Нормальное пространство

Тип топологического пространства

В топологии и смежных разделах математики нормальное пространство — это топологическое пространство X , удовлетворяющее аксиоме T ₄ : любые два непересекающихся замкнутых множества X имеют непересекающиеся открытые окрестности . Нормальное хаусдорфово пространство также называется пространством T ₄ . Эти условия являются примерами аксиом разделения , а их дальнейшие усиления определяют совершенно нормальные хаусдорфовы пространства , или пространства T ₅ , и совершенно нормальные хаусдорфовы пространства , или пространства T ₆ .

Определения

Топологическое пространство X является нормальным пространством , если для любых непересекающихся замкнутых множеств E и F существуют окрестности U множества E и V множества F , которые также не пересекаются. Более интуитивно это условие говорит, что E и F могут быть разделены окрестностями .

Замкнутые множества E и F , представленные здесь замкнутыми дисками на противоположных сторонах рисунка, разделены соответствующими им окрестностями U и V , представленными здесь большими, но все еще непересекающимися открытыми дисками.

Пространство T4 — это пространство T1 X , _{которое} является нормальным; это эквивалентно тому, что _X является нормальным и хаусдорфовым .

Совершенно нормальное пространство , илинаследственно нормальное пространство — это топологическое пространствоX,такоечто каждоеподпространствоXявляется нормальным пространством. Оказывается, чтоXявляется полностью нормальным тогда и только тогда, когда каждые дваразделенных множествамогут быть разделены соседями. Кроме того,Xявляется полностью нормальным тогда и только тогда, когда каждое открытое подмножествоXявляется нормальным с топологией подпространства.

Пространство T5 , или полностью пространство _T4 , является полностью нормальным пространством _T1 X , что подразумевает, что X является хаусдорфовым; эквивалентно, каждое подпространство X должно быть _{пространством T4} .

Совершенно нормальное пространство — это топологическое пространство , в котором каждые два непересекающихся замкнутых множества и могут быть точно разделены функцией , в том смысле, что существует непрерывная функция из в интервал такой, что и . ^[1] Это более сильное свойство разделения, чем нормальность, поскольку по лемме Урысона непересекающиеся замкнутые множества в нормальном пространстве могут быть разделены функцией , в смысле и , но не точно разделены в общем случае. Оказывается, что X совершенно нормально тогда и только тогда, когда X нормально и каждое замкнутое множество является множеством G δ . Эквивалентно, X совершенно нормально тогда и только тогда, когда каждое замкнутое множество является нулевым множеством непрерывной функции . Эквивалентность между этими тремя характеризациями называется теоремой Веденисова . ^{[2] [3]} Каждое совершенно нормальное пространство является совершенно нормальным, потому что совершенная нормальность является наследственным свойством . ^{[4] [5]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f^{-1}(0)=E}$ ${\displaystyle f^{-1}(1)=F}$ ${\displaystyle E\subseteq f^{-1}(0)}$ ${\displaystyle F\subseteq f^{-1}(1)}$

Пространство T6 , или совершенное пространство _T4 , является совершенно нормальным хаусдорфовым пространством _.

Обратите внимание, что термины «нормальное пространство» и «T ₄ » и производные концепции иногда имеют разное значение. (Тем не менее, «T ₅ » всегда означает то же самое, что и «полностью T ₄ », каким бы ни было значение T ₄ .) Определения, приведенные здесь, являются теми, которые обычно используются сегодня. Подробнее об этом вопросе см. в разделе История аксиом разделения .

Термины типа «нормальное регулярное пространство » и «нормальное хаусдорфово пространство» также встречаются в литературе — они просто означают, что пространство является нормальным и удовлетворяет другому упомянутому условию. В частности, нормальное хаусдорфово пространство — это то же самое, что и пространство T ₄ . Учитывая историческую путаницу в значении терминов, словесные описания, когда они применимы, полезны, то есть «нормальное хаусдорфово» вместо «T ₄ » или «совершенно нормальное хаусдорфовое» вместо «T ₅ ».

Полностью нормальные пространства и полностью T4 _- пространства обсуждаются в другом месте; они связаны с паракомпактностью .

Локально нормальное пространство — это топологическое пространство, в котором каждая точка имеет открытую окрестность, которая является нормальной. Каждое нормальное пространство является локально нормальным, но обратное неверно. Классическим примером полностью регулярного локально нормального пространства, которое не является нормальным, является плоскость Немыцкого .

Примеры нормальных пространств

Большинство пространств, встречающихся в математическом анализе, являются нормальными хаусдорфовыми пространствами или, по крайней мере, нормальными регулярными пространствами:

• Все метрические пространства (и, следовательно, все метризуемые пространства ) являются совершенно нормальными Хаусдорфовыми;
• Все псевдометрические пространства (и, следовательно, все псевдометризуемые пространства ) являются совершенно нормальными регулярными, хотя в общем случае не хаусдорфовыми;
• Все компактные хаусдорфовы пространства нормальны;
• В частности, компактификация Стоуна–Чеха тихоновского пространства является нормальной хаусдорфовой;
• Обобщая приведённые выше примеры, все паракомпактные хаусдорфовы пространства нормальны, и все паракомпактные регулярные пространства нормальны;
• Все паракомпактные топологические многообразия являются совершенно нормальными Хаусдорфовыми. Однако существуют непаракомпактные многообразия, которые даже не являются нормальными.
• Все топологии порядка на полностью упорядоченных множествах наследственно нормальны и хаусдорфовы.
• Каждое регулярное пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, является совершенно нормальным, и каждое регулярное пространство Линделёфа является нормальным.

