пространство Тихонова

Тип регулярного хаусдорфова пространства

В топологии и смежных разделах математики тихоновские пространства и вполне регулярные пространства являются видами топологических пространств . Эти условия являются примерами аксиом разделения . Тихоновское пространство — это любое вполне регулярное пространство, которое также является хаусдорфовым пространством ; существуют вполне регулярные пространства, которые не являются тихоновскими (т.е. не хаусдорфовыми).

Павел Урысон использовал понятие полностью регулярного пространства в статье 1925 года ^[1], не дав ему названия. Но именно Андрей Тихонов ввел термин «полностью регулярно» в 1930 году. ^[2]

Определения

Выделение точки из замкнутого множества с помощью непрерывной функции.

Топологическое пространство называется полностью регулярным, если точки можно отделить от замкнутых множеств с помощью (ограниченных) непрерывных вещественных функций. Технически это означает: для любого замкнутого множества и любой точки существует вещественная непрерывная функция такая, что и (Эквивалентно можно выбрать любые два значения вместо и и даже потребовать, чтобы была ограниченной функцией.) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in X\setminus A,}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=1}$ ${\displaystyle f\vert _{A}=0.}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f}$

Топологическое пространство называется тихоновским пространством (альтернативно: пространством T _3½ , или пространством T _π , или полностью пространством T ₃ ), если оно является вполне регулярным хаусдорфовым пространством .

Замечание. Вполне регулярные пространства и тихоновские пространства связаны понятием эквивалентности Колмогорова . Топологическое пространство является тихоновским тогда и только тогда, когда оно является как вполне регулярным, так и T 0 . С другой стороны, пространство является вполне регулярным тогда и только тогда, когда его колмогоровское частное является тихоновским.

Соглашения об именовании

В математической литературе применяются различные соглашения, когда речь заходит о термине «совершенно регулярный» и «T»-аксиомах. Определения в этом разделе соответствуют типичному современному использованию. Однако некоторые авторы меняют значения двух видов терминов или используют все термины взаимозаменяемо. В Википедии термины «совершенно регулярный» и «Тихоновский» используются свободно, а «T»-обозначение обычно избегается. Поэтому в стандартной литературе рекомендуется проявлять осторожность, чтобы выяснить, какие определения использует автор. Подробнее об этом вопросе см. История аксиом разделения .

Примеры

Почти каждое топологическое пространство, изучаемое в математическом анализе, является тихоновским или, по крайней мере, полностью регулярным. Например, вещественная прямая является тихоновской в ​​стандартной евклидовой топологии . Другие примеры включают:

• Каждое метрическое пространство является тихоновским; каждое псевдометрическое пространство полностью регулярно.
• Каждое локально компактное регулярное пространство является вполне регулярным, и поэтому каждое локально компактное хаусдорфово пространство является тихоновским.
• В частности, каждое топологическое многообразие является тихоновским.
• Каждое полностью упорядоченное множество с топологией порядка является тихоновским.
• Каждая топологическая группа вполне регулярна.
• Каждое псевдометризуемое пространство является вполне регулярным, но не тихоновским, если пространство не является хаусдорфовым.
• Каждое полунормированное пространство является вполне регулярным (и потому, что оно псевдометризуемо, и потому, что оно является топологическим векторным пространством , следовательно, топологической группой). Но оно не будет тихоновским, если полунорма не является нормой.
• Обобщая как метрические пространства, так и топологические группы, каждое равномерное пространство является вполне регулярным. Обратное также верно: каждое вполне регулярное пространство является униформизуемым.
• Каждый комплекс CW — это Тихонов.
• Каждое нормальное регулярное пространство является вполне регулярным, а каждое нормальное хаусдорфово пространство является тихоновским.
• Плоскость Немыцкого является примером тихоновского пространства, которое не является нормальным .

Существуют регулярные хаусдорфовы пространства, которые не являются полностью регулярными, но такие примеры сложно построить. Одним из них является так называемый тихоновский штопор ^[3] [ ^4] , который содержит две точки, такие что любая непрерывная вещественная функция на пространстве имеет одинаковое значение в этих двух точках. Еще более сложная конструкция начинается с тихоновского штопора и строит регулярное хаусдорфово пространство , называемое сжатым хаусдорфовым штопором ^{[5] [6],} которое не является полностью регулярным в более сильном смысле, а именно, каждая непрерывная вещественная функция на пространстве является постоянной.

Характеристики

Сохранение

Полная регулярность и свойство Тихонова хорошо ведут себя по отношению к начальным топологиям . В частности, полная регулярность сохраняется при взятии произвольных начальных топологий, а свойство Тихонова сохраняется при взятии начальных топологий, разделяющих точки. Из этого следует, что:

• Каждое подпространство полностью регулярного или тихоновского пространства обладает тем же свойством.
• Непустое пространство произведений является полностью регулярным (соответственно тихоновским) тогда и только тогда, когда каждое фактор-пространство является полностью регулярным (соответственно тихоновским).

Как и все аксиомы разделения, полная регулярность не сохраняется при принятии финальных топологий . В частности, факторы полностью регулярных пространств не обязаны быть регулярными . Факторы тихоновских пространств не обязаны быть даже хаусдорфовыми , причем одним элементарным контрпримером является линия с двумя началами . Существуют замкнутые факторы плоскости Мура , которые предоставляют контрпримеры.

