целое число Эйзенштейна

В математике целые числа Эйзенштейна ( названные в честь Готхольда Эйзенштейна ), иногда также известные ^[1] как целые эйлеровы числа (в честь Леонарда Эйлера ), представляют собой комплексные числа вида

z=a+b\omega ,

где $a$ и $b$ — целые числа , а

\omega ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{i2\pi /3}

является примитивным (следовательно, нереальным) кубическим корнем из единицы .

Целые числа Эйзенштейна образуют треугольную решетку в комплексной плоскости , в отличие от целых чисел Гаусса , которые образуют квадратную решетку в комплексной плоскости. Целые числа Эйзенштейна представляют собой счетное бесконечное множество .

Характеристики

Целые числа Эйзенштейна образуют коммутативное кольцо целых алгебраических чисел в поле алгебраических чисел $Q (ω)$ – третьем круговом поле . Чтобы увидеть, что целые числа Эйзенштейна являются целыми алгебраическими числами, обратите внимание, что каждый $z = a + bω$ является корнем монического многочлена.

z^{2}-(2a-b)\;\!z+\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)~.

В частности, $ω$ удовлетворяет уравнению

\omega ^{2}+\omega +1=0~.

Произведение двух целых чисел Эйзенштейна $a + bω$ и $c + dω$ явно определяется выражением

(a+b\;\!\omega )\;\!(c+d\;\!\omega )=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\;\!\omega ~.

2-норма целого числа Эйзенштейна — это просто его квадрат модуля и определяется выражением

{\left|a+b\;\!\omega \right|}^{2}\,=\,{(a-{\tfrac {1}{2}}b)}^{2}+{\tfrac {3}{4}}b^{2}\,=\,a^{2}-ab+b^{2}~,

которое, очевидно, является положительным обычным (рациональным) целым числом.

Кроме того, комплексно-сопряженное число ω $удовлетворяет$ условию

{\bar {\omega }}=\omega ^{2}~.

Группа единиц в этом кольце представляет собой циклическую группу , образованную корнями шестой степени из единицы в комплексной плоскости: ${\pm1, \pm ω, \pm ω 2}$ — целые числа Эйзенштейна нормы $1$ .

Евклидова область

Кольцо целых чисел Эйзенштейна образует евклидову область , норма которой $N$ задается квадратным модулем, как указано выше:

N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.

Алгоритм деления , примененный к любому делимому $α$ и делителю $β \neq 0$ , дает частное $κ$ и остаток $ρ,$ меньший, чем делитель, удовлетворяя:

\alpha =\kappa \beta +\rho \ \ {\text{ with }}\ \ N(\rho )<N(\beta ).

Здесь $α$ , $β$ , $κ$ , $ρ$ — целые числа Эйзенштейна. Этот алгоритм подразумевает алгоритм Евклида , который доказывает лемму Евклида и уникальную факторизацию целых чисел Эйзенштейна в простые числа Эйзенштейна.

Алгоритм одного деления следующий. Сначала выполните деление в области комплексных чисел и запишите частное через $ω$ :

{\frac {\alpha }{\beta }}\ =\ {\tfrac {1}{\ |\beta |^{2}}}\alpha {\overline {\beta }}\ =\ a+bi\ =\ a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b+{\tfrac {2}{\sqrt {3}}}b\omega ,

для рациональных $a, b \in Q.$ Затем получите целочисленное частное Эйзенштейна, округлив рациональные коэффициенты до ближайшего целого числа:

\kappa =\left\lfloor a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b\right\rceil +\left\lfloor {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}b\right\rceil \omega \ \ {\text{ and }}\ \ \rho ={\alpha }-\kappa \beta .

Здесь может обозначаться любая из стандартных функций округления до целого числа. $\lfloor x\rceil$

Причина, по которой это удовлетворяет $N (ρ) < N (β)$ , в то время как аналогичная процедура не работает для большинства других квадратичных целочисленных колец, заключается в следующем. Фундаментальной областью для идеала $Z [ω] β = Zβ + Zωβ$ , действующего сдвигами на комплексной плоскости, является ромб 60°–120° с $вершинами$ $0$ , $β$ , $ωβ$ , $β + ωβ$ $.$ Любое целое число Эйзенштейна $α$ лежит внутри одного из сдвигов этого параллелограмма, а частное $κ$ является одной из его вершин. Остаток — это квадрат расстояния от $α$ до этой вершины, но максимально возможное расстояние в нашем алгоритме составляет всего , поэтому . (Размер $ρ$ можно немного уменьшить, приняв за $κ$ ближайший угол.) ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}|\beta |$ $|\rho |\leq {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}|\beta |<|\beta |$

Простые числа Эйзенштейна

Если $x$ и $y$ — целые числа Эйзенштейна, мы говорим, что $x$ делит $y$ , если существует некоторое целое число Эйзенштейна $z$ такое, что $y = zx$ . Неединичное целое число Эйзенштейна $x$ называется простым числом Эйзенштейна, если его единственные неединичные делители имеют форму $ux$ , где $u$ — любая из шести единиц. Они соответствуют понятию гауссовых простых чисел в гауссовских целых числах.

