Функция Мертенса

Сумматорная функция функции Мёбиуса

Функция Мертенса для n  = 10 000

Функция Мертенса для n  = 10 000 000

В теории чисел функция Мертенса определяется для всех положительных целых чисел n как

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k),}$

где — функция Мёбиуса . Функция названа в честь Франца Мертенса . Это определение можно распространить на положительные действительные числа следующим образом: ${\displaystyle \mu (k)}$

${\displaystyle M(x)=M(\lfloor x\rfloor ).}$

Менее формально, это количество целых чисел без квадратов до x , имеющих четное количество простых множителей, за вычетом количества тех, которые имеют нечетное количество простых множителей. ${\displaystyle M(x)}$

Первые 143 значения M ( n ) (последовательность A002321 в OEIS )

Функция Мертенса медленно растет в положительном и отрицательном направлениях как в среднем, так и в пиковом значении, колеблясь, по-видимому, хаотическим образом, проходя через ноль, когда n имеет значения

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419, 420, 422, 423, 424, 425, 427, 428, ... (последовательность A028442 в OEIS ).

Поскольку функция Мёбиуса принимает только значения −1, 0 и +1, функция Мертенса движется медленно, и не существует x такого, что | M ( x )| >  x . Х. Дэвенпорт ^[1] продемонстрировал, что для любого фиксированного h ,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{x}\mu (n)\exp(i2\pi n\theta )=O\left({\frac {x}{\log ^{h}x}}\right)}$

равномерно в . Это подразумевает, что для этого ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle M(x)=O\left({\frac {x}{\log ^{h}x}}\right)\ .}$

Гипотеза Мертенса пошла дальше, заявив, что не будет x , где абсолютное значение функции Мертенса превышает квадратный корень из x . Гипотеза Мертенса была доказана ложной в 1985 году Эндрю Одлыжко и Германом те Риле . Однако гипотеза Римана эквивалентна более слабой гипотезе о росте M ( x ), а именно M ( x ) = O ( x ^{1/2 + ε} ). Поскольку высокие значения для M ( x ) растут по крайней мере так же быстро, как , это накладывает довольно жесткую границу на скорость его роста. Здесь O относится к большой нотации O . ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$

Истинная скорость роста M ( x ) неизвестна. Неопубликованная гипотеза Стива Гонека утверждает, что

${\displaystyle 0<\limsup _{x\to \infty }{\frac {|M(x)|}{{\sqrt {x}}(\log \log \log x)^{5/4}}}<\infty .}$

Вероятностное доказательство этой гипотезы дано Натаном Нг. ^[2] В частности, Нг дает условное доказательство того, что функция имеет предельное распределение на . То есть, для всех ограниченных липшицевых функций на действительных числах мы имеем, что ${\displaystyle e^{-y/2}M(e^{y})}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \lim _{Y\to \infty }{\frac {1}{Y}}\int _{0}^{Y}f{\big (}e^{-y/2}M(e^{y}){\big )}\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,d\nu (x),}$

если предположить различные предположения относительно дзета-функции Римана .

Представления

Как неотъемлемая часть

Используя произведение Эйлера , находим, что

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p}(1-p^{-s})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}},}$

где — дзета-функция Римана , а произведение берется по простым числам. Затем, используя этот ряд Дирихле с формулой Перрона , получаем ${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}\,ds=M(x),}$

где с > 1.

И наоборот, есть преобразование Меллина

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(x)}{x^{s+1}}}\,dx,}$

что справедливо для . ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$

Любопытное соотношение, данное самим Мертенсом, включающее вторую функцию Чебышева, выглядит следующим образом:

${\displaystyle \psi (x)=M\left({\frac {x}{2}}\right)\log 2+M\left({\frac {x}{3}}\right)\log 3+M\left({\frac {x}{4}}\right)\log 4+\cdots .}$

Предполагая, что дзета-функция Римана не имеет кратных нетривиальных нулей, по теореме о вычетах получаем «точную формулу» :

${\displaystyle M(x)=\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho \zeta '(\rho )}}-2+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2\pi )^{2n}}{(2n)!n\zeta (2n+1)x^{2n}}}.}$

Вейль предположил, что функция Мертенса удовлетворяет приближенному функционально-дифференциальному уравнению

${\displaystyle {\frac {y(x)}{2}}-\sum _{r=1}^{N}{\frac {B_{2r}}{(2r)!}}D_{t}^{2r-1}y\left({\frac {x}{t+1}}\right)+x\int _{0}^{x}{\frac {y(u)}{u^{2}}}\,du=x^{-1}H(\log x),}$

где H ( x ) — ступенчатая функция Хевисайда , B — числа Бернулли , а все производные по t вычисляются при t  = 0.

