Функция высоты

Математические функции, количественно определяющие сложность

Функция высоты — это функция , которая количественно определяет сложность математических объектов. В диофантовой геометрии функции высоты количественно определяют размер решений диофантовых уравнений и обычно являются функциями из набора точек на алгебраических многообразиях (или наборе алгебраических многообразий) в действительные числа . ^[1]

Например, классическая или наивная высота над рациональными числами обычно определяется как максимум числителей и знаменателей координат (например, 7 для координат (3/7, 1/2) ), но в логарифмическом масштабе .

Значение

Функции высоты позволяют математикам подсчитывать объекты, такие как рациональные точки , которые в противном случае были бы бесконечны по количеству. Например, множество рациональных чисел наивной высоты (максимум числителя и знаменателя, выраженных в наименьших терминах ) ниже любой заданной константы конечно, несмотря на то, что множество рациональных чисел бесконечно. ^[2] В этом смысле функции высоты могут использоваться для доказательства асимптотических результатов, таких как теорема Бейкера в теории трансцендентных чисел , которая была доказана Аланом Бейкером  (1966, 1967a, 1967b).

В других случаях функции высоты могут различать некоторые объекты на основе их сложности. Например, теорема о подпространстве, доказанная Вольфгангом М. Шмидтом  (1972), показывает, что точки малой высоты (т.е. малой сложности) в проективном пространстве лежат в конечном числе гиперплоскостей и обобщает теорему Зигеля о целых точках и решении уравнения S-единицы . ^[3]

Функции высоты имели решающее значение для доказательств теоремы Морделла–Вейля и теоремы Фалтингса Вейлем  (1929) и Фалтингсом  (1983) соответственно. Несколько выдающихся нерешенных проблем о высотах рациональных точек на алгебраических многообразиях, таких как гипотеза Манина и гипотеза Войты , имеют далеко идущие последствия для проблем диофантовых приближений , диофантовых уравнений , арифметической геометрии и математической логики . ^{[4] [5]}

История

Ранняя форма функции высоты была предложена Джамбаттистой Бенедетти (ок. 1563 г.), который утверждал, что консонанс музыкального интервала может быть измерен произведением его числителя и знаменателя (в сокращенной форме); см. Джамбаттиста Бенедетти § Музыка . ^{[ необходима цитата ]}

Высоты в диофантовой геометрии были первоначально разработаны Андре Вейлем и Дугласом Норткоттом, начиная с 1920-х годов. ^[6] Инновациями 1960-х годов стали высота Нерона–Тейта и понимание того, что высоты связаны с проективными представлениями во многом таким же образом, как обильные линейные расслоения связаны в других частях алгебраической геометрии . В 1970-х годах Сурен Аракелов разработал высоты Аракелова в теории Аракелова . ^[7] В 1983 году Фалтингс разработал свою теорию высот Фалтингса в своем доказательстве теоремы Фалтингса. ^[8]

Функции высоты в диофантовой геометрии

Наивная высота

Классическая или наивная высота определяется в терминах обычного абсолютного значения на однородных координатах . Обычно это логарифмическая шкала и, следовательно, ее можно рассматривать как пропорциональную «алгебраической сложности» или числу бит, необходимых для хранения точки. ^[2] Обычно ее определяют как логарифм максимального абсолютного значения вектора взаимно простых целых чисел, полученного путем умножения на наименьший общий знаменатель . Это может быть использовано для определения высоты в точке в проективном пространстве над Q или многочлена, рассматриваемого как вектор коэффициентов, или алгебраического числа по высоте его минимального многочлена. ^[9]

Наивная высота рационального числа x = p / q (в низших выражениях) равна

• мультипликативная высота ${\displaystyle H(p/q)=\max\{|p|,|q|\}}$
• Логарифмическая высота: ^[10] ${\displaystyle h(p/q)=\log H(p/q)}$

Таким образом, наивные мультипликативные и логарифмические высоты 4/10 равны , например, 5 и log(5) .

Наивная высота H эллиптической кривой E, заданной формулой y ² = x ³ + Ax + B, определяется как H(E) = log max(4| A | ³ , 27| B | ² ) .

Рост Нерона–Тейта

Высота Нерона –Тейта , или каноническая высота , — это квадратичная форма на группе Морделла–Вейля рациональных точек абелева многообразия, определённая над глобальным полем . Она названа в честь Андре Нерона , который впервые определил её как сумму локальных высот, ^[11] и Джона Тейта , который определил её глобально в неопубликованной работе. ^[12]

Высота Вейла

Пусть X — проективное многообразие над числовым полем K. Пусть L — линейное расслоение на X. Высота Вейля на X относительно L определяется следующим образом.

