница между кинетической энергией частицы и ее потенциальной энергией , умноженная на время, в течение которого она обладает этим количеством энергии.

Более формально, действие — это математический функционал , который принимает траекторию (также называемую путем или историей) системы в качестве аргумента и имеет вещественное число в качестве результата. Обычно действие принимает разные значения для разных путей. ^[5] Действие имеет размеры энергия  ×  время или импульс  ×  длина , а его единица в системе СИ — джоуль -секунда (как и постоянная Планка h ). ^[6]

Введение

Вводная физика часто начинается с законов движения Ньютона , связывающих силу и движение; действие является частью полностью эквивалентного альтернативного подхода с практическими и образовательными преимуществами. ^[1]

Простой пример

Для траектории бейсбольного мяча, движущегося в воздухе на Земле, действие определяется между двумя моментами времени и как кинетическая энергия минус потенциальная энергия, интегрированная во времени. ^[4] ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$

${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left(KE(t)-PE(t)\right)dt}$

Действие уравновешивает кинетическую и потенциальную энергию. ^[4] Кинетическая энергия бейсбольного мяча равна где – скорость мяча; потенциальная энергия - это гравитационная постоянная. Тогда действие между и есть ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (1/2)mv^{2}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle mgx}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$

${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {1}{2}}mv^{2}(t)-mgx(t)\right)dt}$

Ценность действия зависит от траектории, по которой бейсбольный мяч проходит через и . Это делает действие вкладом в мощный принцип стационарного действия для классической и квантовой механики . Уравнения движения Ньютона для бейсбольного мяча можно вывести из действия, используя принцип стационарного действия, но преимущества механики, основанной на действии, начинают проявляться только в тех случаях, когда законы Ньютона трудно применить. Замените бейсбольный мяч электроном: классическая механика терпит неудачу, но стационарное действие продолжает работать. ^[4] Разница энергий в простом определении действия (кинетическая минус потенциальная энергия) обобщается и для более сложных случаев называется лагранжианом . ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle v(t)}$

Квант действия Планка

Постоянная Планка , записанная как или с учетом множителя , называется квантом действия . ^[7] Как и действие, эта константа имеет единицу энергии, умноженную на время. Он фигурирует во всех важных квантовых уравнениях, таких как принцип неопределенности и длина волны де Бройля . Всякий раз, когда значение действия приближается к постоянной Планка, квантовые эффекты становятся значительными. ^[4] Наименьшее возможное действие : ; большие значения действия должны быть целыми числами, кратными этому кванту. ^[8] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle 1/2\pi }$ ${\displaystyle \hbar /2}$

Энергия квантов света , увеличивается с частотой , но произведение энергии и времени вибрации световой волны — действие квантов — является константой . ^[9] ${\displaystyle E=\hbar \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \hbar }$

История

Пьер Луи Мопертюи и Леонард Эйлер , работавшие в 1740-х годах, разработали ранние версии принципа действия. Жозеф Луи Лагранж внес ясность в математику, когда изобрел вариационное исчисление . Уильям Роуэн Гамильтон совершил следующий большой прорыв, сформулировав принцип Гамильтона в 1853 году. ^{[10] : 740} Принцип Гамильтона стал краеугольным камнем классических работ с различными формами действия, пока Ричард Фейнман и Джулиан Швингер не разработали квантовые принципы действия. ^{[11] : 127}

Определения

Выражаясь математическим языком с использованием вариационного исчисления , эволюция физической системы (т. е. то, как система на самом деле переходит из одного состояния в другое) соответствует стационарной точке (обычно минимуму) действия. Действие имеет размеры [ энергия]  ×  [время] , а его единица в системе СИ — джоуль -секунда, что идентично единице углового момента .

В физике широко используются несколько различных определений «действия». ^{[12] [13]} Действие обычно представляет собой интеграл по времени. Однако, когда действие относится к полям , его можно интегрировать и по пространственным переменным. В некоторых случаях действие интегрируется по пути, по которому движется физическая система.