Существует также формула следа, включающая сумму по функции Мёбиуса и нулям дзета-функции Римана в виде

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\gamma }{\frac {h(\gamma )}{\zeta '(1/2+i\gamma )}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2\pi )^{2n}}{(2n)!\zeta (2n+1)}}\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-x(2n+1/2)}\,dx,}$

где первая сумма в правой части берется по нетривиальным нулям дзета-функции Римана, а ( g ,  h ) связаны преобразованием Фурье , таким образом, что

${\displaystyle 2\pi g(x)=\int _{-\infty }^{\infty }h(u)e^{iux}\,du.}$

Как сумма по последовательностям Фарея

Другая формула для функции Мертенса:

${\displaystyle M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia},}$

где — последовательность Фарея порядка n . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

Эта формула используется в доказательстве теоремы Френеля–Ландау . ^[3]

Как детерминант

M ( n ) — определитель матрицы Редхеффера размером n  ×  n , матрицы (0, 1), в которой a _ij равен 1, если либо j равен 1, либо i делит j .

Как сумма количества баллов подн-мерные гиперболоиды

${\displaystyle M(x)=1-\sum _{2\leq a\leq x}1+{\underset {ab\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}}}1-{\underset {abc\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}\sum _{c\geq 2}}}1+{\underset {abcd\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}\sum _{c\geq 2}\sum _{d\geq 2}}}1-\cdots }$

Эта формулировка ^{[ требуется ссылка ]} расширяет функцию Мертенса, предлагая асимптотические границы, полученные путем рассмотрения проблемы делителей Пильца , которая обобщает проблему делителей Дирихле вычисления асимптотических оценок для суммирующей функции функции делителей .

Другие свойства

Из ^[4] имеем

${\displaystyle \sum _{d=1}^{n}M(\lfloor n/d\rfloor )=1\ .}$

Кроме того, из ^[5]

${\displaystyle \sum _{d=1}^{n}M(\lfloor n/d\rfloor )d=\Phi (n)\ ,}$

где — сумматорная функция тотиента . ${\displaystyle \Phi (n)}$

Расчет

Ни один из упомянутых ранее методов не приводит к практическим алгоритмам вычисления функции Мертенса. Используя методы решета, аналогичные тем, которые используются при подсчете простых чисел, функция Мертенса была вычислена для всех целых чисел вплоть до возрастающего диапазона x . ^{[6] [7]}

Функция Мертенса для всех целых значений до x может быть вычислена за время O ( x log log x ) . Комбинаторный алгоритм был разработан постепенно, начиная с 1870 года Эрнстом Мейселем , ^[8] Лемером , ^[9] Лагариасом - Миллером - Одлыжко , ^[10] и Делеглисом-Рива ^[11], который вычисляет изолированные значения M ( x ) за время O ( x ^2/3 (log log x ) ^1/3 ) ; дальнейшее улучшение Харальда Хельфготта и Лолы Томпсон в 2021 году улучшает это до O ( x ^3/5 (log x ) ^3/5+ε ) , ^[12] а алгоритм Лагариаса и Одлыжко, основанный на интегралах дзета-функции Римана, достигает времени выполнения O ( x ^1/2+ε ) . ^[13]

Значения M ( x ) в степенях 10 см. в OEIS : A084237.

Известные верхние границы

Нг отмечает, что гипотеза Римана (RH) эквивалентна

${\displaystyle M(x)=O\left({\sqrt {x}}\exp \left({\frac {C\cdot \log x}{\log \log x}}\right)\right),}$

для некоторой положительной константы . Другие верхние границы были получены Майером, Монтгомери и Сундараджаном, предполагая, что RH включает ${\displaystyle C>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|M(x)|&\ll {\sqrt {x}}\exp \left(C_{2}\cdot (\log x)^{\frac {39}{61}}\right)\\|M(x)|&\ll {\sqrt {x}}\exp \left({\sqrt {\log x}}(\log \log x)^{14}\right).\end{aligned}}}$

Известные явные верхние границы без предположения RH определяются следующим образом: ^[14]

${\displaystyle {\begin{aligned}|M(x)|&<{\frac {12590292\cdot x}{\log ^{236/75}(x)}},\ {\text{ for }}x>\exp(12282.3)\\|M(x)|&<{\frac {0.6437752\cdot x}{\log x}},\ {\text{ for }}x>1.\end{aligned}}}$