Сначала предположим, что L очень обилен . Выбор базиса пространства глобальных сечений определяет морфизм ϕ из X в проективное пространство, и для всех точек p на X определяется , где h — наивная высота на проективном пространстве. ^{[13] [14]} Для фиксированных X и L выбор другого базиса глобальных сечений изменяет , но только на ограниченную функцию от p . Таким образом, хорошо определено с точностью до добавления функции, которая является O(1) . ${\displaystyle \Gamma (X,L)}$ ${\displaystyle h_{L}(p):=h(\phi (p))}$ ${\displaystyle h_{L}}$ ${\displaystyle h_{L}}$

В общем случае можно записать L как разность двух очень обильных линейных расслоений L ₁ и L ₂ на X и определить , что снова хорошо определено с точностью до O(1) . ^{[13] [14]} ${\displaystyle h_{L}:=h_{L_{1}}-h_{L_{2}},}$

Аракелов высота

Высота Аракелова на проективном пространстве над полем алгебраических чисел является глобальной функцией высоты с локальными вкладами, полученными из метрик Фубини–Штуди на архимедовых полях и обычной метрики на неархимедовых полях . ^{[15] [16]} Это обычная высота Вейля, снабженная другой метрикой. ^[17]

Высота Фалтингса

Высота Фалтингса абелева многообразия , определенного над числовым полем, является мерой его арифметической сложности. Она определяется в терминах высоты метризованного линейного расслоения . Она была введена Фалтингсом  (1983) в его доказательстве гипотезы Морделла .

Функции высоты в алгебре

Высота многочлена

Для многочлена P степени n, заданного формулой

${\displaystyle P=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},}$

высота H ( P ) определяется как максимальная из величин ее коэффициентов: ^[18 ]

${\displaystyle H(P)={\underset {i}{\max }}\,|a_{i}|.}$

Аналогично можно определить длину L ( P ) как сумму величин коэффициентов:

${\displaystyle L(P)=\sum _{i=0}^{n}|a_{i}|.}$

Отношение к мере Малера

Мера Малера M ( P ) для P также является мерой сложности P . ^[19] Три функции H ( P ), L ( P ) и M ( P ) связаны неравенствами

${\displaystyle {\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor }}^{-1}H(P)\leq M(P)\leq H(P){\sqrt {n+1}};}$

${\displaystyle L(p)\leq 2^{n}M(p)\leq 2^{n}L(p);}$

${\displaystyle H(p)\leq L(p)\leq (n+1)H(p)}$

где - биномиальный коэффициент . ${\displaystyle \scriptstyle {\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor }}}$

Функции высоты в автоморфных формах

Одним из условий определения автоморфной формы на полной линейной группе адельной алгебраической группы является умеренный рост , который является асимптотическим условием роста функции высоты на полной линейной группе, рассматриваемой как аффинное многообразие . ^[20]

Другие функции высоты

Высота неприводимого рационального числа x = p / q , q > 0 равна (эта функция используется для построения биекции между и ). ^[21] ${\displaystyle |p|+q}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Смотрите также

• гипотеза abc
• Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера
• Эллиптическая гипотеза Лемера
• Константа Хита-Брауна-Мороза
• Высота формального группового закона
• Дзета-функция высоты
• Теорема изогении Рейно

Ссылки

1. Ланг  (1997, стр. 43–67)
2. Бомбьери и Габлер (2006, стр. 15–21)
3. Бомбьери и Габлер (2006, стр. 176–230)
4. Войта  (1987)
5. Фалтингс  (1991)
6. Вайль  (1929)
7. Лэнг  (1988)
8. Фалтингс  (1983)
9. Бейкер и Вюстхольц  (2007, стр. 3)
10. вопрос mathoverflow: средняя-высота-рациональных-точек-на-кривой
11. Нерон  (1965)
12. Лэнг  (1997)
13. Silverman  (1994, III.10)
14. Бомбьери и Габлер (2006, разделы 2.2–2.4)
15. Бомбьери и Габлер (2006, стр. 66–67)
16. Лэнг  (1988, стр. 156–157)
17. Фили, Петше и Прицкер (2017, стр. 441)
18. Борвейн  (2002)
19. Малер  (1963)
20. Удар  (1998)
21. Колмогоров и Фомин  (1957, стр. 5)