Действительные непрерывные функции

Для любого топологического пространства обозначим семейство действительнозначных непрерывных функций на , а — подмножество ограниченных действительнозначных непрерывных функций. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{b}(X)}$

Полностью регулярные пространства можно охарактеризовать тем, что их топология полностью определяется или В частности: ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle C_{b}(X).}$

• Пространство является полностью регулярным тогда и только тогда, когда оно имеет начальную топологию, индуцированную или ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle C_{b}(X).}$
• Пространство является полностью регулярным тогда и только тогда, когда каждое замкнутое множество может быть записано как пересечение семейства нулевых множеств в (т.е. нулевые множества образуют базис для замкнутых множеств ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Пространство является полностью регулярным тогда и только тогда, когда конуль -множества образуют основу топологии ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Для произвольного топологического пространства существует универсальный способ связать вполне регулярное пространство с Пусть ρ — начальная топология на , индуцированная или, что эквивалентно, топология, порожденная базисом конуль-множеств в Тогда ρ будет наилучшей вполне регулярной топологией на , которая грубее, чем Эта конструкция универсальна в том смысле, что любая непрерывная функция на вполне регулярном пространстве будет непрерывной на На языке теории категорий функтор , отправляющий в , является левым сопряженным к функтору включения CReg → Top . Таким образом, категория вполне регулярных пространств CReg является рефлективной подкатегорией Top , категории топологических пространств . Взяв частные Колмогорова , можно увидеть, что подкатегория тихоновских пространств также является рефлективной. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{\tau }(X)}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$ $${\displaystyle f:(X,\tau )\to Y}$$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,\rho ).}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\rho )}$

Можно показать, что в приведенной выше конструкции кольца и обычно изучаются только для полностью регулярных пространств ${\displaystyle C_{\tau }(X)=C_{\rho }(X)}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle C_{b}(X)}$ ${\displaystyle X.}$

Категория вещественно-компактных тихоновских пространств антиэквивалентна категории колец (где вещественно-компактно) вместе с кольцевыми гомоморфизмами как отображениями. Например, можно восстановить из , когда является (вещественно) компактным. Поэтому алгебраическая теория этих колец является предметом интенсивных исследований. Обширным обобщением этого класса колец, которое по-прежнему напоминает многие свойства тихоновских пространств, но также применимо в вещественной алгебраической геометрии , является класс вещественно-замкнутых колец . ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$

Вложения

Тихоновские пространства — это именно те пространства, которые могут быть вложены в компактные хаусдорфовы пространства . Точнее, для каждого тихоновского пространства существует компактное хаусдорфово пространство, такое что гомеоморфно подпространству ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K.}$

На самом деле, всегда можно выбрать тихоновский куб (т.е. возможно бесконечное произведение единичных интервалов ). Каждый тихоновский куб является компактным хаусдорфовым, как следствие теоремы Тихонова . Поскольку каждое подпространство компактного хаусдорфова пространства является тихоновским, то: ${\displaystyle K}$

Топологическое пространство является тихоновским тогда и только тогда, когда его можно вложить в тихоновский куб .

Компактификации

Особый интерес представляют те вложения, в которых образ плотен в , они называются хаусдорфовыми компактификациями пространства . Для любого вложения тихоновского пространства в компактное хаусдорфово пространство замыкание образа в является компактификацией пространства . В той же статье 1930 года ^[2] , где Тихонов определил вполне регулярные пространства, он также доказал, что каждое тихоновское пространство имеет хаусдорфову компактификацию. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K;}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$

Среди этих компактификаций Хаусдорфа есть уникальная «наиболее общая» компактификация Стоуна–Чеха. Она характеризуется универсальным свойством , заключающимся в том, что для заданного непрерывного отображения из в любое другое компактное хаусдорфово пространство существует единственное непрерывное отображение , которое продолжается в том смысле, что является композицией и ${\displaystyle \beta X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle g:\beta X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle j.}$

Единые структуры

Полная регулярность — это как раз необходимое условие для существования равномерных структур на топологическом пространстве. Другими словами, каждое равномерное пространство имеет совершенно регулярную топологию, и каждое совершенно регулярное пространство является униформизуемым . Топологическое пространство допускает разделенную равномерную структуру тогда и только тогда, когда оно тихоновское. ${\displaystyle X}$

При наличии полностью регулярного пространства обычно существует более одной однородности, совместимой с топологией Однако всегда будет существовать наиболее тонкая совместимая однородность, называемая тонкой однородностью на Если является тихоновским, то однородную структуру можно выбрать так, чтобы она стала завершением однородного пространства ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta X}$ ${\displaystyle X.}$

Смотрите также

• Компактификация Стоуна–Чеха  – Концепция в топологии

Цитаты

1. Урысон, Пол (1925). «Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen». Математические Аннален . 94 (1): 262–295. дои : 10.1007/BF01208659.См. страницы 291 и 292.
2. Тихонов, А. (1930). «Über die topologische Erweiterung von Räumen». Математические Аннален . 102 (1): 544–561. дои : 10.1007/BF01782364.
3. Уиллард 1970, Задача 18G.
4. Стин и Зеебах 1995, Пример 90.
5. Стин и Зеебах 1995, Пример 92.
6. Хьюитт, Эдвин (1946). «О двух задачах Урысона». Annals of Mathematics . 47 (3): 503–509. doi :10.2307/1969089.

Библиография

• Гиллман, Леонард ; Джерисон, Мейер (1960). Кольца непрерывных функций. Graduate Texts in Mathematics, № 43 (переиздание Dover). NY: Springer-Verlag. стр. xiii. ISBN 978-048681688-3.
• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур-младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии ( переиздание Дувра 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. МР  0507446.
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология (переиздание Dover). Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-486-43479-6.