энергия Уиллмора

Скульптура «Поверхность Уиллмора» в Даремском университете в память о Томасе Уиллморе

В дифференциальной геометрии энергия Уиллмора является количественной мерой того, насколько данная поверхность отклоняется от круглой сферы . Математически энергия Уиллмора гладкой замкнутой поверхности, вложенной в трехмерное евклидово пространство , определяется как интеграл квадрата средней кривизны минус гауссовая кривизна . Она названа в честь английского геометра Томаса Уиллмора .

Определение

Символически энергия Уиллмора S выражается так:

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\int _{S}H^{2}\,dA-\int _{S}K\,dA}$

где — средняя кривизна , — гауссова кривизна , а dA — форма площади S. Для замкнутой поверхности, по теореме Гаусса–Бонне , интеграл гауссовой кривизны может быть вычислен через эйлерову характеристику поверхности, так что ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \chi (S)}$

${\displaystyle \int _{S}K\,dA=2\pi \chi (S),}$

который является топологическим инвариантом и, таким образом, не зависит от конкретного вложения, которое было выбрано. Таким образом, энергия Уиллмора может быть выражена как ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\int _{S}H^{2}\,dA-2\pi \chi (S)}$

Альтернативная, но эквивалентная формула:

${\displaystyle {\mathcal {W}}={1 \over 4}\int _{S}(k_{1}-k_{2})^{2}\,dA}$

где и — главные кривизны поверхности. ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle k_{2}}$

Характеристики

Энергия Уиллмора всегда больше или равна нулю. Круглая сфера имеет нулевую энергию Уиллмора.

Энергию Уиллмора можно рассматривать как функционал на пространстве вложений данной поверхности, в смысле вариационного исчисления , и можно изменять вложение поверхности, оставляя ее топологически неизменной.

Критические точки

Основной задачей вариационного исчисления является нахождение критических точек и минимумов функционала.

Для данного топологического пространства это эквивалентно нахождению критических точек функции

${\displaystyle \int _{S}H^{2}\,dA}$

поскольку эйлерова характеристика постоянна.

Можно найти (локальные) минимумы для энергии Уиллмора с помощью градиентного спуска , который в данном контексте называется потоком Уиллмора.

Для вложений сферы в 3-пространство критические точки были классифицированы: ^[1] все они являются конформными преобразованиями минимальных поверхностей , круглая сфера является минимумом, а все остальные критические значения являются целыми числами, большими 4. Они называются поверхностями Уиллмора. ${\displaystyle \pi }$

поток Уиллмора

Поток Уиллмора — это геометрический поток, соответствующий энергии Уиллмора; это градиентный поток . ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle e[{\mathcal {M}}]={\frac {1}{2}}\int _{\mathcal {M}}H^{2}\,\mathrm {d} A}$

где H обозначает среднюю кривизну многообразия . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Линии потока удовлетворяют дифференциальному уравнению:

${\displaystyle \partial _{t}x(t)=-\nabla {\mathcal {W}}[x(t)]\,}$

где — точка, принадлежащая поверхности. ${\displaystyle x}$

Этот поток приводит к проблеме эволюции в дифференциальной геометрии : поверхность эволюционирует во времени, следуя изменениям наискорейшего спуска энергии. Подобно поверхностной диффузии, это поток четвертого порядка, поскольку изменение энергии содержит четвертые производные. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Приложения

• Клеточные мембраны имеют тенденцию располагаться таким образом, чтобы минимизировать энергию Уиллмора. ^[2]
• Энергия Уиллмора используется при построении класса оптимальных выворачиваний сферы , минимаксных выворачиваний .

Смотрите также

• гипотеза Уиллмора

Примечания

1. Брайант, Роберт Л. (1984), «Теорема двойственности для поверхностей Уиллмора», Журнал дифференциальной геометрии , 20 (1): 23–53, doi : 10.4310/jdg/1214438991 , MR  0772125.
2. Мюллер, Стефан; Рёгер, Маттиас (май 2014 г.). «Ограниченные структуры с наименьшей энергией изгиба». Журнал дифференциальной геометрии . 97 (1): 109–139. arXiv : 1308.2530 . doi : 10.4310/jdg/1404912105 .

Ссылки

• Уиллмор, Т.Дж. (1992), «Обзор погружений Уиллмора», Геометрия и топология подмногообразий, IV (Лёвен, 1991) , Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific, стр. 11–16, MR  1185712.