Источники

• Бейкер, Алан (1966). «Линейные формы в логарифмах алгебраических чисел. I». Mathematika . 13 (2): 204–216. doi :10.1112/S0025579300003971. ISSN  0025-5793. MR  0220680.
• Бейкер, Алан (1967a). «Линейные формы в логарифмах алгебраических чисел. II». Mathematika . 14 : 102–107. doi :10.1112/S0025579300008068. ISSN  0025-5793. MR  0220680.
• Бейкер, Алан (1967b). «Линейные формы в логарифмах алгебраических чисел. III». Mathematika . 14 (2): 220–228. doi :10.1112/S0025579300003843. ISSN  0025-5793. MR  0220680.
• Бейкер, Алан; Вюстхольц, Гисберт (2007). Логарифмические формы и диофантова геометрия . Новые математические монографии. Том 9. Cambridge University Press . стр. 3. ISBN 978-0-521-88268-2. Збл  1145.11004.
• Бомбьери, Энрико ; Габлер, Уолтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Новые математические монографии. Том 4. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-71229-3. Збл  1130.11034.
• Борвейн, Питер (2002). Вычислительные экскурсии в анализ и теорию чисел . Книги CMS по математике. Springer-Verlag . стр. 2, 3, 14148. ISBN 0-387-95444-9. Збл  1020.12001.
• Бамп, Дэниел (1998). Автоморфные формы и представления . Кембриджские исследования по высшей математике. Т. 55. Cambridge University Press. С. 300. ISBN 9780521658188.
• Корнелл, Гэри; Сильверман, Джозеф Х. (1986). Арифметическая геометрия . Нью-Йорк: Springer. ISBN 0387963111.→ Содержит английский перевод Faltings (1983)
• Фальтингс, Герд (1983). «Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern» [Теоремы о конечности для абелевых многообразий над числовыми полями]. Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 73 (3): 349–366. Бибкод : 1983InMat..73..349F. дои : 10.1007/BF01388432. MR  0718935. S2CID  121049418.
• Фалтингс, Герд (1991). «Диофантовы приближения на абелевых многообразиях». Annals of Mathematics . 123 (3): 549–576. doi :10.2307/2944319. JSTOR  2944319. MR  1109353.
• Фили, Пол; Петше, Клейтон; Прицкер, Игорь (2017). «Энергетические интегралы и малые точки для высоты Аракелова». Архив математики . 109 (5): 441–454. arXiv : 1507.01900 . doi :10.1007/s00013-017-1080-x. S2CID  119161942.
• Малер, К. (1963). «О двух экстремальных свойствах многочленов». Illinois Journal of Mathematics . 7 (4): 681–701. doi : 10.1215/ijm/1255645104 . Zbl  0117.04003.
• Нерон, Андре (1965). «Квази-функции и высокие качества для разнообразия животных». Анналы математики (на французском языке). 82 (2): 249–331. дои : 10.2307/1970644. JSTOR  1970644. МР  0179173.
• Шинцель, Анджей (2000). Многочлены с особым учетом сводимости. Энциклопедия математики и ее приложений. Т. 77. Кембридж: Cambridge University Press . С. 212. ISBN 0-521-66225-7. Збл  0956.12001.
• Шмидт, Вольфганг М. (1972). «Уравнения нормированной формы». Annals of Mathematics . Вторая серия. 96 (3): 526–551. doi :10.2307/1970824. JSTOR  1970824. MR  0314761.
• Ланг, Серж (1988). Введение в теорию Аракелова . Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-96793-1. MR  0969124. Zbl  0667.14001.
• Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8. Збл  0869.11051.
• Вейль, Андре (1929). «Арифметика в области алгебры». Акта Математика . 52 (1): 281–315. дои : 10.1007/BF02592688 . МР  1555278.
• Сильверман, Джозеф Х. (1994). Расширенные темы арифметики эллиптических кривых . Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-1-4612-0851-8.
• Vojta, Paul (1987). Диофантовы приближения и теория распределения значений . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1239. Berlin, New York: Springer-Verlag . doi :10.1007/BFb0072989. ISBN 978-3-540-17551-3. MR  0883451. Zbl  0609.14011.
• Колмогоров, Андрей ; Фомин, Сергей (1957). Элементы теории функций и функционального анализа . Нью-Йорк: Graylock Press.

Внешние ссылки

• Полиномиальная высота в Mathworld