Функция вопросительного знака Минковского

Функция с необычными фрактальными свойствами

Функция вопросительного знака Минковского.

Слева: ?( х ) . Справа: ?( х ) - х .

В математике функция вопросительного знака Минковского , обозначаемая ?( x ) , представляет собой функцию с необычными фрактальными свойствами, определенную Германом Минковским в 1904 году. ^[1] Она отображает квадратичные иррациональные числа в рациональные числа на единичном интервале с помощью выражения, связывающего разложение квадратичных чисел в непрерывную дробь в двоичное разложение рациональных чисел, данное Арно Данжуа в 1938 году ^. .

Определение и интуиция

Один из способов определения функции вопросительного знака включает в себя соответствие между двумя различными способами представления дробных чисел с использованием конечных или бесконечных двоичных последовательностей . Наиболее привычно, что строка из 0 и 1 с одной точкой «.», например «11.001001000011111...», может интерпретироваться как двоичное представление числа. В данном случае это число

$${\displaystyle 2+1+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{64}}+\cdots =\pi .}$$

цепные дробидлину его серии^{[3] [4]} ${\displaystyle [3;3,1,2,1,4,5,\dots ]}$

$${\displaystyle 3+{\frac {1}{\displaystyle 3+{\frac {1}{\displaystyle 1+{\frac {1}{\displaystyle 2+{\frac {1}{\displaystyle 1+{\frac {1}{\displaystyle 4+{\frac {1}{\displaystyle 5+\dots }}}}}}}}}}}}\approx 3.2676}$$

Функция вопросительного знака обращает этот процесс: она переводит непрерывную дробь данного действительного числа в двоичную последовательность, закодированную по длине, а затем переинтерпретирует эту последовательность как двоичное число. ^{[3] [4]} Например, для примера выше, . Чтобы определить это формально, если иррациональное число имеет (неокончательное) представление непрерывной дроби. ${\displaystyle \operatorname {?} (3.2676)\approx \pi }$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle x=a_{0}+{\frac {1}{\displaystyle a_{1}+{\frac {1}{\displaystyle a_{2}+\cdots }}}}=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]}$$

бесконечного ряда ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \operatorname {?} (x)=a_{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n+1}}{2^{a_{1}+\cdots +a_{n}}}}.}$$

рациональное число ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}]}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \operatorname {?} (x)=a_{0}+2\sum _{n=1}^{m}{\frac {\left(-1\right)^{n+1}}{2^{a_{1}+\cdots +a_{n}}}}.}$$

Аналогично тому, как функция вопросительного знака интерпретирует непрерывные дроби как двоичные числа, функцию Кантора можно понимать как интерпретацию троичных чисел как двоичные числа.

Самосимметрия

Вопросительный знак явно визуально самоподобен. Моноид самоподобий может быть порожден двумя операторами S и R , действующими на единичном квадрате, и определяться следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}S(x,y)&=\left({\frac {x}{x+1}},{\frac {y}{2}}\right),\\[5px]R(x,y)&=(1-x,1-y).\end{aligned}}}$$

Визуально S сжимает единичный квадрат до его нижней левой четверти, а R выполняет точечное отражение через его центр.

Точка на графике ? имеет координаты ( x , ?( x )) для некоторого x в единичном интервале. Такая точка преобразуется S и R в другую точку графика, потому что ? удовлетворяет следующим тождествам для всех x ∈ [0, 1] :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {?} \left({\frac {x}{x+1}}\right)&={\frac {\operatorname {?} (x)}{2}},\\[5px]\operatorname {?} (1-x)&=1-\operatorname {?} (x).\end{aligned}}}$$

Эти два оператора можно многократно комбинировать, образуя моноид. Тогда общим элементом моноида будет

$${\displaystyle S^{a_{1}}RS^{a_{2}}RS^{a_{3}}\cdots }$$

для натуральных чисел a ₁ , a ₂ , a ₃ , … . Каждый такой элемент описывает самоподобие функции вопросительного знака. Этот моноид иногда называют моноидом удвоения периода , и все фрактальные кривые с удвоением периода имеют описываемую им самосимметрию ( кривая де Рама , частным случаем которой является вопросительный знак, является категорией таких кривых). Элементам моноида соответствуют рациональные числа посредством отождествления a ₁ , a ₂ , a ₃ , … с цепной дробью [0; а ₁ , а ₂ , а ₃ ,…] . Поскольку оба

$${\displaystyle S:x\mapsto {\frac {x}{x+1}}}$$

$${\displaystyle T:x\mapsto 1-x}$$

дробно-линейными преобразованиямигруппы PSL(2, Z )