Также все полностью нормальные пространства являются нормальными (даже если не регулярными). Пространство Серпинского является примером нормального пространства, которое не является регулярным.

Примеры ненормальных пространств

Важным примером ненормальной топологии является топология Зариского на алгебраическом многообразии или на спектре кольца , которая используется в алгебраической геометрии .

Ненормальное пространство, имеющее некоторое отношение к анализу, — это топологическое векторное пространство всех функций от действительной прямой R до себя с топологией поточечной сходимости . В более общем смысле теорема Артура Гарольда Стоуна утверждает, что произведение несчетного числа некомпактных метрических пространств никогда не бывает нормальным.

Характеристики

Каждое замкнутое подмножество нормального пространства является нормальным. Непрерывный и замкнутый образ нормального пространства является нормальным. ^[6]

Главное значение нормальных пространств заключается в том, что они допускают «достаточно» непрерывных вещественных функций , что выражается следующими теоремами, справедливыми для любого нормального пространства X.

Лемма Урысона : Если A и B — два непересекающихся замкнутых подмножества X , то существует непрерывная функция f из X до действительной прямой R такая, что f ( x ) = 0 для всех x из A и f ( x ) = 1 для всех x из B . Фактически, мы можем считать, что значения f полностью находятся в единичном интервале [0,1]. В более сложных терминах непересекающиеся замкнутые множества не только разделены окрестностями, но и разделены функцией .

В более общем смысле, теорема Титце о расширении : если A — замкнутое подмножество X , а f — непрерывная функция из A в R , то существует непрерывная функция F : X → R , которая расширяет f в том смысле, что F ( x ) = f ( x ) для всех x из A.

Отображение обладает свойством подъема относительно отображения из некоторого конечного топологического пространства с пятью точками (две открытые и три закрытые) в пространство с одной открытой и двумя закрытыми точками. ^[7] ${\displaystyle \emptyset \rightarrow X}$

Если U — локально конечное открытое покрытие нормального пространства X , то существует разбиение единицы, точно подчиненное U. Это показывает связь нормальных пространств с паракомпактностью .

Фактически, любое пространство, удовлетворяющее любому из этих трех условий, должно быть нормальным.

Произведение нормальных пространств не обязательно является нормальным. Этот факт был впервые доказан Робертом Зоргенфреем . Примером этого явления является плоскость Зоргенфрея . Фактически, поскольку существуют пространства, которые являются пространствами Даукера , произведение нормального пространства и [0, 1] не обязательно должно быть нормальным. Кроме того, подмножество нормального пространства не обязательно должно быть нормальным (т. е. не каждое нормальное хаусдорфово пространство является полностью нормальным хаусдорфовым пространством), поскольку каждое тихоновское пространство является подмножеством своей компактификации Стоуна–Чеха (которая является нормальной хаусдорфовой). Более явным примером является тихоновская планка . Единственный большой класс произведений пространств нормальных пространств, которые, как известно, являются нормальными, — это произведения компактных хаусдорфовых пространств, поскольку и компактность ( теорема Тихонова ), и аксиома T ₂ сохраняются при произвольных произведениях. ^[8]

Связь с другими аксиомами разделения

Если нормальное пространство — это R 0 , то оно фактически полностью регулярно . Таким образом, все, что угодно от «нормального R ₀ » до «нормального полностью регулярного» — это то же самое, что мы обычно называем нормальным регулярным . Взяв факторы Колмогорова , мы видим, что все нормальные пространства T 1 являются тихоновскими . Это то, что мы обычно называем нормальными хаусдорфовыми пространствами.

Топологическое пространство называется псевдонормальным, если в нем даны два непересекающихся замкнутых множества, одно из которых счетно, и существуют непересекающиеся открытые множества, их содержащие. Каждое нормальное пространство является псевдонормальным, но не наоборот.

Контрпримеры к некоторым вариациям этих утверждений можно найти в списках выше. В частности, пространство Серпинского является нормальным, но не регулярным, в то время как пространство функций из R в себя является тихоновским, но не нормальным.

Смотрите также

• Коллекционно нормальное пространство  – свойство топологических пространств сильнее нормальности
• Монотонно нормальное пространство  – Свойство топологических пространств сильнее нормальности

Цитаты

1. Уиллард, Упражнение 15C
2. Энгелькинг, Теорема 1.5.19. Это утверждается в предположении пространства T ₁ , но доказательство не использует это предположение.
3. «Почему эти два определения совершенно нормального пространства эквивалентны?».
4. Энгелькинг, Теорема 2.1.6, стр. 68
5. Манкрес 2000, стр. 213
6. Уиллард 1970, стр. 100–101.
7. "аксиомы разделения в nLab". ncatlab.org . Получено 2021-10-12 .
8. Уиллард 1970, Раздел 17.

Ссылки

• Энгелькинг, Рышард , Общая топология , Heldermann Verlag Berlin, 1989. ISBN 3-88538-006-4 
• Кемото, Нобуюки (2004). "Высшие аксиомы разделения". В KP Hart; J. Nagata; JE Vaughan (ред.). Энциклопедия общей топологии . Амстердам: Elsevier Science . ISBN 978-0-444-50355-8.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Prentice-Hall . ISBN 978-0-13-181629-9.
• Sorgenfrey, RH (1947). «О топологическом произведении паракомпактных пространств». Bull. Amer. Math. Soc . 53 (6): 631–632. doi : 10.1090/S0002-9904-1947-08858-3 .
• Стоун, AH (1948). «Паракомпактность и пространства произведений». Bull. Amer. Math. Soc . 54 (10): 977–982. doi : 10.1090/S0002-9904-1948-09118-2 .
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley. ISBN 978-0-486-43479-7.