Существует два типа простых чисел Эйзенштейна. Во-первых, обычное простое число (или рациональное простое число ), соответствующее $2 по модулю 3,$ также является простым числом Эйзенштейна. Во-вторых, $3$ и каждое рациональное простое число, конгруэнтное $1 по модулю 3,$ равны норме $x 2 - xy + y 2$ целого числа Эйзентайна $x + ωy$ . Таким образом, такое простое число можно разложить на множители как $(x + ωy)(x + ω 2 y)$ , и эти множители являются простыми числами Эйзенштейна: это в точности целые числа Эйзенштейна, нормой которых является рациональное простое число.

Первые несколько простых чисел Эйзенштейна формы $3 n - 1$ :

2 , 5 , 11 , 17 , 23 , 29 , 41 , 47 , 53 , 59 , 71 , 83 , 89 , 101 , ... (последовательность A003627 в OEIS ).

Натуральные простые числа, конгруэнтные $0$ или $1$ по модулю $3,$ не являются простыми числами Эйзенштейна: они допускают нетривиальную факторизацию в $Z [ω]$ . Например:

3 знак равно -(1 + 2 ω) 2

7 знак равно (3 + ω)(2 - ω)

В общем, если натуральное простое число $p$ равно $1$ по модулю $3$ и поэтому может быть записано как $p = a 2 - ab + b 2$ , то оно факторизуется по $Z [ω]$ как

п знак равно (а + бω)((а - б) - бω)

Некоторые недействительные простые числа Эйзенштейна:

2 + ω

3 + ω

4 + ω

5 + 2 ω

6 + ω

7 + ω

7 + 3 ω

С точностью до сопряжения и единичных кратных перечисленные выше простые числа вместе с $2$ и $5$ представляют собой все простые числа Эйзенштейна, абсолютная величина которых не превышает $7$ .

По состоянию на октябрь 2023 года ^[update]самое большое известное реальное простое число Эйзенштейна — десятое по величине известное простое число $10223 \times 2 31172165 + 1$ , открытое Петером Сабольчем и PrimeGrid . ^[2] За одним исключением, ^{[ необходимы пояснения ]} все известные простые числа большего размера являются простыми числами Мерсенна , обнаруженными GIMPS . Настоящие простые числа Эйзенштейна конгруэнтны $2 по модулю 3$ , а все простые числа Мерсенна больше $3$ конгруэнтны $1 по модулю 3$ ; таким образом, ни одно простое число Мерсенна не является простым числом Эйзенштейна.

серия Эйзенштейна

Сумма обратных величин всех целых чисел Эйзенштейна, за исключением $0,$ возведенного в шестую степень, может быть выражена через гамма-функцию :

\sum _{z\in \mathbf {E} \setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{6}}}=G_{6}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)={\frac {\Gamma (1/3)^{18}}{8960\pi ^{6}}}

E

G6

—

Эйзенштейна^[3]

Частное C по целым числам Эйзенштейна

Фактор комплексной плоскости $C$ по решетке , содержащей все целые числа Эйзенштейна, представляет собой комплексный тор вещественной размерности $2$ . Это один из двух торов с максимальной симметрией среди всех таких комплексных торов. ^[^{нужна цитата}^] Этот тор можно получить, определив каждую из трех пар противоположных ребер правильного шестиугольника. (Другой максимально симметричный тор представляет собой фактор комплексной плоскости по аддитивной решетке гауссовых целых чисел и может быть получен путем идентификации каждой из двух пар противоположных сторон квадратной фундаментальной области, например $[0, 1] \times [ 0, 1]$ .)

Смотрите также

Примечания

^ Оба Сурани, Ласло (1997). Алгебра . ТИПОТЕКС. п. 73.и Салай, Михай (1991). Самельмелет . Танкёнивкиадо. п. 75.назовите эти числа «Эйлер-Эгешек», то есть целые эйлеровы числа. Последние утверждают, что Эйлер работал с ними над доказательством.
^ «Самые большие известные простые числа». Главные страницы . Проверено 27 февраля 2023 г.
^ «Запись 0fda1b - Фунгрим: Гримуар математических функций» . fungrim.org . Проверено 22 июня 2023 г.

Внешние ссылки

Целое число Эйзенштейна — из MathWorld