Квадратичные иррациональные числа

Функция вопросительного знака обеспечивает взаимно однозначное отображение недвоичных рациональных чисел в квадратичные иррациональные числа , что позволяет явно доказать счетность последних. Фактически, их можно понимать как соответствующие периодическим орбитам диадического преобразования . Это можно наглядно продемонстрировать всего за несколько шагов.

Диадическая симметрия

Определите два хода: ход влево и ход вправо, действительные на единичном интервале как ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$

$${\displaystyle L_{D}(x)={\frac {x}{2}}}$$

${\displaystyle L_{C}(x)={\frac {x}{1+x}}}$

$${\displaystyle R_{D}(x)={\frac {1+x}{2}}}$$

${\displaystyle R_{C}(x)={\frac {1}{2-x}}}$

$${\displaystyle L_{D}\circ {\text{?}}={\text{?}}\circ L_{C}}$$

$${\displaystyle R_{D}\circ {\text{?}}={\text{?}}\circ R_{C}}$$

композицию функции ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle LRLLR.}$ ${\displaystyle \circ }$

$${\displaystyle L_{D}R_{D}L_{D}L_{D}R_{D}\circ {\text{?}}={\text{?}}\circ L_{C}R_{C}L_{C}L_{C}R_{C}}$$

двоичным рациональным числамnm ${\displaystyle y=n/2^{m}}$ ${\displaystyle y=0.b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}$ ${\displaystyle b_{k}\in \{0,1\}.}$

Некоторые изменения в обозначениях могут немного облегчить выражение вышеизложенного. Пусть и обозначают L и R. Композиция функций расширяет это до моноида , поскольку можно писать и вообще для некоторых двоичных строк цифр A , B , где AB - это просто обычная конкатенация таких строк. Тогда диадический моноид M является моноидом всех таких движений конечной длины влево-вправо. Если писать как общий элемент моноида, то имеется соответствующая самосимметрия функции вопросительного знака: ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{010}=g_{0}g_{1}g_{0}}$ ${\displaystyle g_{A}g_{B}=g_{AB}}$ ${\displaystyle \gamma \in M}$

$${\displaystyle \gamma _{D}\circ {\text{?}}={\text{?}}\circ \gamma _{C}}$$

изоморфизм

Явное отображение между рациональными числами и двоичными рациональными числами может быть получено с помощью оператора отражения

$${\displaystyle r(x)=1-x}$$

$${\displaystyle r\circ R_{D}\circ r=L_{D}}$$

${\displaystyle r\circ R_{C}\circ r=L_{C}}$ ${\displaystyle r^{2}=1}$ ${\displaystyle L^{a_{1}}rL^{a_{2}}rL^{a_{3}}\cdots }$ ${\displaystyle S^{a_{1}}TS^{a_{2}}TS^{a_{3}}\cdots }$ ${\displaystyle L_{D},R_{D}}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle y=0.b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}$ ${\displaystyle b_{k}\in \{0,1\}}$ ${\displaystyle L_{C},R_{C}}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle p/q.}$ ${\displaystyle p/q=[a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{j}]}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{j})}$

Периодические орбиты диадического преобразования

Рассмотрим теперь периодические орбиты двоичного преобразования . Они соответствуют битовым последовательностям, состоящим из конечной начальной «хаотичной» последовательности битов , за которой следует повторяющаяся строка длины . Такие повторяющиеся строки соответствуют рациональному числу. Это легко сделать явным. Писать ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k-1}}$ ${\displaystyle b_{k},b_{k+1},b_{k+2},\ldots ,b_{k+m-1}}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle y=\sum _{j=0}^{m-1}b_{k+j}2^{-j-1}}$$

$${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{k+j}2^{-j-1}=y\sum _{j=0}^{\infty }2^{-jm}={\frac {y}{1-2^{m}}}}$$