Действие обычно представляется как интеграл по времени, взятый по пути системы между начальным и конечным временем развития системы: ^[12]

$${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt,}$$

Lлагранжианом

Действие (функционал)

Чаще всего этот термин используется для обозначения функционала , который принимает на вход функцию времени и (для полей ) пространства и возвращает скаляр . ^[14] _{[ 15} ^] В классической механике входной функцией является эволюция q ( t ) системы между двумя моментами времени t1 и t2 , где q представляет собой обобщенные координаты . Действие определяется как интеграл лагранжиана L для входной эволюции между двумя моментами времени : ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]}$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt,}$$

принципу Гамильтонаq _truet ) — это эволюция ,седловая точкалагранжевой механике ${\displaystyle \mathbf {q} _{1}=\mathbf {q} (t_{1})}$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{2}=\mathbf {q} (t_{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]}$

Сокращенное действие (функционал)

Помимо функционала действия, существует еще один функционал, называемый сокращенным действием . В сокращенном действии входная функция — это путь , по которому движется физическая система без учета ее параметризации временем. Например, путь планетарной орбиты — эллипс, а путь частицы в однородном гравитационном поле — парабола; в обоих случаях путь не зависит от того, насколько быстро частица проходит путь.

Сокращенное действие (иногда обозначаемое как ) определяется как интеграл от обобщенных импульсов, ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}}$ ${\displaystyle W}$

$${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L(q,t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}},}$$

обобщенных координатах ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle q_{i}}$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}=\int _{q_{1}}^{q_{2}}\mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} =\int _{q_{1}}^{q_{2}}\Sigma _{i}p_{i}\,dq_{i}.}$$

принципу Мопертюистационарно ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$

Характеристическая функция Гамильтона

Когда полная энергия E сохраняется, уравнение Гамильтона – Якоби можно решить с помощью аддитивного разделения переменных : ^{[12] : 225}

$${\displaystyle S(q_{1},\dots ,q_{N},t)=W(q_{1},\dots ,q_{N})-E\cdot t,}$$

Wq ₁q ₂q _Nхарактеристической функцией Гамильтона

$${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}={\frac {\partial W}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}=p_{i}{\dot {q}}_{i}.}$$

Это можно интегрировать, чтобы дать

$${\displaystyle W(q_{1},\dots ,q_{N})=\int p_{i}{\dot {q}}_{i}\,dt=\int p_{i}\,dq_{i},}$$

это просто сокращенное действие. ^{[16] : 434}

Действие обобщенной координаты

Переменная Jk в координатах действие-угол , _{называемая} «действием» обобщенной координаты qk , определяется путем интегрирования одного обобщенного импульса вокруг замкнутого пути в _{фазовом} пространстве , соответствующего вращающемуся или колебательному движению: ^{[16] : 454}

$${\displaystyle J_{k}=\oint p_{k}\,dq_{k}}$$

Соответствующая каноническая переменная, сопряженная с J _k , является ее «уголом» w _k по причинам, более подробно описанным в разделе « координаты действие-угол» . Интегрирование осуществляется только по одной переменной q _k и, следовательно, в отличие от интегрированного скалярного произведения в приведенном выше сокращенном интеграле действия. Переменная J _k равна изменению S _k ( q _k ) при изменении q _{k по замкнутому пути.} Для некоторых представляющих интерес физических систем J _k либо постоянна, либо меняется очень медленно; следовательно, переменная J _k часто используется в расчетах возмущений и при определении адиабатических инвариантов . Например, они используются при расчете орбит планет и спутников. ^{[16] : 477}

Одиночная релятивистская частица

Когда релятивистские эффекты значительны, действие точечной частицы массы m , движущейся по мировой линии C, параметризованной собственным временем , равно ${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle S=-mc^{2}\int _{C}\,d\tau .}$$

Если вместо этого частица параметризуется координатным временем t частицы, а координатное время находится в диапазоне от t ₁ до t ₂ , то действие становится

$${\displaystyle S=\int _{t1}^{t2}L\,dt,}$$

где лагранжиан ^[17 ]

$${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.}$$

Принципы действия и связанные с ними идеи

Физические законы часто выражаются в виде дифференциальных уравнений , которые описывают, как физические величины, такие как положение и импульс, непрерывно изменяются со временем , пространством или их обобщением. Учитывая начальные и граничные условия ситуации, «решением» этих эмпирических уравнений является одна или несколько функций , которые описывают поведение системы и называются уравнениями движения .

Действие является частью альтернативного подхода к поиску таких уравнений движения. Классическая механика постулирует, что путь, по которому фактически следует физическая система, — это путь, по которому действие минимизировано или, в более общем смысле, является стационарным . Другими словами, действие удовлетворяет вариационному принципу: принципу стационарного действия (см. также ниже). Действие определяется интегралом , и классические уравнения движения системы могут быть получены путем минимизации значения этого интеграла.

