В математике теорема Тихонова утверждает , что произведение любого набора компактных топологических пространств компактно относительно топологии произведения . Теорема названа в честь Андрея Николаевича Тихонова (чья фамилия иногда транскрибируется как Tychonoff ), который доказал ее впервые в 1930 году для степеней замкнутого единичного интервала и в 1935 году сформулировал полную теорему вместе с замечанием, что ее доказательство такое же, как и для частного случая. Самое раннее известное опубликованное доказательство содержится в статье Тихонова 1935 года "Über einen Funktionenraum" [1] .
Теорема Тихонова часто рассматривается как, возможно, самый важный результат в общей топологии (наряду с леммой Урысона ). [2] Теорема также верна для топологических пространств, основанных на нечетких множествах . [3]
Теорема в решающей степени зависит от точных определений компактности и топологии произведения ; фактически, статья Тихонова 1935 года впервые определяет топологию произведения. С другой стороны, часть ее важности заключается в том, чтобы дать уверенность в том, что эти конкретные определения являются наиболее полезными (т.е. наиболее хорошо себя ведущими).
Действительно, определение компактности Гейне–Бореля — что каждое покрытие пространства открытыми множествами допускает конечное подпокрытие — относительно недавнее. Более популярным в 19-м и начале 20-го веков был критерий Больцано–Вейерштрасса , что каждая ограниченная бесконечная последовательность допускает сходящуюся подпоследовательность, теперь называемый последовательной компактностью . Эти условия эквивалентны для метризуемых пространств , но ни одно из них не влечет другое в классе всех топологических пространств.
Почти тривиально доказать, что произведение двух последовательно компактных пространств является последовательно компактным — переходим к подпоследовательности для первого компонента, а затем к подподпоследовательности для второго компонента. Лишь немного более сложный аргумент «диагонализации» устанавливает последовательную компактность счетного произведения последовательно компактных пространств. Однако произведение континуума копий замкнутого единичного интервала (с его обычной топологией) не может быть последовательно компактным относительно топологии произведения, хотя оно компактно по теореме Тихонова (например, см. Wilansky 1970, стр. 134).
Это критический провал: если X — полностью регулярное хаусдорфово пространство , то существует естественное вложение из X в [0,1] C ( X ,[0,1]) , где C ( X ,[0,1]) — множество непрерывных отображений из X в [0,1]. Компактность [0,1] C ( X ,[0,1]) таким образом показывает, что каждое полностью регулярное хаусдорфово пространство вкладывается в компактное хаусдорфово пространство (или может быть «компактифицировано»). Эта конструкция — компактификация Стоуна–Чеха . Наоборот, все подпространства компактных хаусдорфовых пространств являются полностью регулярными хаусдорфовыми, поэтому это характеризует полностью регулярные хаусдорфовы пространства как те, которые могут быть компактифицированы. Такие пространства теперь называются тихоновскими пространствами .
Теорема Тихонова использовалась для доказательства многих других математических теорем. К ним относятся теоремы о компактности некоторых пространств, такие как теорема Банаха–Алаоглу о слабой* компактности единичного шара двойственного пространства нормированного векторного пространства , и теорема Арцела–Асколи, характеризующая последовательности функций, в которых каждая подпоследовательность имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность. Они также включают утверждения, менее очевидно связанные с компактностью, такие как теорема Де Брейна–Эрдёша, утверждающая, что каждый минимальный k -хроматический граф конечен, и теорема Кертиса–Хедлунда–Линдона, дающая топологическую характеристику клеточных автоматов .
Как правило, любая конструкция, которая принимает на вход достаточно общий объект (часто алгебраического или топологическо-алгебраического характера) и выводит компактное пространство, скорее всего, будет использовать тихоновское пространство: например, пространство Гельфанда максимальных идеалов коммутативной C*-алгебры , пространство Стоуна максимальных идеалов булевой алгебры и спектр Берковича коммутативного банахова кольца .
1) Доказательство Тихонова 1930 года использовало концепцию полной точки накопления .
2) Теорема является быстрым следствием теоремы Александера о подбазе .
Более современные доказательства были мотивированы следующими соображениями: подход к компактности через сходимость подпоследовательностей приводит к простому и прозрачному доказательству в случае счетных множеств индексов. Однако подход к сходимости в топологическом пространстве с использованием последовательностей достаточен, когда пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности (как это делают метризуемые пространства), но, как правило, не в противном случае. Однако произведение несчетного числа метризуемых пространств, каждое из которых имеет по крайней мере две точки, не может быть счетно первым. Поэтому естественно надеяться, что подходящее понятие сходимости в произвольных пространствах приведет к критерию компактности, обобщающему секвенциальную компактность в метризуемых пространствах, который будет так же легко применяться для вывода компактности произведений. Так и оказалось.
3) Теория сходимости через фильтры, предложенная Анри Картаном и разработанная Бурбаки в 1937 году, приводит к следующему критерию: при условии леммы об ультрафильтре пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый ультрафильтр на этом пространстве сходится. С этим доказательство становится простым: (фильтр, порожденный) образом ультрафильтра на пространстве произведений при любом отображении проекции является ультрафильтром на факторном пространстве, который, следовательно, сходится по крайней мере к одному x i . Затем показывают, что исходный ультрафильтр сходится к x = ( x i ). В своем учебнике Манкрес дает переработку доказательства Картана–Бурбаки, которая явно не использует какой-либо язык теории фильтров или предварительные сведения.