каждое

Периодические орбиты как непрерывные дроби

Такие периодические орбиты имеют эквивалентную периодическую цепную дробь в соответствии с установленным выше изоморфизмом. Существует начальная «хаотическая» орбита некоторой конечной длины, за которой следует повторяющаяся последовательность. Повторяющаяся последовательность порождает периодическую цепную дробь, удовлетворяющую условиям. Эта цепная дробь имеет вид ^[5] ${\displaystyle x=[a_{n},a_{n+1},a_{n+2},\ldots ,a_{n+r},x].}$

$${\displaystyle x={\frac {\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }}}$$

${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$ ${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1.}$

$${\displaystyle S\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle S^{n}\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\n&1\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle T\mapsto {\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$$

унимодулярны ${\displaystyle T^{2}=I}$

$${\displaystyle S^{a_{n}}TS^{a_{n+1}}T\cdots TS^{a_{n+r}}={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$$

модульной группе. ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} ).}$

Решая явно, получаем следующее. Нетрудно проверить, что решения этой задачи удовлетворяют определению квадратичных иррациональных чисел. Фактически, любое квадратичное иррациональное число можно выразить таким образом. Таким образом, квадратичные иррациональные числа находятся во взаимно однозначном соответствии с периодическими орбитами диадического преобразования, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с (недиадическими) рациональными числами, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с диадическое рациональное мышление. Функция вопросительного знака обеспечивает соответствие в каждом случае. ${\displaystyle \gamma x^{2}+(\delta -\alpha )x-\beta =0.}$

Свойства ?( x )

Функция вопросительного знака является строго возрастающей и непрерывной ^[6] , но не абсолютно непрерывной функцией. Производная определена почти всюду и может принимать только два значения: 0 (ее значение почти везде, в том числе и во всех рациональных числах ) и . ^[7] Существует несколько конструкций меры , которая при интегрировании дает функцию вопросительного знака. Одна из таких конструкций получается путем измерения плотности чисел Фарея на прямой числовой линии. Мера вопросительного знака является типичным примером того, что иногда называют мультифрактальными мерами . ${\displaystyle +\infty }$

Функция вопросительного знака отображает рациональные числа в двоично-рациональные числа , то есть те, представление которых по основанию два заканчивается, что можно доказать индукцией из рекурсивной конструкции, описанной выше. Он отображает квадратичные иррациональные числа в недиадические рациональные числа. В обоих случаях он обеспечивает порядковый изоморфизм между этими множествами; в ^[8] сформулирована конкретная теорема Кантора об изоморфизме, согласно которой каждые два неограниченных счетных плотных линейных порядка порядково-изоморфны. ^[9] Это нечетная функция и удовлетворяет функциональному уравнению ?( x + 1) = ?( x ) + 1 ; следовательно, x ↦ ?( x ) − x — нечетная периодическая функция с периодом один. Если ?( x ) иррационально, то x либо алгебраический степени больше двух, либо трансцендентный .

Функция вопросительного знака имеет фиксированные точки в 0,1/2и 1 и еще как минимум два, симметричные относительно средней точки. Один примерно равен 0,42037. ^[6] Мощевитин предположил, что это были единственные 5 неподвижных точек. ^[10]

В 1943 году Рафаэль Салем поднял вопрос о том, исчезают ли на бесконечности коэффициенты Фурье – Стилтьеса функции вопросительного знака. ^[11] Другими словами, он хотел знать, действительно ли

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}e^{2\pi inx}\,\operatorname {d?} (x)=0.}$$

На этот вопрос Джордан и Салстен ответили утвердительно, как на частный случай результата по мерам Гиббса . ^[12]

График функции вопросительного знака Минковского представляет собой частный случай фрактальных кривых, известных как кривые де Рама .

