Центральная сила

Механическая сила, направленная к точке или от нее

В классической механике центральная сила , действующая на объект, — это сила , направленная к точке, называемой центром силы, или от нее . ^{[а] [1] : 93}

$${\displaystyle {\vec {F}}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )=\left\vert F(\mathbf {r} )\right\vert {\hat {\mathbf {r} }}}$$

Fвекторная силовая функцияFrвектор положениярединичный вектор ${\textstyle {\vec {F}}}$ ${\textstyle {\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /\|\mathbf {r} \|}$

Не все центральные силовые поля консервативны или сферически симметричны . Однако центральная сила консервативна тогда и только тогда, когда она сферически симметрична или вращательно-инвариантна. ^{[1] : 133–38.}

Характеристики

Центральные силы, которые являются консервативными, всегда могут быть выражены как отрицательный градиент потенциальной энергии :

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-\mathbf {\nabla } V(\mathbf {r} )\;{\text{, where }}V(\mathbf {r} )=\int _{|\mathbf {r} |}^{+\infty }F(r)\,\mathrm {d} r}$$

с точностью до

В консервативном поле сохраняется полная механическая энергия ( кинетическая и потенциальная):

$${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}m|\mathbf {\dot {r}} |^{2}+{\tfrac {1}{2}}I|{\boldsymbol {\omega }}|^{2}+V(\mathbf {r} )={\text{constant}}}$$

ṙ'производнуюr'скоростьI'момент инерцииω'угловую скоростьмомент

$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {\dot {r}} ={\text{constant}}}$$

крутящий моментвторому закону Кеплера

Также можно показать, что объект, движущийся под действием какой-либо центральной силы, подчиняется второму закону Кеплера. Однако первый и третий законы зависят от природы обратных квадратов закона всемирного тяготения Ньютона и в целом не справедливы для других центральных сил.

Вследствие консервативности эти конкретные центральные силовые поля являются безвихревыми, то есть их ротор равен нулю, за исключением начала координат :

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {0} .}$$

Примеры

Гравитационная сила и кулоновская сила — два знакомых примера, ^{пропорциональные} только 1/ r2 . Объект в таком силовом поле с отрицательной (соответствующей силе притяжения) подчиняется законам движения планет Кеплера . ${\displaystyle F(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle F(\mathbf {r} )}$

Силовое поле пространственного гармонического осциллятора является центральным, пропорциональным только r и отрицательным. ${\displaystyle F(\mathbf {r} )}$

По теореме Бертрана эти два и являются единственными возможными центральными силовыми полями, где все ограниченные орбиты являются стабильными замкнутыми орбитами. Однако существуют и другие силовые поля, имеющие замкнутые орбиты. ${\displaystyle F(\mathbf {r} )=-k/r^{2}}$ ${\displaystyle F(\mathbf {r} )=-kr}$

Смотрите также

• Классическая проблема центральной силы
• Частица в сферически-симметричном потенциале

Примечания

1. В этой статье используется определение центральной силы, данное Тейлором. ^{[1] : 93} Другое распространенное определение (используемое в ScienceWorld ^[2] ) добавляет ограничение, согласно которому сила должна быть сферически симметричной, т.е. ${\displaystyle {\vec {F}}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )=F(\|\mathbf {r} \|){\hat {\mathbf {r} }}}$

Рекомендации

1. Тейлор, Джон Р. (2005). Классическая механика . Саусалито, Калифорния: Univ. Научные книги. ISBN 1-891389-22-Х.
2. Эрик В. Вайсштейн (1996–2007). «Центральная сила». Мир Науки . Вольфрам Исследования . Проверено 18 августа 2008 г.