4) Аналогично, теория Мура–Смита сходимости через сети, дополненная понятием Келли универсальной сети , приводит к критерию, что пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая универсальная сеть на этом пространстве сходится. Этот критерий приводит к доказательству (Келли, 1950) теоремы Тихонова, которое слово в слово идентично доказательству Картана/Бурбаки с использованием фильтров, за исключением повторной замены «универсальной сети» на «базу ультрафильтра».
5) Доказательство, использующее сети, но не универсальные сети, было дано в 1992 году Полом Черноффом.
Все приведенные выше доказательства в некотором роде используют аксиому выбора (AC). Например, третье доказательство использует то, что каждый фильтр содержится в ультрафильтре (т. е. максимальном фильтре), и это видно при использовании леммы Цорна . Лемма Цорна также используется для доказательства теоремы Келли о том, что каждая сеть имеет универсальную подсеть. Фактически, эти применения AC являются существенными: в 1950 году Келли доказал, что теорема Тихонова влечет аксиому выбора в ZF . Обратите внимание, что одна из формулировок AC заключается в том, что декартово произведение семейства непустых множеств непусто; но поскольку пустое множество, несомненно, компактно, доказательство не может идти по таким простым линиям. Таким образом, теорема Тихонова объединяет несколько других основных теорем (например, что каждое векторное пространство имеет базис), будучи эквивалентной AC.
С другой стороны, утверждение о том, что каждый фильтр содержится в ультрафильтре, не подразумевает AC. Действительно, нетрудно увидеть, что оно эквивалентно теореме о булевом простом идеале (BPI), хорошо известной промежуточной точке между аксиомами теории множеств Цермело-Френкеля (ZF) и теории ZF, дополненной аксиомой выбора (ZFC). Первый взгляд на второе доказательство Тихонова может навести на мысль, что доказательство использует не более (BPI), что противоречит вышесказанному. Однако пространства, в которых каждый сходящийся фильтр имеет уникальный предел, — это именно хаусдорфовы пространства. В общем случае мы должны выбрать для каждого элемента множества индексов элемент непустого множества пределов спроецированной базы ультрафильтра, и, конечно, это использует AC. Однако это также показывает, что компактность произведения компактных хаусдорфовых пространств может быть доказана с помощью (BPI), и на самом деле обратное также верно. Изучение силы теоремы Тихонова для различных ограниченных классов пространств является активной областью теоретико-множественной топологии .
Аналог теоремы Тихонова в бесточечной топологии не требует какой-либо формы аксиомы выбора.
Чтобы доказать, что теорема Тихонова в ее общей версии подразумевает аксиому выбора, мы устанавливаем, что каждое бесконечное декартово произведение непустых множеств непусто. Самая сложная часть доказательства — введение правильной топологии. Правильной топологией, как выясняется, является кофинитная топология с небольшим изменением. Оказывается, что каждое множество, заданное этой топологией, автоматически становится компактным пространством. Как только мы получим этот факт, можно применить теорему Тихонова; затем мы используем определение компактности через свойство конечного пересечения (FIP). Само доказательство (данное Дж. Л. Келли ) следующее:
Пусть { A i } — индексированное семейство непустых множеств, для i, ранжируемого в I (где I — произвольное индексное множество). Мы хотим показать, что декартово произведение этих множеств непусто. Теперь для каждого i возьмем X i в качестве A i с добавленным индексом i (переименовывая индексы с помощью непересекающегося объединения , если необходимо, мы можем предположить, что i не является членом A i , поэтому просто возьмем X i = A i ∪ { i }).
Теперь определим декартово произведение вместе с естественными проекционными отображениями π i, которые переводят элемент X в его i -й член.
Мы даем каждому X j топологию, открытые множества которой: пустое множество, синглетон { i }, множество X i . Это делает X i компактным, и по теореме Тихонова X также компактно (в топологии произведения). Отображения проекции непрерывны; все A i замкнуты , являясь дополнениями к синглетонному открытому множеству { i } в X i . Таким образом, прообразы π i −1 ( A i ) являются замкнутыми подмножествами X . Заметим, что и докажем, что эти прообразы имеют FIP. Пусть i 1 , ..., i N — конечный набор индексов в I . Тогда конечное произведение A i 1 × ... × A i N непусто (здесь только конечное число выборов, поэтому AC не нужен); оно просто состоит из N -кортежей. Пусть a = ( a 1 , ..., a N ) — такой N -кортеж. Мы расширяем a на весь набор индексов: берем a в функцию f, определенную как f ( j ) = a k , если j = i k , и f ( j ) = j в противном случае. На этом этапе добавление дополнительной точки к каждому пространству имеет решающее значение , поскольку оно позволяет нам определить f для всего, что находится за пределами N -кортежа, точным образом без выбора (мы уже можем выбрать, по построению, j из X j ). π i k ( f ) = a k , очевидно, является элементом каждого A i k , так что f есть в каждом прообразе; таким образом, мы имеем
По определению компактности FIP все пересечение над I должно быть непустым, и доказательство завершено.