Алгоритм

Рекурсивное определение естественным образом подходит для алгоритма вычисления функции с любой желаемой степенью точности для любого действительного числа, как демонстрирует следующая функция C. Алгоритм спускается по дереву Штерна-Броко в поисках входных данных  x и по пути суммирует члены двоичного разложения y = ?( x ) . Пока выполняется инвариант цикла qr − ps = 1, нет необходимости уменьшать дробьм/н"="п + р/д + с, так как это уже в самом низком выражении. Другой инвариантп/д≤ х <р/с. Цикл forв этой программе можно анализировать как whileцикл с операторами условного разрыва в первых трех строках, определяющими условие. Единственные утверждения в цикле, которые могут повлиять на инварианты, находятся в последних двух строках, и можно показать, что они сохраняют истинность обоих инвариантов до тех пор, пока первые три строки выполняются успешно без выхода из цикла. Третий инвариант тела цикла (с точностью до плавающей запятой) — это y ≤ ?( x ) < y + d , но поскольку d уменьшается вдвое в начале цикла перед проверкой каких-либо условий, наш вывод состоит только в том, что y ≤ ?( x ) < y + 2 d в конце цикла.

Чтобы доказать завершение , достаточно отметить, что сумма q + sувеличивается как минимум на 1 с каждой итерацией цикла и что цикл завершится, когда эта сумма станет слишком большой для представления в примитивном типе данных longC. Однако на практике условный разрыв When y + d == yобеспечивает завершение цикла за разумное время.

/* Функция вопросительного знака Минковского */ double minkowski ( double x ) { long p = x ; длинный q знак равно 1 , р знак равно п + 1 , s знак равно 1 , м , п ; двойной d знак равно 1 , y знак равно п ; if ( x < p || ( p < 0 ) ^ ( r <= 0 )) вернуть x ; /* вне диапазона ?(x) =~ x */ for (;;) { /* инварианты: q * r - p * s == 1 && p / q <= x && x < r / s */ d /= 2 ; если ( y + d == y ) сломать ; /* достигнута максимально возможная точность */ m = p + r ; если (( m < 0 ) ^ ( p < 0 )) сломать ; /* сумма переполнена */ n = q + s ; если ( n < 0 ) сломать ; /* сумма переполнена */                                                                                     если ( Икс < ( двойной ) м / п ) { р знак равно м ; с знак равно п ; } Еще { у += d ; п = м ; д знак равно п ; } } вернуть y + d ; /* последнее округление */ }                               

Распределение вероятностей

Ограничив функцию вопросительного знака Минковского до ?:[0,1] → [0,1], ее можно использовать как кумулятивную функцию распределения сингулярного распределения на единичном интервале. Это распределение симметрично относительно своей средней точки, с исходными моментами примерно m ₁  = 0,5, m ₂  = 0,290926, m ₃  = 0,186389 и m ₄  = 0,126992, ^[13] и, таким образом, среднее значение и медиана равны 0,5, стандартное отклонение около 0,2023, асимметрия 0 и избыточный эксцесс около -1,147.

Смотрите также

• Производная Помпейу

Рекомендации

Примечания

1. Минковский (1904), стр. 171–172.
2. Денджой (1938).
3. Финч (2003), стр. 441–442.
4. Пифей Фогг (2002), с. 95.
5. Хинчин (1964).
6. Финч (2003), с. 442.
7. Душистова и Мощевитин (2012).
8. Гиргенсон (1996).
9. Бхаттачарджи и др. (1997).
10. Мощевитин (2020).
11. Салем (1943).
12. Джордан и Салстен (2016).
13. Алкаускас (2010).

Исторические источники

• Минковский, Герман (1904), "Zur Geometrie der Zahlen", Verhandlungen des III. Internationalen Mathematik-Kongresses in Heidelberg , Berlin, стр. 164–173, JFM  36.0281.01, заархивировано из оригинала 4 января 2015 г.{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Данжуа, Арно (1938), «Sur une fonction réelle de Minkowski», J. Math. Приложение Pures. , Серия IX (на французском языке), 17 : 105–151, Zbl  0018.34602