Принцип действия обеспечивает глубокое понимание физики и является важной концепцией в современной теоретической физике . Ниже кратко изложены различные принципы действий и связанные с ними концепции.

Принцип Мопертюи

В классической механике принцип Мопертюи (названный в честь Пьера Луи Мопертюи) гласит, что путь, по которому следует физическая система, является путем наименьшей длины (с подходящей интерпретацией пути и длины). Принцип Мопертюи использует сокращенное действие между двумя обобщенными точками на пути.

Основная функция Гамильтона

Принцип Гамильтона гласит, что дифференциальные уравнения движения любой физической системы можно переформулировать как эквивалентное интегральное уравнение . Таким образом, существует два различных подхода к формулированию динамических моделей.

Принцип Гамильтона применим не только к классической механике одиночной частицы, но и к классическим полям , таким как электромагнитное и гравитационное поля . Принцип Гамильтона также был распространен на квантовую механику и квантовую теорию поля - в частности, формулировка квантовой механики с интегралом по путям использует эту концепцию - когда физическая система исследует все возможные пути, при этом определяется фаза амплитуды вероятности для каждого пути. по действию для пути; окончательная амплитуда вероятности складывает все пути, используя их комплексную амплитуду и фазу. ^[18]

Уравнение Гамильтона – Якоби

Основная функция Гамильтона получается из функционала действия путем фиксации начального времени и начальной конечной точки , при этом позволяя варьироваться верхнему пределу времени и второй конечной точке . Основная функция Гамильтона удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби, формулировке классической механики . Из-за сходства с уравнением Шредингера уравнение Гамильтона-Якоби, возможно, обеспечивает наиболее прямую связь с квантовой механикой . ${\displaystyle S=S(q,t;q_{0},t_{0})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle q_{0},}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle q}$

Уравнения Эйлера–Лагранжа

В лагранжевой механике требование, чтобы интеграл действия был стационарным при малых возмущениях, эквивалентно набору дифференциальных уравнений (называемых уравнениями Эйлера-Лагранжа), которые можно получить с помощью вариационного исчисления .

Классические поля

Принцип действия можно расширить, чтобы получить уравнения движения для полей, таких как электромагнитное поле или гравитационное поле . Уравнения Максвелла можно вывести как условия стационарного действия .

Уравнение Эйнштейна использует действие Эйнштейна-Гильберта , ограниченное вариационным принципом . Траекторию (путь в пространстве-времени ) тела в гравитационном поле можно найти, используя принцип действия . Для свободно падающего тела эта траектория является геодезической .

Законы сохранения

Последствия симметрии в физической ситуации можно найти с помощью принципа действия вместе с уравнениями Эйлера-Лагранжа , которые выводятся из принципа действия. Примером может служить теорема Нётер , которая утверждает, что каждой непрерывной симметрии в физической ситуации соответствует закон сохранения (и наоборот). Эта глубокая связь требует принятия принципа действия. ^[18]

Формулировка квантовой теории поля с помощью интеграла по траекториям

В квантовой механике система не движется по одному пути, действие которого стационарно, а поведение системы зависит от всех разрешенных путей и величины их действия. Действие, соответствующее различным путям, используется для вычисления интеграла по пути , который дает амплитуды вероятности различных результатов.

Хотя в классической механике принцип действия эквивалентен законам Ньютона , он лучше подходит для обобщений и играет важную роль в современной физике. Действительно, этот принцип является одним из величайших обобщений в физической науке. Лучше всего это понимается в рамках квантовой механики, особенно в формулировке интеграла по траекториям Ричарда Фейнмана , где оно возникает в результате деструктивной интерференции квантовых амплитуд.