Приведенное выше выражение можно упростить до менее ограничительной, но наглядной формы:

${\displaystyle {\begin{aligned}M(x)=O\left({\frac {x}{\log ^{\pi }(x)}}\right).\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Формула Перрона
• Функция Лиувилля

Примечания

1. Дэвенпорт, Х. (ноябрь 1937 г.). «О некоторых бесконечных рядах, включающих арифметические функции (Ii)». The Quarterly Journal of Mathematics . Original Series. 8 (1): 313–320. doi :10.1093/qmath/os-8.1.313.
2. Натан Нг (25 октября 2018 г.). «Распределение суммирующей функции функции Мёбиуса». arXiv : math/0310381 .
3. Эдвардс, Гл. 12.2.
4. Леман, RS (1960). «О функции Лиувилля». Math. Comput . 14 : 311–320.
5. Канемицу, С.; Ёсимото, М. (1996). «Ряд Фэри и гипотеза Римана». Акта Арифметика . 75 (4): 351–374. дои : 10.4064/aa-75-4-351-374 .
6. Котник, Тадей; ван де Луне, Ян (ноябрь 2003 г.). «Дальнейшие систематические вычисления суммирующей функции функции Мёбиуса». Моделирование, анализ и имитация . MAS-R0313.
7. Херст, Грег (2016). «Вычисления функции Мертенса и улучшенные границы гипотезы Мертенса». arXiv : 1610.08551 [math.NT].
8. Мейсель, Эрнст (1870). «Ueber die Bestimmung der Primzahlenmenge Internalhalb Gegebener Grenzen». Mathematische Annalen (на немецком языке). 2 (4): 636–642. дои : 10.1007/BF01444045. ISSN  0025-5831. S2CID  119828499.
9. Лемер, Деррик Генри (1 апреля 1958 г.). «О ТОЧНОМ ЧИСЛЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ, МЕНЕЕ ДАННОГО ПРЕДЕЛА». Illinois J. Math . 3 (3): 381–388 . Получено 1 февраля 2017 г.
10. Лагариас, Джеффри; Миллер, Виктор; Одлызко, Андрей (11 апреля 1985 г.). «Вычисления: метод Мейселя-Лемера» (PDF) π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} . Математика вычислений . 44 (170): 537–560. дои : 10.1090/S0025-5718-1985-0777285-5 . Проверено 13 сентября 2016 г.
11. Рива, Жоэль; Делеглиз, Марк (1996). «Вычисление суммы функции Мёбиуса». Experimental Mathematics . 5 (4): 291–295. doi :10.1080/10586458.1996.10504594. ISSN  1944-950X. S2CID  574146.
12. Хельфготт, Харальд; Томпсон, Лола (2023). «Суммирование μ ( n ) {\displaystyle \mu (n)} : более быстрый элементарный алгоритм». Исследования по теории чисел . 9 (1): 6. doi :10.1007/s40993-022-00408-8. ISSN  2363-9555. PMC 9731940 . PMID  36511765. 
13. Лагариас, Джеффри; Одлызко, Андрей (июнь 1987 г.). «Вычисления: аналитический метод». Журнал алгоритмов . 8 (2): 173–191. дои : 10.1016/0196-6774(87)90037-X.
14. Эль Марраки, М. (1995). «Fonction sommatoire de la fonction de Möbius, 3. Асимптотические мажорные эффективные сильные стороны». Journal de theorie des nombres de Bordeaux . 7 (2).

Ссылки

• Эдвардс, Гарольд (1974). Дзета-функция Римана . Минеола, Нью-Йорк: Довер. ISBN 0-486-41740-9.
• Мертенс, Ф. (1897). "" Über eine zahlentheoretische Funktion", Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich". Кляйне Зитцунгсбер, IIA . 106 : 761–830.
• Одлизко, А.М. ; те Риле, Герман (1985). «Опровержение гипотезы Мертенса» (PDF) . Журнал для королевы и математики . 357 : 138–160.
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Мертенса». Математический мир .
• Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A002321 (функция Мертенса)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
• Deléglise, M. и Rivat, J. "Вычисление суммы функции Мёбиуса". Experiment. Math. 5, 291-295, 1996. Вычисление суммы функции Мёбиуса
• Херст, Грег (2016). «Вычисления функции Мертенса и улучшенные границы гипотезы Мертенса». arXiv : 1610.08551 [math.NT].
• Натан Нг, «Распределение суммарной функции функции Мёбиуса», Труды Лондонского математического общества (3) 89 (2004) 361-389. [1]