Лемма Урысона

Характеристика нормальных пространств непрерывными функциями

В топологии лемма Урысона — это лемма , которая утверждает, что топологическое пространство является нормальным тогда и только тогда, когда любые два непересекающихся замкнутых подмножества могут быть разделены непрерывной функцией . ^[1]

Лемма Урысона обычно используется для построения непрерывных функций с различными свойствами на нормальных пространствах. Она широко применима, поскольку все метрические пространства и все компактные хаусдорфовы пространства являются нормальными. Лемма обобщается (и обычно используется в доказательстве) теоремой о продолжении Титце .

Лемма названа в честь математика Павла Самуиловича Урысона .

Обсуждение

Два набора, разделенных кварталами.

Говорят, что два подмножества и топологического пространства разделены окрестностями, если существуют непересекающиеся окрестности и . В частности , и обязательно непересекающиеся. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Говорят, что два простых подмножества и разделены непрерывной функцией, если существует непрерывная функция из в единичный интервал такая, что для всех и для всех Любая такая функция называется функцией Урысона для и В частности , и обязательно не пересекаются. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:X\to [0,1]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f(a)=0}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle f(b)=1}$ ${\displaystyle b\in B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Из этого следует, что если два подмножества и разделены функцией, то и их замыкания также разделены. Также из этого следует, что если два подмножества и разделены функцией, то и разделены окрестностями. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Нормальное пространство — это топологическое пространство, в котором любые два непересекающихся замкнутых множества могут быть разделены окрестностями. Лемма Урысона утверждает, что топологическое пространство является нормальным тогда и только тогда, когда любые два непересекающихся замкнутых множества могут быть разделены непрерывной функцией.

Множества и не обязательно должны быть точно разделены посредством , т. е. не обязательно и не гарантируется, что и для внешних множеств и Топологическое пространство , в котором каждые два непересекающихся замкнутых подмножества и точно разделены непрерывной функцией, является совершенно нормальным . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)\neq 0}$ ${\displaystyle \neq 1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Лемма Урысона привела к формулировке других топологических свойств, таких как «свойство Тихонова» и «полностью хаусдорфовы пространства». Например, следствием леммы является то, что нормальные пространства T 1 являются тихоновскими .

Официальное заявление

Топологическое пространство нормально тогда и только тогда, когда для любых двух непустых замкнутых непересекающихся подмножеств и существует непрерывное отображение такое, что и ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f:X\to [0,1]}$ ${\displaystyle f(A)=\{0\}}$ ${\displaystyle f(B)=\{1\}.}$

Эскиз доказательства

Иллюстрация первых нескольких наборов, созданных в рамках доказательства.

Доказательство осуществляется путем многократного применения следующей альтернативной характеристики нормальности. Если — нормальное пространство, — открытое подмножество и — замкнуто, то существует открытое и замкнутое такие, что . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\subseteq Z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y\subseteq U\subseteq V\subseteq Z}$

Пусть и будут непересекающимися замкнутыми подмножествами . Основная идея доказательства состоит в том, чтобы многократно применять эту характеристику нормальности к и , продолжая с новыми множествами, построенными на каждом шаге. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B^{\complement }}$

Множества, которые мы строим, индексируются диадическими дробями . Для каждой диадической дроби мы строим открытое подмножество и замкнутое подмножество таких , что: ${\displaystyle r\in (0,1)}$ ${\displaystyle U(r)}$ ${\displaystyle V(r)}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle A\subseteq U(r)}$и для всех , ${\displaystyle V(r)\subseteq B^{\complement }}$ ${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle U(r)\subseteq V(r)}$для всех , ${\displaystyle r}$
• Для , . ${\displaystyle r<s}$ ${\displaystyle V(r)\subseteq U(s)}$

Интуитивно, множества и расширяются наружу по слоям от : ${\displaystyle U(r)}$ ${\displaystyle V(r)}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccccccccc}A&&&&&&&\subseteq &&&&&&&B^{\complement }\\A&&&\subseteq &&&\ U(1/2)&\subseteq &V(1/2)&&&\subseteq &&&B^{\complement }\\A&\subseteq &U(1/4)&\subseteq &V(1/4)&\subseteq &U(1/2)&\subseteq &V(1/2)&\subseteq &U(3/4)&\subseteq &V(3/4)&\subseteq &B^{\complement }\end{array}}}$

Это построение осуществляется методом математической индукции . Для базового шага мы определяем два дополнительных множества и . ${\displaystyle U(1)=B^{\complement }}$ ${\displaystyle V(0)=A}$

Теперь предположим, что и что множества и уже построены для . Обратите внимание, что это пусто удовлетворяется для . Поскольку является нормальным, для любого , мы можем найти открытое множество и замкнутое множество такие, что ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle U\left(k/2^{n}\right)}$ ${\displaystyle V\left(k/2^{n}\right)}$ ${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,2^{n}-1\}}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\in \left\{0,1,\ldots ,2^{n}-1\right\}}$

${\displaystyle V\left({\frac {a}{2^{n}}}\right)\subseteq U\left({\frac {2a+1}{2^{n+1}}}\right)\subseteq V\left({\frac {2a+1}{2^{n+1}}}\right)\subseteq U\left({\frac {a+1}{2^{n}}}\right)}$

Затем проверяются три вышеуказанных условия.

Как только у нас есть эти множества, мы определяем , если для любого ; в противном случае для каждого , где обозначает инфимум . Используя тот факт, что двоичные рациональные числа плотны , не так уж сложно показать, что является непрерывным и обладает свойством и Этот шаг требует множеств для работы. ${\displaystyle f(x)=1}$ ${\displaystyle x\not \in U(r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f(x)=\inf\{r:x\in U(r)\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \inf }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(A)\subseteq \{0\}}$ ${\displaystyle f(B)\subseteq \{1\}.}$ ${\displaystyle V(r)}$

Проект Mizar полностью формализовал и автоматически проверил доказательство леммы Урысона в файле URYSOHN3.

Смотрите также

• Успокаивающий

Примечания

1. Уиллард 1970 Раздел 15.

Ссылки

• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.

Внешние ссылки

• "Лемма Урысона", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Доказательство системы Mizar : http://mizar.org/version/current/html/urysohn3.html#T20