Современные расширения

Принцип действия можно обобщить еще больше. Например, действие не обязательно должно быть целым, поскольку возможны нелокальные действия . Конфигурационное пространство даже не обязательно должно быть функциональным пространством , учитывая некоторые особенности, такие как некоммутативная геометрия . Однако физическую основу для этих математических расширений еще предстоит установить экспериментально. ^[14]

Смотрите также

• Вариационное исчисление
• Функциональная производная
• Функциональный интеграл
• гамильтонова механика
• лагранжиан
• Лагранжева механика
• Мера (физика)
• Теорема Нётер
• Формулировка интеграла по траектории
• Принцип наименьшего действия
• Принцип максимальной энтропии
• Некоторые действия:
  • Действие Намбу – Гото
  • акция Полякова
  • Действие Баггера – Ламберта – Густавссона
  • Действие Эйнштейна – Гильберта

Рекомендации

1. Нойеншвандер, Дуайт Э.; Тейлор, Эдвин Ф.; Тулея, Славомир (01 марта 2006 г.). «Действие: заставить энергию предсказывать движение». Учитель физики . 44 (3): 146–152. дои : 10.1119/1.2173320. ISSN  0031-921X.
2. Огборн, Джон; Тейлор, Эдвин Ф (1 января 2005 г.). «Квантовая физика объясняет законы движения Ньютона» (PDF) . Физическое образование . 40 (1): 26–34. дои : 10.1088/0031-9120/40/1/001. ISSN  0031-9120. S2CID  250809103.
3. Тейлор, Эдвин Ф. (1 мая 2003 г.). «Призыв к действию». Американский журнал физики . 71 (5): 423–425. дои : 10.1119/1.1555874. ISSN  0002-9505.
4. «Лекции Фейнмана по физике, том II, глава 19: Принцип наименьшего действия». www.feynmanlectures.caltech.edu . Проверено 3 ноября 2023 г.
5. Гудман, Бернард (1993). "Действие". В Паркер, СП (ред.). Энциклопедия физики МакГроу-Хилла (2-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 22. ISBN 0-07-051400-3.
6. Стел, Филип М. (1993). «Принцип наименьшего действия». В Паркер, СП (ред.). Энциклопедия физики МакГроу-Хилла (2-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 670. ИСБН 0-07-051400-3.
7. "Нобелевская лекция Макса Планка". Архивировано из оригинала 14 июля 2023 г. Проверено 14 июля 2023 г.
8. Кертис, Лоренцо Дж (1 сентября 2011 г.). «Перспектива XXI века как введение в физику». Европейский журнал физики . 32 (5): 1259–1274. дои : 10.1088/0143-0807/32/5/014. ISSN  0143-0807. S2CID  34765637.
9. Плата, Джером (1942). «Мопертюи и принцип наименьшего действия». Американский учёный . 30 (2): 149–158. ISSN  0003-0996. JSTOR  27825934.
10. Клайн, Моррис (1972). Математическая мысль от древности до современности . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 167–168. ISBN 0-19-501496-0.
11. Юрграу, Вольфганг; Мандельштам, Стэнли (1979). Вариационные принципы в динамике и квантовой теории . Дуврские книги по физике и химии (респ. 3-е изд., изд. 1968 г. изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Dover Publ. ISBN 978-0-486-63773-0.
12. Аналитическая механика, Л. Н. Хэнд, Дж. Д. Финч, издательство Кембриджского университета, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0 
13. Энциклопедия физики (2-е издание), Р.Г. Лернер , Г.Л. Тригг, издатели VHC, 1991, ISBN 3-527-26954-1 (Verlagsgesellschaft), ISBN 0-89573-752-3 (VHC Inc.)  
14. Дорога к реальности, Роджер Пенроуз, Винтажные книги, 2007, ISBN 0-679-77631-1 
15. TWB Kibble, Классическая механика , Европейская серия по физике, McGraw-Hill (Великобритания), 1973, ISBN 0-07-084018-0 
16. Гольдштейн, Герберт; Пул, Чарльз П.; Сафко, Джон Л. (2008). Классическая механика (3, [Начдр.] изд.). Сан-Франциско, Мюнхен: Эддисон Уэсли. ISBN 978-0-201-65702-9.
17. Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц (1971). Классическая теория полей . Аддисон-Уэсли. Разд. 8. с. 24–25.
18. Квантовая механика, Э. Аберс, Пирсон Эд., Аддисон Уэсли, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0 

дальнейшее чтение

• Кембриджский справочник физических формул , Г. Воан, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 . 
• Дэйр А. Уэллс, Лагранжева динамика, серия обзоров Шаума (McGraw-Hill, 1967) ISBN 0-07-069258-0 , 350-страничный подробный «очерк» предмета. 

Внешние ссылки

• Принцип наименьшего действия. Интерактивное объяснение/веб-страница.