Библиография

• Алкаускас, Гедриус ​​(2010), «Моменты функции вопросительного знака Минковского: функция диадического периода», Glasgow Mathematical Journal , 52 (1): 41–64, arXiv : 0801.0051 , doi : 10.1017/S0017089509990152, MR  2587817, S2CID  115167042
• Бхаттачарджи, Минакси; Макферсон, Дугалд; Мёллер, Рёнвальдур Г.; Нойман, Питер М. (1997), «Рациональные числа», Заметки о бесконечных группах перестановок , Тексты и материалы для чтения по математике, том. 12, Берлин: Springer-Verlag, стр. 77–86, номер документа : 10.1007/978-93-80250-91-5_9, ISBN. 81-85931-13-5, МР  1632579
• Душистова Анна Александровна; Мощевитин, Николай Г. (март 2012 г.), «О производной функции вопросительного знака Минковского », Journal of Mathematical Sciences , 182 (4): 463–471, arXiv : 0706.2219 , doi : 10.1007/s10958-012-0750- 2, МР  2825515, S2CID  115156022 ${\displaystyle ?(x)}$
• Финч, Стивен Р. (2003), Математические константы , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 94, Кембридж : Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-81805-6,  1054,00001 Збл
• Гиргенсон, Роланд (1996), «Построение сингулярных функций с помощью дробей Фарея», Журнал математического анализа и приложений , 203 (1): 127–141, doi : 10.1006/jmaa.1996.0370 , MR  1412484
• Джордан, Томас; Sahlsten, Tuomas (2016), "Fourier transforms of Gibbs measures for the Gauss map", Mathematische Annalen , 364 (3–4): 983–1023, arXiv : 1312.3619 , Bibcode :2013arXiv1312.3619J, doi :10.1007/s00208-015 -1241-9, S2CID  56046793
• Хинчин, А.Я. (1964) [Первоначально опубликовано на русском языке, 1935], «10: Квадратичные иррациональные числа и периодические цепные дроби», Continuous Fractions , University of Chicago Press , стр. 47–50, ISBN 0-486-69630-8; перепечатано Dover Publications, 1997 г.
• Мощевитин, Николай (25 ноября 2020 г.), «Сессия открытых задач», Диофантовы задачи, детерминизм и случайность, CIRM – через YouTube
• Пифей Фогг, Н. (2002), Берте, Валери ; Ференци, Себастьен; Модуит, Кристиан; Сигел, А. (ред.), Замены в динамике, арифметике и комбинаторике , Конспекты лекций по математике, том. 1794, Берлин: Springer-Verlag , ISBN. 978-3-540-44141-0, Збл  1014.11015
• Салем, Рафаэль (1943), «О некоторых сингулярных монотонных функциях, которые строго возрастают» (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 53 (3): 427–439, doi : 10.2307/1990210 , JSTOR  1990210

дальнейшее чтение

• Алкаускас, Гедриус ​​(2008), Интегральные преобразования функции вопросительного знака Минковского, докторская диссертация, Ноттингемский университет
• Бибилони, Л.; Паради, Дж.; Виадер, П. (1998), «Новый взгляд на функцию Минковского ?(x)», Journal of Number Theory , 73 (2): 212–227, doi : 10.1006/jnth.1998.2294, hdl : 10230/843 , Zbl  0928.11006, заархивировано из оригинала 22 июня 2015 г.
• Бибилони, Л.; Паради, Дж.; Виадер, П. (2001), «Производная сингулярной функции Минковского», Журнал математического анализа и приложений , 253 (1): 107–125, doi : 10.1006/jmaa.2000.7064 , Zbl  0995.26005
• Конли, Р.М. (2003), Обзор функции Минковского ?(x) , магистерская диссертация, Университет Западной Вирджинии.
• Конвей, Дж. Х. (2000), «Искаженные дроби», О числах и играх (2-е изд.), Уэлсли, Массачусетс: AK Peters, стр. 82–86.
• Вепстас, Л. (2004), Вопросительный знак Минковского и модульная группа SL (2, Z) (PDF)
• Вепстас, Л. (2008), «О мере Минковского», arXiv : 0810.1265 [math.DS]

Внешние ссылки

• Обширный список библиографии
• Вайсштейн, Эрик В. , «Функция вопросительного знака Минковского», MathWorld
• Простая реализация IEEE 754 на C++